รวมสูตรคณิตศาสตร์ที่ต้องจำให้ได้ในระดับชั้น ม.4 เทอม 2 อ่านจบพร้อมลุยทุกสนามสอบ

การเรียนคณิตศาสตร์ในระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 เทอม 2 ถือเป็นรอยต่อที่สำคัญอย่างยิ่งสำหรับนักเรียนสายวิทยศาสตร์-คณิตศาสตร์ และสายศิลป์คำนวณ เนื่องจากเนื้อหาจะเริ่มเปลี่ยนจากพีชคณิตพื้นฐานไปสู่คณิตศาสตร์เชิงวิเคราะห์และการประยุกต์ใช้ บทเรียนทั้ง 3 บทหลัก ได้แก่ เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย, ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน, และ เมทริกซ์ ต่างเป็นรากฐานที่ต้องนำไปใช้ต่อในระดับชั้น ม.5 และ ม.6 รวมถึงข้อสอบคัดเลือกเข้ามหาวิทยาลัย เช่น A-Level และ TPAT การมี สรุปสูตร ม.4 ที่รวบรวมไว้อย่างเป็นระบบจะช่วยให้นักเรียนสามารถทบทวนและทำคะแนนได้อย่างมีประสิทธิภาพสูงสุด

สมัครเรียนคอร์สคณิตศาสตร์ ม.ปลาย : Pack 2 คณิตศาสตร์ ม.ปลาย (8205-8207) กับ OnDemand

รวมสูตรบทที่ 1: เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย (Analytic Geometry and Conic Sections)

เนื้อหาในบทนี้จะเน้นการใช้วิธีการทางพีชคณิตมาแก้ปัญหาทางเรขาคณิตบนระบบพิกัดฉาก (x, y) โดยแบ่งออกเป็น 2 ส่วนหลักดังนี้:

สูตรพื้นฐานเรขาคณิตวิเคราะห์

สูตรพื้นฐานที่ต้องใช้ในการหาตำแหน่ง ความชัน และระยะห่างบนระนาบพิกัดฉาก:

หัวข้อ	สูตรคณิตศาสตร์ (KaTeX)	คำอธิบายและเงื่อนไข
ระยะห่างระหว่างจุด 2 จุด	d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}	หาความยาวเส้นตรงระหว่างจุด (x_1, y_1) และ (x_2, y_2)
จุดกึ่งกลางระหว่างจุด 2 จุด	[(\bar{x}, \bar{y}) = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)][/katex]	พิกัดจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรง
จุดแบ่งเส้นตรงอัตราส่วน m:n	[(x, y) = \left(\frac{nx_1 + mx_2}{m+n}, \frac{ny_1 + my_2}{m+n}\right)][/katex]	การคูณสลับสัดส่วนกับพิกัดจุดปลาย
ความชันของเส้นตรง (m)	m = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} = \tan\theta	\theta คือมุมที่ทำกับแกน X ในทิศทวนเข็มนาฬิกา
เส้นตรงขนานกัน	m_1 = m_2	ความชันของเส้นตรงทั้งสองเส้นเท่ากัน
เส้นตรงตั้งฉากกัน	m_1 \cdot m_2 = -1	ผลคูณความชันเท่ากับ -1
ระยะห่างจากจุดถึงเส้นตรง	d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}	สำหรับเส้นตรง Ax + By + C = 0 และจุด (x_1, y_1)
ระยะห่างระหว่างเส้นคู่ขนาน	d = \frac{|C_1 – C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}	สำหรับเส้นตรง Ax + By + C_1 = 0 และ Ax + By + C_2 = 0

สูตรภาคตัดกรวย 4 รูปทรงหลัก

รูปทรงใน ภาคตัดกรวย เกิดจากการตัดกรวยกลมตรงด้วยระนาบในมุมต่างๆ ได้แก่ วงกลม พาราโบลา วงรี และไฮเพอร์โบลา:

1. วงกลม (Circle)

• สมการมาตรฐาน: (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 (จุดศูนย์กลางอยู่ที่ (h,k) รัศมี r)
• สมการทั่วไป: x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0
• จุดศูนย์กลาง: (h,k) = \left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right)
• ความยาวรัศมี: r = \frac{\sqrt{D^2 + E^2 – 4F}}{2}

2. พาราโบลา (Parabola)

• แกนตั้ง (กราฟหงาย/คว่ำ): (x-h)^2 = 4c(y-k)

• ถ้า c > 0 กราฟหงาย, ถ้า c < 0 กราฟคว่ำ
• จุดโฟกัส: (h, k+c), เส้นไดเรกตริกซ์: y = k-c

• แกนนอน (กราฟตะแคงขวา/ซ้าย): (y-k)^2 = 4c(x-h)

• ถ้า c > 0 เปิดขวา, ถ้า c < 0 เปิดซ้าย
• จุดโฟกัส: (h+c, k), เส้นไดเรกตริกซ์: x = h-c

• ความยาวลาตัสเรกตัม (Latus Rectum): |4c|

3. วงรี (Ellipse)

ความสัมพันธ์ของค่าตัวแปรสำคัญ: a^2 = b^2 + c^2 โดยที่ a > b (a คือความยาวครึ่งแกนเอก, b คือความยาวครึ่งแกนโท, c คือระยะโฟกัส)

• แกนเอกขนานแกน X (วงรีนอน): \frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1

• จุดโฟกัส: (h \pm c, k), จุดยอด: (h \pm a, k)

• แกนเอกขนานแกน Y (วงรีตั้ง): \frac{(x-h)^2}{b^2} + \frac{(y-k)^2}{a^2} = 1

• จุดโฟกัส: (h, k \pm c), จุดยอด: (h, k \pm a)

• ความเยื้องศูนย์กลาง (Eccentricity): e = \frac{c}{a} โดยที่ 0 < e < 1
• ความยาวลาตัสเรกตัม: \frac{2b^2}{a}

4. ไฮเพอร์โบลา (Hyperbola)

ความสัมพันธ์ของค่าตัวแปรสำคัญ: c^2 = a^2 + b^2 (c คือระยะจากจุดศูนย์กลางถึงโฟกัส)

• แกนตามขวางขนานแกน X: \frac{(x-h)^2}{a^2} – \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1
• จุดโฟกัส: (h \pm c, k), สมการเส้นกำกับ (Asymptotes): y – k = \pm \frac{b}{a}(x – h)
• แกนตามขวางขนานแกน Y: \frac{(y-k)^2}{a^2} – \frac{(x-h)^2}{b^2} = 1
• จุดโฟกัส: (h, k \pm c), สมการเส้นกำกับ (Asymptotes): y – k = \pm \frac{a}{b}(x – h)

รวมสูตรบทที่ 2: ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน (Relation and Function)

บทเรียน ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน เน้นการทำความเข้าใจนิยาม การหาขอบเขตของข้อมูล และการแปลงฟังก์ชันเพื่อแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์:

โดเมน (Domain) และเรนจ์ (Range)

ผลคูณคาร์ทีเซียน: A \times B = \{(a,b) \mid a \in A \text{ และ } b \in B\}

• โดเมน (D_r): เซตของสมาชิกตัวหน้า x ทั้งหมด

• เทคนิคการหา: จัดสมการในรูป y = f(x) แล้วพิจารณาค่า x ที่ทำให้ y หาค่าได้
• กรณีเศษส่วน: ตัวหารต้องไม่เท่ากับ 0 เช่น y = \frac{1}{g(x)} \implies g(x) \neq 0
• กรณีติดรากที่สอง: ค่าใต้รูทต้องมากกว่าหรือเท่ากับ 0 เช่น y = \sqrt{g(x)} \implies g(x) \ge 0

• เรนจ์ (R_r): เซตของสมาชิกตัวหลัง y ทั้งหมด

• เทคนิคการหา: จัดสมการในรูป x = g(y) แล้วพิจารณาค่า y ที่เป็นไปได้ทั้งหมด

ฟังก์ชันผกผัน และ ฟังก์ชันประกอบ

• ฟังก์ชันผกผัน (Inverse Function, f^{-1}):
  คือฟังก์ชันที่เกิดจากการสลับตำแหน่งระหว่างตัวหน้าและตัวหลัง: f(x) = y \iff f^{-1}(y) = x
  สมบัติสำคัญ: D_{f^{-1}} = R_f และ R_{f^{-1}} = D_f
• ฟังก์ชันประกอบ (Composite Function):
  (g \circ f)(x) = g(f(x)) ซึ่งจะหาได้เมื่อ R_f \cap D_g \neq \emptyset
  สมบัติสำคัญที่ต้องจำ:

• (f \circ f^{-1})(x) = x และ (f^{-1} \circ f)(x) = x
• (f \circ g)^{-1}(x) = (g^{-1} \circ f^{-1})(x) (ต้องสลับลำดับฟังก์ชันผกผัน)

รวมสูตรบทที่ 3: เมทริกซ์ (Matrix)

เมทริกซ์ คือกลุ่มของจำนวนที่จัดเรียงเป็นแถวและหลัก ซึ่งมีบทบาทสำคัญอย่างมากในการจัดการข้อมูลและการแก้ระบบสมการเชิงเส้น:

คุณสมบัติการดำเนินการ ทรานสโพส และดีเทอร์มิแนนต์

• การคูณเมทริกซ์: A_{m \times n} \cdot B_{n \times p} = C_{m \times p} (สามารถคูณกันได้เมื่อจำนวนหลักของตัวหน้าเท่ากับจำนวนแถวของตัวหลัง และโดยทั่วไป AB \neq BA)
• เมทริกซ์สลับเปลี่ยน (Transpose – A^T):

• (A^T)^T = A
• (A + B)^T = A^T + B^T
• (kA)^T = kA^T (เมื่อ k เป็นค่าคงที่)
• (AB)^T = B^T A^T

• ดีเทอร์มิแนนต์ (Determinant – \det(A)):

• มิติ 2 \times 2: สำหรับ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} จะได้ \det(A) = ad – bc
• มิติ 3 \times 3: ใช้เทคนิคต่อ 2 หลัก แล้วคำนวณแบบ “คูณลงบวก คูณขึ้นลบ”
• สมบัติของ Det ที่ออกสอบบ่อย:

• \det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)
• \det(A^T) = \det(A)
• \det(kA) = k^n \det(A) (เมื่อ n คือมิติของเมทริกซ์จัตุรัส n \times n)
• \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)} (เมื่อ \det(A) \neq 0)
• \det(I) = 1 และ \det(\mathbf{0}) = 0

เมทริกซ์ผกผัน (Inverse Matrix) และกฎของเครเมอร์

• อินเวอร์สของเมทริกซ์มิติ 2 \times 2:
  A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} โดยเงื่อนไขคือ \det(A) \neq 0 (ถ้า \det(A) = 0 เรียกว่าเมทริกซ์เอกฐาน หรือ Singular Matrix จะไม่มีอินเวอร์ส)
• อินเวอร์สของเมทริกซ์มิติ n \times n:
  A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A) โดยที่ \text{adj}(A) = (C_{ij})^T (ทรานสโพสของเมทริกซ์โคแฟกเตอร์)
• กฎของเครเมอร์ (Cramer’s Rule):
  ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น AX = B คำตอบของตัวแปรตัวที่ i หาได้จาก:
  x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}
  โดยที่ A_i คือเมทริกซ์ A ที่ถูกแทนที่หลักที่ i ด้วยเมทริกซ์หลักค่าคงที่ B

สอบถามรายละเอียดคอร์สเรียนเพิ่มเติม

• Add Line : Ondemand Education
• โทรศัพท์ : 02-251-9456 (08.00-20.00)

คำถามที่พบบ่อย (FAQs)