สรุปสถิติ ม.6 เนื้อหาสำคัญครบ! พร้อมตัวอย่างโจทย์!

เปอร์เซ็นไทล์ (Percentile)

แบ่งข้อมูล n ตัวที่เรียงจากน้อยไปมากออกเป็น 100 ส่วนเท่า ๆ กัน โดยเปอร์เซ็นไทล์ที่ i (P_i) เมื่อ i = 1, 2, \dots , 99 เป็นค่าที่มีจำนวนข้อมูลที่มีค่าน้อยกว่าค่านี้อยู่ประมาณ i ส่วน หรือร้อยละ i และมีจำนวนข้อมูลที่มีค่ามากกว่าค่านี้อยู่ประมาณ ส่วน หรือร้อยละ

ตำแหน่งของ P_i คือ ตำแหน่งที่ \dfrac{i(n+1)}{100}

ตัวอย่างโจทย์เกี่ยวกับค่าวัดตำแหน่งที่ของข้อมูล

กำหนดข้อมูล 48, 36, 59, 42, 55, 37, 50, 44, 63
จงหา Q_1 และ P_60 ของข้อมูลชุดนี้

วิธีทำ เรียงข้อมูลจากน้อยไปมากได้ดังนี้ 36, 37, 42, 44, 48, 50, 55, 59, 63

ตำแหน่งของ Q_1 คือ ตำแหน่งที่ \dfrac{1(9+1)}{4} = 2.5

ตำแหน่งที่ 2.5 อยู่กึ่งกลางระหว่างตำแหน่งที่ 2 กับ 3

ดังนั้น ค่าของ Q_1 คือ \dfrac{37+42}{2} = 39.5

ตำแหน่งของ P_60 คือ ตำแหน่งที่ \dfrac{60(9+1)}{100} = 6

ดังนั้น ค่าของ P_60 คือ 50

ค่าวัดการกระจายของข้อมูลมีอะไรบ้าง ? คำนวณได้อย่างไร ?

ค่าวัดการกระจายใช้ในการบอกว่าข้อมูลมีการกระจายตัวมากหรือน้อยแค่ไหน ซึ่งช่วยให้เห็นลักษณะของข้อมูลและช่วยในการวิเคราะห์ข้อมูล

การวัดการกระจายสัมบูรณ์

เป็นการวัดการกระจายของข้อมูลด้วยค่าที่มีหน่วยเดียวกับข้อมูลหรือเป็นกำลังสองของหน่วยของข้อมูล เพื่อพิจารณาว่าข้อมูลแต่ละตัวมีความแตกต่างกันมากหรือน้อยแค่ไหน

พิสัย (Range)

เป็นผลต่างระหว่างข้อมูลที่มีค่ามากที่สุดกับข้อมูลที่มีค่าน้อยที่สุด

\text{พิสัย} = x_\text{max} – x_\text{min}

พิสัยระหว่างควอร์ไทล์ (Interquartile Range)

เป็นผลต่างระหว่างควอร์ไทล์ที่ 3 กับควอร์ไทล์ที่ 1 ของข้อมูล

\text{IQR} = Q_3 – Q_1

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation)

เป็นค่าที่บอกว่าข้อมูลแต่ละตัวอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยเลขคณิตโดยเฉลี่ยประมาณเท่าใด 

สำหรับประชากร : \sigma = \sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2}{N}} = \sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{N} x_i^2}{N} – \mu^2}

สำหรับตัวอย่าง : s = \sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{N} (x_i – \bar{x})^2}{n-1}}

ความแปรปรวน (Variance)

คำนวณจากกำลังสองของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

สำหรับประชากร : \sigma^2 = \dfrac{\sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2}{N} = \dfrac{\sum_{i=1}^{N} x_i^2}{N} – \mu^2

สำหรับตัวอย่าง : s^2 = \dfrac{\sum_{i=1}^{N} (x_i – \bar{x})^2}{n-1}

การวัดการกระจายสัมพัทธ์

เป็นการวัดการกระจายของข้อมูลในชุดหนึ่งเพื่อนำไปเปรียบเทียบกับข้อมูลชุดอื่นว่าข้อมูลชุดไหนมีการกระจายมากหรือน้อยกว่ากัน ซึ่งไม่สามารถเปรียบเทียบกันโดยใช้ค่าที่ได้จากการการวัดการกระจายสัมบูรณ์ได้

สัมประสิทธิ์การแปรผัน (Coefficient of Variation)

เป็นอัตราส่วนของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานกับค่าเฉลี่ยเลขคณิต

สำหรับประชากร : \text{CV} = \dfrac{\sigma}{|\mu|}  หรือ  \text{CV} = \dfrac{\sigma}{|\mu|}\times 100%

สำหรับตัวอย่าง : \text{CV} = \dfrac{s}{|\bar{x}|}  หรือ  \text{CV} = \dfrac{s}{|\bar{x}|}\times 100%

Youtube สถิติ ม.6 คณิตศาสตร์พื้นฐาน | สัมประสิทธิ์การแปรผัน ต้องคิดยังไง?

ตัวอย่างโจทย์เกี่ยวกับค่าวัดการกระจายของข้อมูล

กำหนดข้อมูล 4, 6, 8, 12, 15
จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ความแปรปรวน และสัมประสิทธิ์การแปรผันของข้อมูลชุดนี้

วิธีทำ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต คือ \mu = \dfrac{4+6+8+12+15}{5} = \dfrac{45}{5} = 9

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน คือ \begin{aligned} \sigma &= \sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{N} x_i^2}{N} – \mu^2} \\ &= \sqrt{\dfrac{4^2+6^2+8^2+12^2+15^2}{5} – 9^2} \\ &= \sqrt{\dfrac{485}{5} – 81} \\ &= \sqrt{97 – 81} \\ &= 4 \end{aligned}

ความแปรปรวน คือ \sigma^2 = 16

สัมประสิทธิ์การแปรผัน คือ \text{CV} = \dfrac{\sigma}{|\mu|} = \dfrac{4}{|9|} \approx 0.44 หรือประมาณ 44%

ตะลุยโจทย์แนวข้อสอบสถิติ ม.6

ตัวอย่าง ให้ x1, x2, …, x12 เป็นข้อมูลชุดหนึ่งที่มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือ 50

ถ้าตัด x1 และ x2 ออกไป จะทำให้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนี้เหลือ 46

ถ้าตัดเพียง x1 ออกไป จะทำให้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนี้เหลือ 49

จงหาว่า |x_1 – x_2| มีค่าเท่ากับข้อใด

1. 6
2. 12
3. 18
4. 24
5. 30 

ตอบ 3.18

วิธีทำ จากสูตรหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต \mu = \dfrac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N}

จะได้ผลรวมของข้อมูลเป็น \sum_{i=1}^{N} x_i = \mu N

ผลรวมของข้อมูลทั้งหมดคือ \sum_{i=1}^{12} x_i = (50)(12) = 600

ถ้าตัดเพียง x1 ออกไป ผลรวมของข้อมูลจะเหลือ \sum_{i=2}^{12} x_i = (49)(11) = 539

แสดงว่า x_1 = 600 – 539 = 61

ถ้าตัด x1 และ x2 ออกไป ผลรวมของข้อมูลจะเหลือ \sum_{i=3}^{12} x_i = (46)(10) = 460

แสดงว่า x_1 + x_2 = 600 – 460 = 140

ดังนั้น |x_1 – x_2| = |61 – 79| = 18

เรียนสถิติ ม.6 กับ OnDemand

เป็นยังไงกันบ้างครับกับเนื้อหาสถิติ ม.6 ที่พี่ ๆ นำมาฝากน้อง ๆ ในวันนี้ เนื้อหาสถิติ ม.6 อาจจะยากขึ้นกว่า ตอนที่น้อง ๆ เรียนใน ม.ต้น พอสมควร ถ้าน้องไม่เข้าใจตรงไหนสามารถกลับมาดูบทความนี้ได้เสมอเลย หรือถ้าน้อง ๆ รู้สึกว่าอ่านแค่บทความนี้แล้วไม่พอ ทาง OnDemand ก็มีคอร์สคณิตศาสตร์ ม.ปลาย : สถิติ เพื่อเป็นอีกทางเลือกหนึ่งที่ช่วยให้น้อง ๆ ได้เข้าใจเนื้อหามากขึ้นด้วยเทคนิคการสอนที่ช่วยให้ไม่ต้องท่องจำ และพร้อมตะลุยโจทย์ทุกข้อเลยครับ

 Youtube สถิติและความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูล ม.6 | ตัวอย่างคอร์สเรียน เลข ม.ปลาย | OnDemand

สอบถามรายละเอียดคอร์สเรียนเพิ่มเติม

• Add Line : Ondemand Education
• โทรศัพท์ : 02-251-9456 (08.00-20.00)

อ้างอิง

• สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี. (2563). หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 เล่ม 2. พิมพ์ครั้งที่ 1. สกสค. ลาดพร้าว.

คำถามที่พบบ่อยเกี่ยวกับสถิติ ม.6 (FAQs)