Key Takeaways
หัวใจสำคัญของการเรียนการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ ม.4 คือกาคำนวณหาอัราเร็วของวัตถุที่เคลื่อนที่ในแนวราบ และแนวดิ่ง การกระจัดของวัตถุในแนวราบและในแนวดิ่ง เวลาของการเคลื่อนที่ของวัตถุ ซึ่งน้อง ๆ จำเป็นต้องเข้าใจเนื้อหาของการเคลื่อนที่แนวตรงและการตกอิสระมาก่อน เพราะเป็นฐานสำคัญในทำความเข้าใจการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ นอกจากนี้ บทการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์เป็นหนึ่งในหัวข้อยอดฮิตที่ออกในข้อสอบ A-Level ฟิสิกส์ บ่อยมาก โจทย์มักจะชอบคำนวณหาการกระจัดของการเคลื่อนที่ของวัตถุ ทั้งในแนวราบและในแนวดิ่ง หรือเวลาของการเคลื่อนที่ ถ้าเข้าใจบทนี้ตั้งแต่เนิ่น ๆ จะช่วยลดความกดดันเมื่อสอบจริงได้
Table of Contents
ความหมายและลักษณะเฉพาะทางกายภาพ
ในศึกษาวิชากลศาสตร์คลาสสิก (Classical Mechanics) การอธิบายพฤติกรรมการเคลื่อนที่ของวัตถุรอบตัวเรา มักเริ่มต้นจากการเคลื่อนที่ในแนวเส้นตรง อย่างไรก็ดี ในธรรมชาติและกิจกรรมต่าง ๆ ของมนุษย์ วัตถุมักไม่ได้เคลื่อนที่เป็นเส้นตรงเสมอไป แต่มีการเปลี่ยนพิกัดทั้งในแนวราบและแนวดิ่งไปพร้อม ๆ กัน ปรากฏการณ์นี้เรียกว่า การเคลื่อนที่ในสองมิติ
แรงลัพธ์และสาระสำคัญที่ทำให้เกิดการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์
คำว่า “โพรเจกไทล์” (Projectile) มีรากศัพท์มาจากภาษาลาตินที่หมายถึง “การขว้างหรือพุ่งออกไป” ดังนั้น การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ (Projectile Motion) จึงหมายถึง วัตถุที่ถูกขว้าง พุ่ง ยิง หรือปล่อยออกไปในอากาศ โดยหลังจากวัตถุหลุดออกจากตำแหน่งที่เริ่มเคลื่อนที่แล้ว วัตถุนั้นจะเคลื่อนที่อย่างอิสระภายใต้แรงกระทำจากภายนอกเพียงแรงเดียวเท่านั้น คือ แรงโน้มถ่วงของโลก (Gravitational Force) ซึ่งมีทิศทางพุ่งลงสู่จุดศูนย์กลางของโลกในแนวดิ่งเสมอ (เมื่อเราพิจารณาในอุดมคติที่ไม่มีแรงต้านอากาศ)
ลักษณะเฉพาะที่สำคัญที่สุดของ การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ คือ วิถีการเคลื่อนที่ของวัตถุจะมีลักษณะเป็น เส้นโค้งพาราโบลา โดยแรงโน้มถ่วงจะทำหน้าที่ดึงรั้งให้ความเร็วในแนวดิ่งเปลี่ยนแปลงไปตลอดเวลา ในขณะที่ความเร็วในแนวราบยังคงดำเนินต่อไปอย่างไร้สิ่งรบกวน
การแยกพิจารณาแกนอิสระ
หนึ่งในอุปสรรคสำคัญของการวิเคราะห์การเคลื่อนที่ใน 2 มิติ คือความซับซ้อนของการคำนวณตำแหน่งและความเร็วที่เปลี่ยนไปพร้อมกันทั้งสองแกน แต่ฟิสิกส์มีเครื่องมือที่ทรงพลังในการลดรูปความซับซ้อนนี้ นั่นคือ “หลักการแยกพิจารณาแกนอย่างเป็นอิสระต่อกัน”
เมื่อเราขว้างวัตถุด้วยความเร็วเริ่มต้น u ทำมุม \theta กับแนวระดับ เราสามารถใช้หลักการแตกแรงหรือแยกเวกเตอร์ (Vector Resolution) เพื่อแยกพิจารณาความเร็วเริ่มต้นในแต่ละแกนพิกัดฉาก ได้ดังนี้:
ความเร็วเริ่มต้นในแนวราบ: แกน x
u_x = u \cos\thetaความเร็วเริ่มต้นในแนวดิ่ง: แกน y
u_y = u \sin\thetaโดยสิ่งเดียวที่เชื่อมโยงการเคลื่อนที่ทั้งสองแกนนี้เข้าด้วยกันคือ เวลา ( t ) เพราะไม่ว่าวัตถุจะขยับไปทางในแนวแกน x ไกลแค่ไหน หรือตกลงมาในแนวแกน y สูงเท่าไหร่ ทั้งสองมิติต่างเกิดขึ้นและสิ้นสุดลง ณ วินาทีเดียวกันเสมอ
องค์ประกอบการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์
เพื่อให้เข้าใจพฤติกรรมของ การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ เราจำเป็นต้องแยกโครงสร้างของระบบออกเป็น 2 มิติ แล้วนำกฎเกณฑ์ทางฟิสิกส์พื้นฐานเข้ามาจับทีละส่วน
พิจารณาการเคลื่อนที่ในแนวราบ
แนวราบหรือแกน x คือมิติที่แสดงให้เห็นถึงความเฉื่อยของวัตถุอย่างชัดเจนที่สุด หากไม่มีปัจจัยภายนอกมาเกี่ยวข้อง วัตถุจะรักษาสภาพการเคลื่อนที่ของมันไว้ตามกฎข้อที่ 1 ของนิวตัน (Newton’s First Law of Motion)
เนื่องจากเราตั้งสมมติฐานว่าไม่มีแรงต้านของอากาศ และไม่มีแรงอื่นใดหลังจากวัตถุหลุดจากมือหรือเครื่องยิง ส่งผลให้ ไม่มีแรงลัพธ์กระทำต่อวัตถุในแนวราบ ( F_x = 0 ) เมื่อแรงลัพธ์ที่ทำกับวัตถุในแนวราบเป็นศูนย์ ความเร่งในแนวราบจึงมีค่าเป็นศูนย์ตามไปด้วย ( a_x = 0 )
ด้วยเหตุนี้ การเคลื่อนที่ในแกน x ของโพรเจกไทล์จึงเป็นเป็นเหมือนกับการเคลื่อนที่แนวตรงด้วยความเร็วคงที่ โดยความเร็ว ณ วินาทีใด ๆ ในแนวราบ ( v_x ) จะมีค่าเท่ากับความเร็วเริ่มต้นเสมอ
v_x = u_x = u \cos\thetaและการคำนวณระยะทางในแนวราบ ( s_x ) จึงใช้สูตรพื้นฐานของการเคลื่อนที่แนวตรงเพียงสูตรเดียวคือ
s_x = v_x \cdot tพิจารณาการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ในทางกลับกัน แนวดิ่งหรือแกน y คือมิติที่อยู่ภายใต้แรงโน้มถ่วงของโลก วัตถุไม่สามารถรักษาความเร็วคงที่ในแกนนี้ได้
อิทธิพลของแรงโน้มถ่วงของโลกและความสัมพันธ์กับการตกอิสระ
ในแนวดิ่ง วัตถุจะถูกดึงดูดด้วยแรงโน้มถ่วงของโลกตลอดเวลา ซึ่งแรงนี้มีค่าเท่ากับน้ำหนักของวัตถุ ( F_y = mg ) ส่งผลให้วัตถุเกิดความเร่งคงที่ในแนวดิ่ง ( a_y ) ซึ่งมีค่าเท่ากับ ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงของโลก หรือตัวแปร g (มีทิศทางพุ่งลงสู่พื้นโลกเสมอ และมีค่า 9.8 \text{ m/s}^2 หรือประมาณ 10 \text{ m/s}^2 เพื่อความสะดวกในการคำนวณ
พฤติกรรมในแกน y นี้จึงเหมือนกับการตกอิสระภายใต้แรงโน้มถ่วงทุกประการ ไม่ว่าวัตถุจะถูกยิงขึ้นฟ้าด้วยมุมเท่าใด ทันทีที่มันลอยตัว ความเร็วในแนวดิ่ง ( v_y ) จะลดลงเรื่อย ๆ วินาทีละประมาณ 9.8 \text{ m/s} จนกระทั่งความเร็วในแนวดิ่งกลายเป็นศูนย์ ณ จุดสูงสุด (Maximum Height) จากนั้นวัตถุจะเริ่มเคลื่อนที่ย้อนกลับลงมาด้านล่าง โดยมีความเร็วเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ
การวิเคราะห์สมการของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์
สมการการเคลื่อนที่ในแต่ละแกน
การคำนวณใน การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ อาศัยการจับคู่สมการของสองแกนเข้าด้วยกัน โดยกำหนดให้ทิศทางพุ่งขึ้นเป็นบวก ( + ) หรือพุ่งลงเป็นบวก ( + ) อย่างใดอย่างหนึ่งเพื่อความแม่นยำในการแทนเครื่องหมายปริมาณเวกเตอร์
สมการแกน x : s_x = u_x t
เนื่องจากความเร่งในแนวราบเป็นศูนย์ ( a_x = 0 ) สมการที่ใช้หาตำแหน่งบนแกน x จึงมีเพียงสมการเดียว:
s_x = (u \cos\theta)ts_x คือ การกระจัดในแนวราบ (เมตร, \text{m} )
u คือ ความเร็วเริ่มต้นของวัตถุ (เมตรต่อวินาที, \text{m/s} )
\theta คือ มุมที่ความเร็วเริ่มต้นทำกับแนวระดับ (องศา, ^\circ )
t คือ เวลาที่วัตถุใช้ลอยอยู่ในอากาศ (วินาที, \text{s} )
สมการแกน y ภายใต้ค่าความเร่งโน้มถ่วง ( g )
เนื่องจากพฤติกรรมในแกน y มีค่าความเร่งคงที่ ( a_y = -g เมื่อกำหนดให้ทิศพุ่งขึ้นเป็นบวก) เราจึงใช้สมการการเคลื่อนที่แนวตรงที่มีความเร่งคงที่ 4 สมการหลักในการคำนวณ
- v_y = u \sin\theta – gt
- s_y = (u \sin\theta)t – \frac{1}{2}gt^2
- v_y^2 = (u \sin\theta)^2 – 2gs_y
- s_y = \left(\frac{u \sin\theta + v_y}{2}\right)t
s_y คือ การกระจัดในแนวดิ่ง (เมตร, \text{m} )
v_y คือ ความเร็วปลายในแนวดิ่ง ณ เวลา t (เมตรต่อวินาที, \text{m/s} )
g คือ ขนาดความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงของโลก ( \approx 9.8 \text{ m/s}^2 )
การหาจุดสูงสุดและระยะตกไกลสุด
ในกรณีพิเศษที่พบบ่อยมากในทางฟิสิกส์ คือ การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์จากพื้นสู่พื้นระดับเดียวกัน เราสามารถพิสูจน์สูตรลัดที่ช่วยประหยัดเวลาคำนวณได้ดังนี้
การพิสูจน์สมการหา s_{y,\text{max}} และ s_{x, \text{max}}
- การหาจุดสูงสุด ( s_{y,\text{max}} ):
ณ จุดสูงสุด วัตถุจะหมดความสามารถในการเคลื่อนที่ขึ้น ส่งผลให้ความเร็วในแนวดิ่งชั่วขณะกลายเป็นศูนย์ ( v_y = 0 ) จากสมการ v_y^2 = u_y^2 – 2gs_y แทนค่าได้:
0 = (u \sin\theta)^2 – 2gs_{y,\text{max}} 2gs_{y,\text{max}} = u^2 \sin^2\theta s_{y,\text{max}} = \frac{u^2 \sin^2\theta}{2g}- การหาระระยะตกไกลสุด ( s_{x, \text{max}} ):
เมื่อวัตถุตกลงมาถึงพื้นระดับเดิม การกระจัดในแนวดิ่งลัพธ์จะเป็นศูนย์ ( s_y = 0 ) จากสมการ s_y = u_y t – \frac{1}{2}gt^2 แทนค่าได้:
0 = (u \sin\theta)t – \frac{1}{2}gt^2 \frac{1}{2}gt^2 = (u \sin\theta)tตัดตัวแปร t ออกหนึ่งตัว จะได้เวลาที่ลอยอยู่ในอากาศทั้งหมด:
t_{\text{total}} = \frac{2u \sin\theta}{g}นำเวลานี้ไปแทนในสมการแกน x ( s_x = u_x t ):
s_{x, \text{max}} = (u \cos\theta) \left(\frac{2u \sin\theta}{g}\right) = \frac{u^2 (2 \sin\theta \cos\theta)}{g}จากเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ 2 \sin\theta \cos\theta = \sin(2\theta) จะได้:
s_{x, \text{max}} = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}> จากสมการของ s_{x, \text{max}} ระยะตกไกลสุดจะเกิดขึ้นเมื่อค่า \sin(2\theta) มีค่ามากที่สุด ซึ่งค่าสูงสุดของฟังก์ชันไซน์คือ 1 เกิดขึ้นเมื่อมุมเท่ากับ 90^\circ ดังนั้น 2\theta = 90^\circ \Rightarrow \theta = 45^\circ มุม 45^\circ จึงเป็นมุมที่ส่งวัตถุไปได้ไกลที่สุดในแนวราบ
—
ตัวอย่างข้อสอบ A-Level ฟิสิกส์ เรื่อง การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์
ตัวอย่างที่ 1ยิงวัตถุด้วยความเร็วต้น 12.0 เมตรต่อวินาที ในแนวทำมุม 53 องศา กับพื้นราบ พบว่าวัตถุเคลื่อนที่พ้นกล่องได้พอดี โดยความเร็วของวัตถุขณะเฉียดขอบกล่องทั้งสองครั้ง มีทิศทำมุม 37 องศา กับแนวระดับ ดังรูป จงหาว่าวัตถุใช้เวลาเคลื่อนที่อยู่เหนือกล่องนานกี่วินาที (คำตอบติดตัวแปร g ขนาดของความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงของโลก)
- 10.8/g
- 4.2/g
- 1/g
- 15/g
- 2g
วิธีทำ
กำหนดให้ ทิศขึ้นเป็นบวก และทิศลงเป็นลบ
พิจารณาเฉพาะการเคลื่อนที่ระหว่างจุดเฉียดขอบกล่องด้านซ้ายถึงด้านขวา
เนื่องจากในการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ มีเพียงแรงโน้มถ่วงในแนวดิ่งกระทำต่อวัตถุ ความเร็วในแนวระดับจึงคงตัวตลอดการเคลื่อนที่
v_x = u_x = u\cos 53^\circ = 12.0 \times 0.6 = 7.2 \text{ m/s}ที่ขอบกล่องทั้งสอง ความเร็วทำมุม 37^\circ กับแนวระดับ จากองค์ประกอบความเร็วในแนวระดับ
v\cos 37^\circ = v_x v=\frac{v_x}{\cos 37^\circ} v=\frac{7.2}{0.8} v=9.0 \text{ m/s}ขนาดความเร็วในแนวดิ่งที่ขอบกล่องคำนวณจาก
v_y =v \sin 37^\circ = 9.0 \times 0.6 = 5.4 \text{ m/s}ที่ขอบกล่องด้านซ้าย วัตถุยังเคลื่อนที่ขึ้น จึงได้ v_{y,ซ้าย} = +5.4 \text{ m/s}
ที่ขอบกล่องด้านขวา วัตถุกำลังเคลื่อนที่ลง จึงได้ v_{y.ขวา} = -5.4 \text{ m/s}
หา t จากสมการการเคลื่อนที่แนวดิ่งด้วยความเร่งคงตัว โดยความเร่งเท่ากับ a_y=-g
v_{y,ขวา} = v_{y,ซ้าย}+(-g) t\ -5.4 = 5.4-gt gt = 10.8 t = \frac{10.8}{g}ดังนั้น วัตถุใช้เวลาเคลื่อนที่อยู่เหนือกล่องนานเท่ากับ 10.8/g วินาที ตอบตัวเลือกที่ 1
เรียนเรื่องการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ ม.4 กับ OnDemand
สำหรับน้อง ๆ ม.5 ที่ต้องการปูพื้นฐานเรื่องการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ หรือเตรียมตัวสอบเรื่องนี้อย่างมีประสิทธิภาพ การเรียนกับ OnDemand ในคอร์ส ฟิสิกส์ ม.ปลาย : การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ เป็นอีกหนึ่งทางเลือกที่ช่วยให้เข้าใจเนื้อหาได้ง่ายขึ้น ด้วยเทคนิคการสอนที่เน้นการคิดวิเคราะห์ สรุปเนื้อหาแบบกระชับด้วยเทคนิค Supermap และ X-map พร้อมตะลุยโจทย์หลากหลายแนว
นอกจากนี้ สำหรับน้อง ๆ ที่ต้องการเตรียมตัวสอบเข้ามหาวิทยาลัย ทาง OnDemand มีคอร์ส V-Series Physics TCAS เล่ม 1 : กลุ่มกลศาสตร์ 1 ให้เลือกด้วยเช่นกัน ซึ่งน้อง ๆ จะได้เรียนเน้นเนื้อหาออกข้อสอบ A-Level ฟิสิกส์ บ่อย และตะลุยโจทย์สอบเข้ามหาวิทยาลัยเรื่องการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์แบบเข้มข้นในคอร์สนี้ เพื่อเตรียมพร้อมสอบแข่งขันได้อย่างมั่นใจมากขึ้น
สอบถามรายละเอียดคอร์สเรียนเพิ่มเติม
- Add Line : Ondemand Education
- โทรศัพท์ : 02-251-9456 (08.00-20.00)
อ้างอิง
- สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี. (2563). หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี ฟิสิกส์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 เล่ม 2. พิมพ์ครั้งที่ 1. สกสค. ลาดพร้าว.
- Serway, R. A., Jewett, Jr., J. W. (2014). Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics. (9𝗍𝗁 ed). BROOKS/COLE CENGAGE Learning.
คำถามที่พบบ่อยเกี่ยวกับการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ (FAQs)
Q: หากปล่อยวัตถุให้ตกอิสระในแนวดิ่ง พร้อมกับยิงวัตถุอีกชิ้นออกไปในแนวราบพร้อมกันจากความสูงเท่ากัน วัตถุชิ้นใดจะตกถึงพื้นก่อน?
A: วัตถุทั้งสองชิ้นจะตกถึงพื้น “พร้อมกัน” เนื่องจากในแนวดิ่ง วัตถุทั้งคู่เริ่มต้นด้วยความเร็วต้น u_y = 0 เท่ากัน และถูกเร่งลงด้วยความเร่ง g เท่ากัน และวัตถุตกจากระดับความสูงในแนวดิ่งเท่ากัน ทำให้การกระจัดในแนวดิ่งเท่ากัน s_y เท่ากัน ทำให้เวลาของการเคลื่อนที่ตกถึงพื้นเท่ากัน
Q: นอกจากมุม 
แล้ว มีมุมยิงคู่อื่นอีกหรือไม่ที่ให้ระยะตกไกลสุด ( s_x, \text{max}} ) เท่ากัน?
แล้ว มีมุมยิงคู่อื่นอีกหรือไม่ที่ให้ระยะตกไกลสุด ( s_x, \text{max}} ) เท่ากัน? A: มี ปรากฏการณ์นี้จะเกิดขึ้นเมื่อมุมยิงสองมุมนั้นรวมกันได้ 90^\circ เช่น ยิงด้วยมุม 30^\circ และ 60^\circ ด้วยอัตราเร็วเริ่มต้นเท่ากัน วัตถุจะตก ณ ตำแหน่งเดียวกันบนพื้นราบ แต่ความสูงลัพธ์และเวลาที่อยู่บนอากาศจะไม่เท่ากันขึ้น โดยคำนวณจากสูตรประมาณการ (สำหรับอุณหภูมิไม่เกิน 45°C) คือ:
v=331+0.6T (เมื่อ v คืออัตราเร็วเสียงหน่วย m/s และ T คืออุณหภูมิหน่วยองศาเซลเซียส)
Q: ณ จุดสูงสุดของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ ความเร็วและความเร่งของวัตถุเป็นศูนย์หรือไม่?
A: ไม่เป็นศูนย์ ณ จุดสูงสุด ความเร็วในแนวดิ่ง ( v_y ) เท่านั้นที่เป็นศูนย์ แต่วัตถุยังคงมีความเร็วในแนวราบอยู่ ( v_x = u \cos\theta ) และความเร่งของวัตถุก็ยังคงเท่ากับ g มีทิศพุ่งลงพื้นดินตลอดเวลา ไม่ได้เป็นศูนย์แต่อย่างใด
ทีมวิชาการและแนะแนวการศึกษา OnDemand | OnDemand Academic & Career Advisory Team
ทีมพี่ ๆ ติวเตอร์ที่มีความเชี่ยวชาญด้านวิทย์-คณิต และการเตรียมสอบ TCAS (TGAT, TPAT, A-Level) ประสบการณ์กว่า 18 ปี พร้อมดูแลน้อง ๆ ในสไตล์แบบ “”พี่สอนน้อง”” ที่เน้นความเข้าใจจริง เทคนิคทำโจทย์แม่นยำ เป็นพาร์ตเนอร์ทางการศึกษาที่น่าเชื่อถือของน้อง ๆ และผู้ปกครอง
