เซต ม.4 อธิบายเนื้อหาครบ สรุปสูตร พร้อมตัวอย่างโจทย์ ม.ปลาย

 

บทนำ: ทำไมเรื่อง “เซต” ถึงเป็นหัวใจของคณิตศาสตร์ ม.ปลาย

เมื่อนักเรียนก้าวเข้าสู่รั้วมัธยมศึกษาตอนปลาย บทเรียนแรกในวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติมและคณิตศาสตร์พื้นฐานที่ทุกคนต้องเจอคือเรื่อง “เซต (Sets)” หลายคนอาจสงสัยว่า ทำไมเราต้องเริ่มต้นด้วยเรื่องนี้? คำตอบคือ เซตไม่ใช่เพียงแค่บทเรียนหนึ่งแยกเดี่ยวๆ แต่เป็น “ภาษา” และ “รากฐาน” ของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ทั้งหมด ไม่ว่าจะเป็นเรื่องความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ระบบจำนวนจริง ตรรกศาสตร์ หรือแม้กระทั่งความน่าจะเป็น ล้วนใช้สัญลักษณ์และแนวคิดของเซตในการอธิบายทั้งสิ้น

การทำความเข้าใจเรื่องเซตอย่างลึกซึ้งตั้งแต่ ม.4 จะช่วยปรับวิธีคิดเชิงตรรกะ ทำให้นักเรียนสามารถเข้าใจเงื่อนไขที่ซับซ้อนในโจทย์คณิตศาสตร์ระดับสูงได้ง่ายขึ้น ในบทความนี้เราจะพาไปเจาะลึกตั้งแต่ศูนย์จนถึงขั้นประยุกต์ทำข้อสอบ ม.ปลาย ได้อย่างมั่นใจ

สมัครเรียนคอร์สคณิตศาสตร์ ม.ปลาย : เซต กับ OnDemand

ความหมายและพื้นฐานเบื้องต้นของเซต

ในทางคณิตศาสตร์ คำว่า “เซต” (Set) ใช้แทนกลุ่มของสิ่งของ ข้อความ ตัวเลข หรือวัตถุใดๆ ก็ตาม โดยมีเงื่อนไขสำคัญคือ สิ่งที่อยู่ในกลุ่มนั้นจะต้องมีความชัดเจน (Well-defined) หมายความว่าเมื่อเราพูดถึงเซตนั้นแล้ว ทุกคนต้องเข้าใจตรงกันร้อยเปอร์เซ็นต์ว่าสิ่งใดอยู่ในเซตและสิ่งใดไม่อยู่ในเซต

ตัวอย่างเช่น:

• เป็นเซต: “เซตของสระในภาษาอังกฤษ” (เราบอกได้ทันทีว่ามี a, e, i, o, u) หรือ “เซตของจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่า 5” (มี 1, 2, 3, 4)
• ไม่เป็นเซต: “กลุ่มของคนหน้าตาดีในห้องเรียน” หรือ “เซตของหนังสือที่สนุกที่สุด” เนื่องจากคำว่า “หน้าตาดี” หรือ “สนุก” เป็นเรื่องของความรู้สึกส่วนบุคคล (Subjective) ไม่สามารถระบุสมาชิกได้แน่นอนชัดเจนสำหรับทุกคน

สิ่งที่อยู่ภายในเซต เราจะเรียกว่า “สมาชิก” (Elements หรือ Members) ของเซต สัญลักษณ์ที่ใช้แทนการเป็นสมาชิกคือ ∈ และถ้าไม่เป็นสมาชิกจะใช้สัญลักษณ์ ∉ การทำความเข้าใจระบบสัญลักษณ์นี้จะป้องกันข้อผิดพลาดพื้นฐานที่มักพบในข้อสอบกลางภาคและปลายภาคของนักเรียน ม.4 ได้เป็นอย่างดี

รูปแบบการเขียนเซตและการระบุสมาชิก

เรานิยมใช้อักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์ใหญ่ เช่น A, B, C, … เพื่อแทนชื่อเซต และใช้เครื่องหมายปีกกา { } ครอบสมาชิกทั้งหมด โดยแบ่งสมาชิกแต่ละตัวด้วยเครื่องหมายจุลภาค ( , ) การเขียนเซตมี 2 รูปแบบหลักๆ ดังนี้:

การเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิก

เป็นการเขียนสมาชิกทุกตัวลงในปีกกาให้เห็นเด่นชัด เหมาะสำหรับเซตที่มีสมาชิกจำนวนไม่มาก หรือเซตที่มีรูปแบบชัดเจนจนสามารถใช้จุดสามจุด (…) เพื่อละสมาชิกในฐานที่เข้าใจได้

• ตัวอย่างที่ 1: เซตของจำนวนคู่บวกที่น้อยกว่า 10 เขียนแทนด้วย A = {2, 4, 6, 8}
• ตัวอย่างที่ 2: เซตของพยัญชนะในคำว่า “MATHEMATICS” เขียนแทนด้วย B = {M, A, T, H, E, I, C, S} (หมายเหตุ: สมาชิกที่ซ้ำกันให้เขียนเพียงตัวเดียวเท่านั้น)
• ตัวอย่างที่ 3: เซตของจำนวนเต็มบวกตั้งแต่ 1 ถึง 100 เขียนแทนด้วย C = {1, 2, 3, …, 100}

การเขียนเซตแบบบอกเงื่อนไขของสมาชิก

เป็นการใช้ตัวแปร (เช่น x) แทนสมาชิกในเซต แล้วตามด้วยเครื่องหมายขีดตั้ง | (อ่านว่า “โดยที่”) จากนั้นเขียนเงื่อนไขหรือคุณสมบัติของตัวแปรนั้น รูปแบบนี้จำเป็นมากสำหรับเซตที่มีสมาชิกจำนวนมากหรือเป็นอนันต์

• ตัวอย่างที่ 1: D = {x | x เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่า 5} อ่านว่า เซต D ประกอบด้วยสมาชิก x โดยที่ x เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่า 5 ซึ่งเมื่อแจกแจงจะได้ D = {1, 2, 3, 4}
• ตัวอย่างที่ 2: E = {x ∈ ℝ | x2 – 4 = 0} หมายถึง เซตของจำนวนจริง x โดยที่ x ยกกำลังสองแล้วลบด้วย 4 เท่ากับ 0 เมื่อแก้สมการจะได้ E = {-2, 2}

ประเภทของเซต: เซตจำกัด เซตอนันต์ และเซตว่าง

การแบ่งประเภทของเซตพิจารณาจากจำนวนสมาชิกที่มีอยู่ในเซตนั้นๆ ซึ่งแบ่งออกเป็น 3 ประเภทหลัก ดังนี้:

1. เซตว่าง (Empty Set หรือ Null Set): คือเซตที่ไม่มีสมาชิกอยู่เลย สัญลักษณ์ที่ใช้แทนเซตว่างคือ ∅ หรือ { } (ระวังข้อควรระวังสำคัญ: {∅} ไม่ใช่เซตว่าง แต่เป็นเซตที่มีเซตว่างเป็นสมาชิก มีจำนวนสมาชิกเท่ากับ 1) ตัวอย่างเช่น เซตของจำนวนเต็มที่อยู่ระหว่าง 1 กับ 2
2. เซตจำกัด (Finite Set): คือเซตที่เราสามารถระบุจำนวนสมาชิกเป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ หรือศูนย์ได้ชัดเจน เช่น เซตของสระในภาษาอังกฤษ มีสมาชิก 5 ตัว, เซตว่างก็นับว่าเป็นเซตจำกัดเนื่องจากมีสมาชิก 0 ตัว
3. เซตอนันต์ (Infinite Set): คือเซตที่ไม่ใช่เซตจำกัด หรือเซตที่มีสมาชิกมากมายมหาศาลจนไม่สามารถนับจำนวนให้สิ้นสุดได้ เช่น เซตของจำนวนเต็มบวกทั้งหมด I+ = {1, 2, 3, …} หรือเซตของจุดบนเส้นตรง

---

ความสัมพันธ์ระหว่างเซต: เซตที่เท่ากัน สับเซต และเพาเวอร์เซต

เมื่อเราพิจารณาเซตมากกว่าหนึ่งเซต เราสามารถหาความสัมพันธ์ระหว่างกันได้ด้วยแนวคิดพื้นฐานต่อไปนี้:

เซตที่เท่ากัน (Equal Sets)

เซต A และเซต B จะเท่ากัน (เขียนแทนด้วย A = B) ก็ต่อเมื่อ เซตทั้งสองมีสมาชิกเหมือนกันทุกตัว โดยไม่สนใจลำดับการเขียนและไม่สนใจการเขียนซ้ำ เช่น ถ้า A = {1, 2, 3} และ B = {3, 2, 1, 1} จะได้ว่า A = B

สับเซต (Subset)

เซต A เป็น สับเซต ของเซต B (เขียนแทนด้วย A ⊆ B) ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B ด้วย

สมบัติสำคัญของสับเซตที่ต้องจำเพื่อใช้ในห้องสอบ:

• เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต (∅ ⊆ A เสมอ)
• ตัวมันเองเป็นสับเซตของตัวมันเอง (A ⊆ A เสมอ)
• ถ้าเซต A มีจำนวนสมาชิก n ตัว จำนวนสับเซตทั้งหมดของเซต A จะเท่ากับ 2n สับเซต
• สับเซตแท้ (Proper Subset): เซต A จะเป็นสับเซตแท้ของ B (เขียนแทนด้วย A ⊂ B) ก็ต่อเมื่อ A ⊆ B และ A ≠ B (จำนวนสับเซตแท้จะเท่ากับ 2n – 1)

เพาเวอร์เซต (Power Set)

เพาเวอร์เซตของเซต A เขียนแทนด้วย P(A) คือ เซตที่รวบรวมเอาสับเซตทั้งหมดของเซต A มาเป็นสมาชิก พูดง่ายๆ คือ เอาสับเซตทั้งหมดที่หาได้มาใส่เครื่องหมายปีกกาครอบอีกชั้นหนึ่ง

ตัวอย่างเช่น: ถ้า A = {1, 2}

• สับเซตทั้งหมดของ A คือ ∅, {1}, {2}, {1, 2}
• ดังนั้น เพาเวอร์เซต P(A) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}
• จำนวนสมาชิกของเพาเวอร์เซต n(P(A)) จะเท่ากับจำนวนสับเซตทั้งหมด คือ 2n(A) ซึ่งในที่นี้คือ 22 = 4 ตัว

---

การดำเนินการของเซต (Set Operations)

การดำเนินการของเซตเปรียบเสมือนการ บวก ลบ คูณ หาร ในระบบจำนวน โดยเป็นการนำเซตมาสร้างเป็นเซตใหม่ภายใต้ขอบเขตของ เอกภพสัมพัทธ์ (Universal Set เขียนแทนด้วย U) ซึ่งเป็นเซตที่กำหนดขอบเขตของสมาชิกทั้งหมดที่เรากำลังสนใจ มี 4 รูปแบบสำคัญดังแสดงในตารางด้านล่างนี้:

การดำเนินการ (Operation)	สัญลักษณ์ (Symbol)	คำนิยามเชิงคณิตศาสตร์	คำอธิบายแบบเข้าใจง่าย
ยูเนียน (Union)	A ∪ B	{x | x ∈ A หรือ x ∈ B}	เอาสมาชิกทั้งหมดที่อยู่ใน A หรืออยู่ใน B (เทรวมกันทั้งหมด)
อินเตอร์เซกชัน (Intersection)	A ∩ B	{x | x ∈ A และ x ∈ B}	เอาเฉพาะสมาชิกที่ซ้ำกันระหว่าง A และ B
คอมพลีเมนต์ (Complement)	A’ หรือ Ac	{x ∈ U | x ∉ A}	เอาสมาชิกทั้งหมดใน U แต่ไม่เอาสมาชิกที่อยู่ใน A (อยู่ข้างนอก A)
ผลต่าง (Difference)	A – B	{x | x ∈ A และ x ∉ B}	เอาสมาชิกที่อยู่ใน A แต่ต้องไม่ซ้ำกับสมาชิกที่อยู่ใน B (ตั้ง A แล้วหักส่วนของ B ออก)

ตารางที่ 1: สรุปการดำเนินการทางเซตพื้นฐาน 4 รูปแบบหลักและสัญลักษณ์ที่ใช้สำหรับสอบคณิตศาสตร์ ม.ปลาย

---

แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ (Venn-Euler Diagram) และสูตรที่ต้องท่องจำ

 

แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ คือเครื่องมือที่ช่วยให้เรามองภาพความสัมพันธ์และการดำเนินการของเซตได้ชัดเจนที่สุด โดยปกติจะแทนเอกภพสัมพัทธ์ U ด้วยรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า และแทนเซตย่อยต่างๆ ด้วยรูปวงกลมหรือวงรีที่อยู่ภายในสี่เหลี่ยม

จุดที่นักเรียนมักทำคะแนนได้ดีและออกข้อสอบบ่อยที่สุดคือ การหาจำนวนสมาชิกของเซตจำกัด ซึ่งมีสูตรสำเร็จสำคัญที่ต้องท่องจำให้ขึ้นใจดังนี้:

สูตรสำหรับกรณี 2 เซต (เซต A และ B)

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)

คำอธิบายสูตร: การหาจำนวนสมาชิกทั้งหมดในยูเนียน เกิดจากการนำจำนวนสมาชิกของเซต A บวกกับเซต B แต่เนื่องจากส่วนที่ซ้ำกัน (อินเตอร์เซกชัน) ถูกนับซ้ำสองครั้งจากการบวกตรงๆ จึงจำเป็นต้องหักออกหนึ่งครั้งเพื่อให้ได้จำนวนสมาชิกรวมที่ถูกต้องแม่นยำ

สูตรสำหรับกรณี 3 เซต (เซต A, B และ C)

n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)

เทคนิคการจำสำหรับการทำข้อสอบ: จำง่ายๆ ว่า “บวกเดี่ยว ลบคู่ บวกสาม” คือ เริ่มต้นให้นำจำนวนสมาชิกเดี่ยวๆ มารวมกันก่อน จากนั้นลบด้วยส่วนที่ซ้ำกันเป็นคู่ๆ ออก และสุดท้ายให้บวกกลับด้วยส่วนที่ซ้ำกันทั้งสามเซตที่อยู่บริเวณตรงกลางแผนภาพ

---

ตะลุยแนวข้อสอบเรื่องเซต ม.ปลาย พร้อมเฉลยละเอียด

เพื่อให้เข้าใจวิธีนำทฤษฎีและสูตรไปใช้ในห้องสอบอย่างแท้จริง มาดูตัวอย่างโจทย์แนวข้อสอบจริงระดับ ม.ปลาย กันอย่างละเอียดในแต่ละรูปแบบครับ

โจทย์ข้อที่ 1: การหาจำนวนสับเซตและเพาเวอร์เซต (ระดับพื้นฐาน-ปานกลาง)

คำถาม: กำหนดให้ A = { ∅, 1, {1, 2} } จงพิจารณาว่าข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด

1) ∅ ∈ A

2) ∅ ⊆ A

3) {1, 2} ⊆ A

4) { ∅, 1 } ∈ P(A)

เฉลยวิธีทำอย่างละเอียด:

พิจารณาสมาชิกของเซต A ก่อน จะเห็นว่า n(A) = 3 โดยสมาชิกมี 3 ตัวคือ `∅`, `1`, และ `{1, 2}`

1) ∅ ∈ A : ถูกต้อง เพราะเซตว่างปรากฏอยู่ในฐานะสมาชิกตัวแรกในเซต A อย่างชัดเจนตามที่โจทย์เขียน

2) ∅ ⊆ A : ถูกต้อง เนื่องจากมีกฎข้อสำคัญที่เป็นนิยามตายตัวว่า “เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซตเสมอ” โดยที่เราไม่ต้องพิจารณาสมาชิกภายในเลย

3) {1, 2} ⊆ A : ผิด การที่เซตใดๆ จะเป็นสับเซตของ A ได้ สมาชิกภายในปีกกานั้น (ซึ่งคือ 1 และ 2) ต้องเป็นสมาชิกของ A แต่ในที่นี้ 2 ไม่ได้เป็นสมาชิกของ A (เลข 2 อยู่ในเซตย่อยอีกชั้นหนึ่ง ไม่ได้แยกออกมาเดี่ยวๆ) สิ่งที่ถูกต้องตามนิยามคือ {1, 2} ∈ A

4) { ∅, 1 } ∈ P(A) : ถูกต้อง เพราะการที่กลุ่มนี้จะอยู่ในเพาเวอร์เซตได้ หมายความว่ามันต้องเป็นสับเซตของ A ซึ่งเมื่อเช็กเซต { ∅, 1 } จะพบว่า สมาชิกคือ ∅ และ 1 ซึ่งทั้งสองตัวนี้ต่างก็เป็นสมาชิกของ A จริงๆ ดังนัั้นมันจึงเป็นสับเซตของ A ส่งผลให้มันผ่านเงื่อนไขเข้าไปเป็นสมาชิกของ P(A) ด้วยนั่นเอง

โจทย์ข้อที่ 2: โจทย์ปัญหาจำนวนสมาชิกแบบ 2 เซต (ระดับข้อสอบโรงเรียน)

คำถาม: จากการสำรวจนักเรียนชั้น ม.4 จำนวน 100 คน พบว่ามีนักเรียนที่ชอบเรียนวิชาคณิตศาสตร์ 65 คน ชอบเรียนวิชาภาษาอังกฤษ 48 คน และมีนักเรียนที่ชอบเรียนทั้งสองวิชาอยู่ 25 คน จงหาว่ามีนักเรียนกี่คนที่ไม่ชอบเรียนทั้งสองวิชานี้เลย

เฉลยวิธีทำอย่างละเอียด:

กำหนดให้เอกภพสัมพัทธ์ U แทนกลุ่มนักเรียนทั้งหมดที่ทำการสำรวจ ดังนั้น n(U) = 100

ให้ A แทนเซตของนักเรียนที่ชอบเรียนวิชาคณิตศาสตร์ จะได้ n(A) = 65

ให้ B แทนเซตของนักเรียนที่ชอบเรียนวิชาภาษาอังกฤษ จะได้ n(B) = 48

โจทย์กำหนดว่าชอบทั้งสองวิชา หมายถึง ส่วนที่ซ้ำกันหรือการอินเตอร์เซกชัน ดังนั้น n(A ∩ B) = 25

ขั้นแรก ใช้สูตรกรณี 2 เซตเพื่อหาจำนวนคนที่ชอบเรียนอย่างน้อยหนึ่งวิชา (n(A ∪ B)):

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)

n(A ∪ B) = 65 + 48 – 25

n(A ∪ B) = 88 คน

สิ่งที่โจทย์ต้องการถามคือ จำนวนนักเรียนที่ไม่อยู่ในเซต A และไม่舆อยู่ในเซต B เลย ซึ่งก็คือกลุ่มที่อยู่ด้านนอกวงกลมทั้งสองในแผนภาพเวนน์ หรือค่าของคอมพลีเมนต์ของยูเนียน n(A ∪ B)’ นั่นเอง

n(A ∪ B)’ = n(U) – n(A ∪ B)

n(A ∪ B)’ = 100 – 88 = 12 คน

สรุปคำตอบ: มีนักเรียนจำนวน 12 คนที่ไม่ชอบเรียนทั้งสองวิชานี้เลย

โจทย์ข้อที่ 3: โจทย์ปัญหาประยุกต์ 3 เซต (ระดับข้อสอบแข่งขัน / A-Level)

คำถาม: ในการสำรวจผู้เข้าชมงานแสดงสินค้าจำนวน 200 คน เกี่ยวกับการใช้แอปพลิเคชันซื้อสินค้า 3 แอป ได้แก่แอป X, Y และ Z พบข้อมูลดังนี้

• มีผู้ใช้แอป X ทั้งหมด 90 คน, แอป Y ทั้งหมด 85 คน, แอป Z ทั้งหมด 75 คน
• ใช้แอป X และ Y จำนวน 30 คน
• ใช้แอป X และ Z จำนวน 25 คน
• ใช้แอป Y และ Z จำนวน 20 คน
• ใช้ทั้ง 3 แอปพลิเคชันพร้อมกันจำนวน 10 คน

จงหาจำนวนผู้ที่ไม่ได้ใช้แอปพลิเคชันใดเลยใน 3 แอปนี้

เฉลยวิธีทำอย่างละเอียด:

ใช้สูตร 3 เซตเพื่อหาจำนวนคนทั้งหมดที่ใช้งานแอปพลิเคชันอย่างน้อยหนึ่งแอป (n(X ∪ Y ∪ Z)):

สูตรครอบจักรวาล: n(X ∪ Y ∪ Z) = n(X) + n(Y) + n(Z) – n(X ∩ Y) – n(X ∩ Z) – n(Y ∩ Z) + n(X ∩ Y ∩ Z)

แทนค่าตัวเลขที่โจทย์กำหนดมาให้ลงในสูตรโดยตรง:

n(X ∪ Y ∪ Z) = 90 + 85 + 75 – 30 – 25 – 20 + 10

n(X ∪ Y ∪ Z) = 250 – 75 + 10

n(X ∪ Y ∪ Z) = 185 คน

จำนวนผู้ที่ไม่ใช้แอปพลิเคชันใดเลย สามารถหาได้จากจำนวนผู้เข้าชมทั้งหมด (U) หักด้วยจำนวนคนที่ใช้แอปอย่างน้อยหนึ่งแอปที่เราเพิ่งคำนวณได้:

จำนวนคนที่ไม่ใช้เลย = n(U) – n(X ∪ Y ∪ Z) = 200 – 185 = 15 คน

สรุปคำตอบ: มีผู้ที่ไม่ได้ใช้แอปพลิเคชันใดเลยใน 3 แอปนี้จำนวน 15 คน

บทสรุปและคำแนะนำในการทำข้อสอบ

เรื่องเซต ม.4 แม้จะเป็นเรื่องที่มีสูตรไม่เยอะและเนื้อหาเข้าใจง่ายเมื่อเทียบกับบทอื่นๆ แต่ข้อสอบมักจะหลอกนักเรียนตรงนิยามของ “สับเซต” และ “สมาชิก” รวมถึงการซ้อนกันของเครื่องหมายปีกกาในเรื่องเพาเวอร์เซต เทคนิคสำคัญคือการฝึกวาด แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ ให้ชำนาญ เพราะในโจทย์บางข้อที่ไม่ได้ระบุข้อมูลมาครบถ้วนจนใช้สูตรได้ การเติมตัวเลขจากช่องด้านในสุด (อินเตอร์เซกชันของทั้งสามเซต) ไล่ออกมาด้านนอก จะช่วยแก้โจทย์ที่ซับซ้อนได้อย่างรวดเร็วและแม่นยำที่สุด การเตรียมตัวที่ดีควรฝึกทำโจทย์หลากหลายรูปแบบเพื่อเพิ่มคะแนนในวิชาคณิตศาสตร์ให้ดียิ่งขึ้น

สอบถามรายละเอียดคอร์สเรียนเพิ่มเติม

• Add Line : Ondemand Education
• โทรศัพท์ : 02-251-9456 (08.00-20.00)