สรุปเนื้อหา อสมการ ม.ต้น อธิบายครบทุกสมบัติ พร้อมแนวโจทย์และเฉลยละเอียด

วิชาคณิตศาสตร์ในระดับชั้นมัธยมศึกษาตอนต้น เรื่อง อสมการ ม.ต้น เป็นหนึ่งในบทเรียนพื้นฐานที่สำคัญมาก ซึ่งถูกนำไปต่อยอดในระดับมัธยมศึกษาตอนปลายและข้อสอบแข่งขันต่างๆ คำว่า “อสมการ” (Inequalities) หมายถึง ประโยคสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ที่แสดงถึงความสัมพันธ์ของจำนวนสองจำนวนหรือสองนิพจน์ที่ไม่เท่ากัน การเข้าใจแนวคิด สมบัติ และวิธีแก้อสมการอย่างถูกต้อง จะช่วยให้นักเรียนสามารถทำคะแนนในห้องเรียนและสนามสอบได้อย่างมั่นใจ

สมัครเรียนคอร์สคณิตศาสตร์ ม.ต้น : ระบบสมการ อสมการและกราฟ กับ OnDemand

ความหมายและสัญลักษณ์พื้นฐานของ อสมการ ม.ต้น

ในการเรียนเรื่อง อสมการ ม.ต้น สัญลักษณ์ที่ใช้แสดงความสัมพันธ์ที่ไม่เท่ากันมีทั้งหมด 5 สัญลักษณ์หลัก ดังนี้

การทำความเข้าใจคำเชื่อมภาษาไทย เช่น “ไม่เกิน”, “อย่างน้อย”, “ไม่น้อยกว่า”, “ไม่ถึง” เป็นสิ่งสำคัญมากสำหรับการแปลโจทย์ปัญหาเป็นอสมการทางคณิตศาสตร์

สมบัติของอสมการ ที่ต้องจำให้แม่น

ในการจัดรูปหรือแก้ อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว เราจำเป็นต้องใช้ สมบัติของอสมการ เพื่อหาเซตคำตอบ ดังนี้

สมบัติการถ่ายทอด

ถ้า a > b และ b > c แล้ว a > c

สมบัติการบวกและการลบ

เมื่อนำจำนวนจริงใดๆ c บวกหรือลบทั้งสองข้างของอสมการ เครื่องหมายของอสมการจะ ไม่เปลี่ยน

• ถ้า a > b แล้ว a + c > b + c
• ถ้า a > b แล้ว a – c > b – c

สมบัติการคูณและการหาร (จุดเน้นที่ต้องระวัง!)

สมบัติการคูณและหารแบ่งเป็น 2 กรณีที่ต้องระมัดระวังเป็นพิเศษ:

• กรณีที่ 1: คูณหรือหารด้วย จำนวนบวก (c > 0) -> เครื่องหมายอสมการ เหมือนเดิม
  ตัวอย่าง: ถ้า a > b และ c > 0 แล้ว a \cdot c > b \cdot c
• กรณีที่ 2: คูณหรือหารด้วย จำนวนลบ (c < 0) -> ต้อง กลับเครื่องหมายอสมการ เป็นตรงกันข้ามเสมอ!
  ตัวอย่าง: ถ้า a > b และ c < 0 แล้ว a \cdot c < b \cdot c (เครื่องหมายเปลี่ยนจาก > เป็น <)

⚠️ ข้อควรระวังสูงสุด: นักเรียนมักโดนหักคะแนนบ่อยที่สุดในข้อสอบเนื่องจากลืมกลับเครื่องหมายอสมการเมื่อนำจำนวนลบไปคูณหรือหารทั้งสองข้าง!

ขั้นตอน วิธีแก้อสมการ อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว คือ อสมการที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียว และดีกรี (กำลังสูงสุด) ของตัวแปรเป็น 1 รูปแบบทั่วไปคือ ax + b > 0 หรือ ax + b \le 0 เป็นต้น

ขั้นตอน วิธีแก้อสมการ มีดังนี้

1. กำจัดตัวเศษส่วน (ถ้ามี): คูณทั้งสองข้างด้วย ค.ร.น. ของส่วนเพื่อทำให้ตัวเลขเป็นจำนวนเต็ม
2. กระจายและจัดกลุ่มตัวแปร: ถ้ามีวงเล็บ ให้ใช้สมบัติการแจกแจง จากนั้นย้ายพจน์ที่มีตัวแปรมาไว้อยู่ข้างเดียวกัน และย้ายตัวเลขคงที่ไปไว้อีกข้างหนึ่ง
3. รวมพจน์ที่คล้ายกัน: ทำการบวกลบพจน์ทางซ้ายและทางขวาให้อยู่ในรูปอย่างง่าย
4. หาค่าตัวแปร: หารทั้งสองข้างด้วยสัมประสิทธิ์หน้าตัวแปร (หากสัมประสิทธิ์เป็นลบ อย่าลืมกลับเครื่องหมายอสมการ)
5. ตรวจสอบคำตอบและเขียน กราฟแสดงจำนวน: นำคำตอบที่ได้ไปเขียนบนเส้นจำนวนเพื่อดูช่วงคำตอบ

การเขียน กราฟแสดงจำนวน บนเส้นจำนวน

การนำคำตอบของ อสมการ ม.ต้น มาแสดงด้วย กราฟแสดงจำนวน มีหลักการสำคัญดังนี้

• จุดทึบ (●): ใช้เมื่อตัวเลขนั้น รวมอยู่ในคำตอบ (เครื่องหมาย \le หรือ \ge)
• จุดโปร่ง (○): ใช้เมื่อตัวเลขนั้น ไม่รวมอยู่ในคำตอบ (เครื่องหมาย <, > หรือ \neq)
• ลูกศรชี้ไปทางขวา (→): แทนจำนวนที่ มากกว่า ค่าดังกล่าว
• ลูกศรชี้ไปทางซ้าย (←): แทนจำนวนที่ น้อยกว่า ค่าดังกล่าว
• กรณีเครื่องหมายไม่เท่ากับ (\neq): วาดจุดโปร่งที่จุดนั้น แล้วลากเส้นตามเส้นจำนวนทั้งฝั่งซ้ายและฝั่งขวา (หมายถึงเอาทุกจำนวนยกเว้นจุดนั้น)

ตะลุย โจทย์อสมการ ม.3 พร้อมเฉลย อย่างละเอียด

เพื่อให้เข้าใจบทเรียนได้ดียิ่งขึ้น ลองมาดูตัวอย่าง โจทย์อสมการ ม.3 พร้อมเฉลย ในรูปแบบต่างๆ กันครับ

ตัวอย่างที่ 1: การแก้อสมการเชิงเส้นระดับพื้นฐาน

โจทย์: จงแก้อสมการ 3x – 5 \le 7 และเขียนกราฟแสดงคำตอบ

วิธีทำ:

1. บวก 5 ทั้งสองข้างของอสมการ:
   3x – 5 + 5 \le 7 + 5
   3x \le 12
2. หารทั้งสองข้างด้วย 3 (เนื่องจาก 3 เป็นจำนวนบวก เครื่องหมายไม่เปลี่ยน):
   \frac{3x}{3} \le \frac{12}{3}
   x \le 4

คำตอบ: จำนวนจริงทุกจำนวนที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 4 (เขียนกราฟโดยใช้จุดทึบที่ 4 และลากลูกศรไปทางซ้าย)

ตัวอย่างที่ 2: การแก้อสมการที่มีสัมประสิทธิ์ติดลบ

โจทย์: จงแก้อสมการ -2x + 4 > 10

วิธีทำ:

1. ลบ 4 ทั้งสองข้างของอสมการ:
   -2x + 4 – 4 > 10 – 4
   -2x > 6
2. หารทั้งสองข้างด้วย -2 (ต้องกลับเครื่องหมายจาก > เป็น <):
   \frac{-2x}{-2} < \frac{6}{-2}
   x < -3

คำตอบ: จำนวนจริงทุกจำนวนนี้น้อยกว่า -3 (เขียนกราฟโดยใช้จุดโปร่งที่ -3 และลากลูกศรไปทางซ้าย)

ตัวอย่างที่ 3: การแก้อสมการในรูปเศษส่วน

โจทย์: จงแก้อสมการ \frac{2x + 1}{3} \ge x – 2

วิธีทำ:

1. คูณด้วย 3 ทั้งสองข้างเพื่อกำจัดเศษส่วน (3 เป็นจำนวนบวก เครื่องหมายไม่เปลี่ยน):
   3 \cdot \left(\frac{2x + 1}{3}\right) \ge 3 \cdot (x – 2)
   2x + 1 \ge 3x – 6
2. ย้ายพจน์ตัวแปรมาไว้ฝั่งซ้าย และตัวเลขไว้ฝั่งขวา:
   2x – 3x \ge -6 – 1
   -x \ge -7
3. คูณทั้งสองข้างด้วย -1 (อย่าลืมกลับเครื่องหมายจาก \ge เป็น \le):
   x \le 7

คำตอบ: x \le 7 จำนวนจริงทุกจำนวนที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 7

ตัวอย่างที่ 4: โจทย์ปัญหาอสมการเชิงเส้น

โจทย์: สองเท่าของจำนวนจำนวนหนึ่ง บวกด้วย 8 มีค่าไม่เกิน 20 จงหาว่าจำนวนนั้นมีค่าสูงสุดเท่าใด

วิธีทำ:

1. ให้ x แทนจำนวนจำนวนนั้น
2. เขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์: คำว่า “ไม่เกิน” คือเครื่องหมาย \le
   2x + 8 \le 20
3. ย้ายข้างแก้อสมการ:
   2x \le 20 – 8
   2x \le 12
   x \le 6

คำตอบ: จำนวนนั้นมีค่าไม่เกิน 6 ดังนั้นค่าที่มากที่สุดของจำนวนนี้คือ 6

สอบถามรายละเอียดคอร์สเรียนเพิ่มเติม

• Add Line : Ondemand Education
• โทรศัพท์ : 02-251-9456 (08.00-20.00)

คำถามที่พบบ่อย (FAQs)