สิงหาคม 4, 2026

สรุปเนื้อหา เวกเตอร์ ม.5 อธิบายครบ ครอบคลุมทุกหัวข้อ พร้อมตัวอย่างโจทย์และเฉลยละเอียด

Key Takeaways:

เรียนรู้ความแตกต่างระหว่างปริมาณสเกลาร์และเวกเตอร์ รวมถึงการเขียนเวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก 2 มิติ และ 3 มิติ ครอบคลุมการหาขนาดของเวกเตอร์, เวกเตอร์หนึ่งหน่วย, ผลคูณเชิงสเกลาร์ (Dot Product) และผลคูณเชิงเวกเตอร์ (Cross Product) ตัวอย่างโจทย์จริงพร้อมคำอธิบายแบบละเอียดทีละขั้นตอน เพิ่มความมั่นใจในการทำข้อสอบจริง

บทเรียนเรื่อง เวกเตอร์ ม.5 ถือเป็นหนึ่งในหัวข้อสำคัญของวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.ปลาย ที่ไม่เพียงแต่นำไปใช้ในการสอบเพิ่มเกรดในโรงเรียนหรือการสอบเข้ามหาวิทยาลัย (A-Level คณิตศาสตร์ 1) เท่านั้น แต่ยังเป็นพื้นฐานสำคัญสำหรับวิชาฟิสิกส์และวิศวกรรมศาสตร์อีกด้วย บทความนี้จะพานักเรียนทุกคนมาทำความเข้าใจตั้งแต่ สรุปเวกเตอร์ ม.5 แบบปูพื้นฐาน ไปจนถึงเทคนิคการทำโจทย์อย่างแม่นยำ

สมัครเรียนคอร์สคณิตศาสตร์ ม.ปลาย : เวกเตอร์และทฤษฎีกราฟ กับ OnDemand

เวกเตอร์คืออะไร? พื้นฐานที่ต้องรู้ก่อนเริ่มเรียน

ในการศึกษาทางวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ปริมาณทางกายภาพแบ่งออกเป็น 2 ประเภทหลัก ได้แก่:

ปริมาณสเกลาร์ (Scalar Quantity): ปริมาณที่มีแต่ “ขนาด” เพียงอย่างเดียวก็มีความหมายสมบูรณ์ เช่น มวล (kg), ระยะทาง (m), เวลา (s), และอุณหภูมิ (°C)
ปริมาณเวกเตอร์ (Vector Quantity): ปริมาณที่ต้องระบุทั้ง “ขนาด” และ “ทิศทาง” จึงจะมีความหมายสมบูรณ์ เช่น ความเร็ว, แรง, การกระจัด, และความเร่ง

สัญลักษณ์ของเวกเตอร์นิยมเขียนแทนด้วยตัวอักษรที่มีลูกศรอยู่ด้านบน เช่น $\vec{u}$ , $\vec{v}$ หรือเขียนด้วยจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด เช่น $\vec{AB}$ โดยมีจุด A เป็นจุดเริ่มต้น (Initial Point) และจุด B เป็นจุดสิ้นสุด (Terminal Point)

เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก 2 มิติ และ 3 มิติ

การแสดงเวกเตอร์ในทางพีชคณิตช่วยให้เราสามารถคำนวณและดำเนินการต่าง ๆ ได้สะดวกยิ่งขึ้น

เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก 2 มิติ (2D Vector)

หากเวกเตอร์มีจุดเริ่มต้นที่จุดกำเนิด $(0,0)$ และจุดสิ้นสุดอยู่ที่ $(a,b)$ เราสามารถเขียนเวกเตอร์ $\vec{u}$ ได้ในรูปแบบ:

\vec{u} = \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = a\bar{i} + b\bar{j}

โดยที่ $\bar{i}$ คือเวกเตอร์หนึ่งหน่วยในแนวแกน X และ $\bar{j}$ คือเวกเตอร์หนึ่งหน่วยในแนวแกน Y

เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก 3 มิติ (3D Vector)

สำหรับในระบบ 3 มิติ จะเพิ่มแกน Zเข้ามา โดยหากจุดสิ้นสุดอยู่ที่ $(a,b,c)$ จะเขียนได้ดังนี้:

\vec{u} = \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} = a\bar{i} + b\bar{j} + c\bar{k}

โดยที่ $\bar{k}$ คือเวกเตอร์หนึ่งหน่วยในแนวแกน Z

ขนาดของเวกเตอร์และเวกเตอร์หนึ่งหน่วย

การหาขนาดของเวกเตอร์ (Magnitude of Vector)

ขนาดของเวกเตอร์ $\vec{u}$ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ $|\vec{u}|$ สามารถหาได้จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

ใน 2 มิติ: $|\vec{u}| = \sqrt{a^2 + b^2}$
ใน 3 มิติ: $|\vec{u}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$

เวกเตอร์หนึ่งหน่วย (Unit Vector)

เวกเตอร์หนึ่งหน่วย คือเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับ 1 หน่วย และมีทิศทางเดียวกับเวกเตอร์เดิม เขียนแทนด้วย $\hat{u}$ ซึ่งหาได้จากสูตร:

\hat{u} = \frac{\vec{u}}{|\vec{u}|}

หากต้องการหาเวกเตอร์ที่มีขนาด $c$ หน่วย และมีทิศทางเดียวกับ $\vec{u}$ จะได้เป็น $c \cdot \hat{u}$ และหากต้องการทิศทางตรงกันข้ามจะเป็น $-c \cdot \hat{u}[/katex</p><h2><strong>การดำเนินการและการคูณเวกเตอร์</strong></h2><h3><strong>การบวกและการลบเวกเตอร์</strong></h3><p>กำหนดให้ \vec{u} = a_1\bar{i} + b_1\bar{j} + c_1\bar{k}$ และ $\vec{v} = a_2\bar{i} + b_2\bar{j} + c_2\bar{k}$

การบวก: $\vec{u} + \vec{v} = (a_1+a_2)\bar{i} + (b_1+b_2)\bar{j} + (c_1+c_2)\bar{k}$
การลบ: $\vec{u} - \vec{v} = (a_1-a_2)\bar{i} + (b_1-b_2)\bar{j} + (c_1-c_2)\bar{k}$

ผลคูณเชิงสเกลาร์ (Dot Product)

ผลคูณเชิงสเกลาร์ หรือการดอทเวกเตอร์ คือการนำเวกเตอร์สองตัวมาคูณกันแล้วได้ผลลัพธ์เป็น ปริมาณสเกลาร์ (ตัวเลข) มี 2 สูตรหลัก ได้แก่:

\vec{u} \cdot \vec{v} = a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2

\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta

ข้อสังเกตสำคัญ: หาก $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ และเวกเตอร์ทั้งสองไม่ใช่เวกเตอร์ศูนย์ แสดงว่า $\vec{u}$ ตั้งฉากกับ $\vec{v}$ ( $\theta = 90^\circ$ )

ผลคูณเชิงเวกเตอร์ (Cross Produc

ผลคูณเชิงเวกเตอร์ หรือการครอสเวกเตอร์ ใช้เฉพาะในระบบ 3 มิติ ได้ผลลัพธ์เป็น ปริมาณเวกเตอร์ ที่ตั้งฉากกับทั้ง $\vec{u}$ และ $\vec{v}$ คำนวณได้จากดีเทอร์มิแนนต์ (Determinant):

\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix}

นอกจากนี้ ขนาดของผลคูณเชิงเวกเตอร์ยังมีสูตร คือ $|\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}||\vec{v}|\sin\theta$ ซึ่งเท่ากับ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ที่มี $\vec{u}$ และ $\vec{v}$ เป็นด้านประชิด

ตัวอย่างโจทย์เวกเตอร์ ม.5 พร้อมเฉลยละเอียด

ตัวอย่างโจทย์ที่ 1: การหาขนาดและเวกเตอร์หนึ่งหน่วย

โจทย์: กำหนดให้ $\vec{u} = 3\bar{i} - 4\bar{j}$ จงหาขนาดของ $\vec{u}$ และเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศทางเดียวกับ $\vec{u}$

เฉลยละเอียด:

หาขนาดของเวกเตอร์ $\vec{u}$ :

|\vec{u}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

หาเวกเตอร์หนึ่งหน่วย $\hat{u}$ :

\hat{u} = \frac{\vec{u}}{|\vec{u}|} = \frac{3\bar{i} - 4\bar{j}}{5} = \frac{3}{5}\bar{i} - \frac{4}{5}\bar{j}

ตอบ: ขนาดเท่ากับ 5 หน่วย และเวกเตอร์หนึ่งหน่วยคือ $\frac{3}{5}\bar{i} - \frac{4}{5}\bar{j}$

ตัวอย่างโจทย์ที่ 2: การดอทเวกเตอร์และการหามุมระหว่างเวกเตอร์

โจทย์: กำหนดให้ $\vec{u} = 2\bar{i} + 2\bar{j}$ และ $\vec{v} = 0\bar{i} + 3\bar{j}$ จงหามุม $\theta$ ระหว่างเวกเตอร์ทั้งสอง

เฉลยละเอียด:

หา $\vec{u} \cdot \vec{v}$ :

\vec{u} \cdot \vec{v} = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6

หาขนาด $|\vec{u}|$ และ $|\vec{v}|$ :

|\vec{u}| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}

|\vec{v}| = \sqrt{0^2 + 3^2} = \sqrt{9} = 3

ใช้สูตร $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta$ :

6 = (2\sqrt{2})(3)\cos\theta

6 = 6\sqrt{2}\cos\theta \implies \cos\theta = \frac{6}{6\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}

สรุปค่ามุม $\theta$ : เนื่องจาก $\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$

ตอบ: มุมระหว่างเวกเตอร์ทั้งสองเท่ากับ $45^\circ$

ตัวอย่างโจทย์ที่ 3: การหาพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานด้วย Cross Product

โจทย์: จงหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านประชิดเป็น $\vec{u} = \bar{i} + 2\bar{j} + 2\bar{k}$ และ $\vec{v} = 3\bar{i} + 0\bar{j} + 4\bar{k}$

เฉลยละเอียด:

คำนวณ $\vec{u} \times \vec{v}$ :

\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ 1 & 2 & 2 \\ 3 & 0 & 4 \end{vmatrix}

= \bar{i}((2)(4) - (2)(0)) - \bar{j}((1)(4) - (2)(3)) + \bar{k}((1)(0) - (2)(3))

= \bar{i}(8 - 0) - \bar{j}(4 - 6) + \bar{k}(0 - 6) = 8\bar{i} + 2\bar{j} - 6\bar{k}

หาขนาด $|\vec{u} \times \vec{v}|$ เพื่อเป็นพื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนาน:

\text{พื้นที่} = \sqrt{8^2 + 2^2 + (-6)^2} = \sqrt{64 + 4 + 36} = \sqrt{104} = 2\sqrt{26}

ตอบ: พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับ $2\sqrt{26}$ ตารางหน่วย

สอบถามรายละเอียดคอร์สเรียนเพิ่มเติม

Add Line : Ondemand Education
โทรศัพท์ : 02-251-9456 (08.00-20.00)

คำถามที่พบบ่อย (FAQs)

Q: Dot Product กับ Cross Product แตกต่างกันอย่างไร?

A: Dot Product (ผลคูณเชิงสเกลาร์) เมื่อนำเวกเตอร์มาคูณกันจะได้ผลลัพธ์เป็น ตัวเลข (สเกลาร์) นิยมใช้หาขนาดมุมระหว่างเวกเตอร์ หรือตรวจสอบการตั้งฉาก ส่วน Cross Product (ผลคูณเชิงเวกเตอร์) จะใช้ใน 3 มิติ ได้ผลลัพธ์เป็น เวกเตอร์ใหม่ ที่ตั้งฉากกับสองเวกเตอร์เดิม นิยมใช้หาพื้นที่และปริมาตร

Q: ทำไมเวกเตอร์สองตัวตั้งฉากกันแล้ว Dot Product ได้ 0?

A: เพราะสูตร Dot Product คือ $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta$ เมื่อเวกเตอร์ตั้งฉากกัน มุม $\theta = 90^\circ$ ซึ่ง $\cos 90^\circ = 0$ ส่งผลให้ผลคูณทั้งหมดกลายเป็น 0 นั่นเอง

Q: จะเตรียมตัวสอบเรื่องเวกเตอร์ให้ได้คะแนนดีได้อย่างไร?

A: ควรเริ่มต้นจากการจำนิยามสัญลักษณ์พื้นฐานให้แม่น ฝึกแตกเวกเตอร์เข้าแกน X, Y, Z และทำโจทย์เปรียบเทียบระหว่าง Dot Product กับ Cross Product บ่อย ๆ เพื่อไม่ให้สับสนสูตร

OnDemand Team

ทีมวิชาการและแนะแนวการศึกษา OnDemand | OnDemand Academic & Career Advisory Team

ทีมพี่ ๆ ติวเตอร์ที่มีความเชี่ยวชาญด้านวิทย์-คณิต และการเตรียมสอบ TCAS (TGAT, TPAT, A-Level) ประสบการณ์กว่า 18 ปี พร้อมดูแลน้อง ๆ ในสไตล์แบบ “”พี่สอนน้อง”” ที่เน้นความเข้าใจจริง เทคนิคทำโจทย์แม่นยำ เป็นพาร์ตเนอร์ทางการศึกษาที่น่าเชื่อถือของน้อง ๆ และผู้ปกครอง

บทความอื่นๆ