กดดูรายละเอียดเนื้อหาย่อย
หลาย ๆ คน น่าจะเคยได้ยินเกี่ยวกับความน่าจะเป็นกันมาแล้ว ซึ่งจริงๆแล้วความน่าจะเป็น น้อง ๆ ได้เรียนกันมาตั้งแต่ม.ต้น ซึ่งจะเน้นไปที่พื้นฐานและการประยุกต์ใช้หลักการนับพื้นฐาน เช่น การคำนวณหาโอกาสจากเหตุการณ์ง่าย ๆ การทอยลูกเต๋า การสุ่มหยิบการ์ด แต่วันนี้พี่ออนจะพาน้องๆ มาทำความรู้จักความน่าจะเป็นสำหรับน้องม.ปลายกันจะมีอะไรบ้างมาดูกันเลย
หลาย ๆ คน น่าจะเคยได้ยินเกี่ยวกับความน่าจะเป็นกันมาแล้ว ซึ่งจริงๆแล้วความน่าจะเป็น น้อง ๆ ได้เรียนกันมาตั้งแต่ม.ต้น ซึ่งจะเน้นไปที่พื้นฐานและการประยุกต์ใช้หลักการนับพื้นฐาน เช่น การคำนวณหาโอกาสจากเหตุการณ์ง่าย ๆ การทอยลูกเต๋า การสุ่มหยิบการ์ด แต่วันนี้พี่ออนจะพาน้องๆ มาทำความรู้จักความน่าจะเป็นสำหรับน้องม.ปลายกันจะมีอะไรบ้างมาดูกันเลย
✨หลักการนับเบื้องต้น
ก่อนที่เราจะหาความน่าจะเป็น พี่ๆขอพาน้องมารู้จักหลักการนับ กันก่อน เพราะการคำนวนความน่าจะเป็นจะมีหลักการที่ต่างกันออกไป ไม่สามารถทำแบบมั่วๆ ได้ หลักการนับจะช่วยทำให้หาจำนวนวิธีได้รวดเร็วขึ้น
- หลักการบวก ใช้เมื่อเราต้องการนับจำนวนความเป็นไปได้ของหลายเหตุการณ์ที่ไม่เกิดพร้อมกัน แยกงานที่เสร็จออกแล้วเป็น k กรณีย่อย และ n1, n2, n3, …, nk เป็นจำนวนวิธีของแต่ละกรณีที่เกิดขึ้น
จำนวนวิธีทำงาน = n_1 n_2 n_3 \dots, n_k วิธี
ตัวอย่าง มีตุ๊กตาหมี 3 สี สีละ 1 ตัว และมีตุ๊กตา 5 สี สีละ 1 ตัว หากต้องการหยิบตุ๊กตา 1 ตัวมาห้อยกระเป๋าไปโรงเรียนสามารถทำได้กี่วิธีกรณีที่ 1 ถ้าหยิบตุ๊กตาหมี จะทำได้ 3 วิธี เพราะมีตุ๊กตาหมีรวม 3 ตัว
กรณีที่ 2 ถ้าหยิบตุ๊กแมว จะทำได้ 5 วิธี เพราะมีตุ๊กตาแมวรวม 5 ตัวดังนั้น หากต้องการหยิบตุ๊กตา 1 ตัว จะสามารถทำได้ทั้งหมด 3+5=8 วิธี - หลักการคูณ (Multiplication Principle) ใช้เมื่อเราต้องการนับจำนวนความเป็นไปได้ของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นพร้อมกัน หรืองานที่ต้องทำประกอบไปด้วย k ขั้นตอนย่อย
จำนวนวิธีการทำงาน = n_1 n_2 n_3 \dots, n_k วิธี
ตัวอย่าง ร้านขายไอศครีมแห่งหนึ่ง มีไอศครีมอยู่ 5 รสชาติ และท็อปปิ้ง อยู่ 10 อย่าง โดยในการขายไอศครีม 1 เซต จะใส่ไอศครีมได้ 1 รสชาติและท็อปปิ้ง 1 อย่าง จงหาว่าไอศครีม 1 เซตจะมีรูปแบบการขายได้ทั้งหมดกี่แบบเนื่องจากไอศครีม 1 เซต จะประกอบไปด้วย ไอศครีมที่มี 5 รสชาติ และ ท็อปปิ้ง ที่มีอยู่ 10 อย่าง
ดังนั้น จำนวนรูปแบบของไอศครีม 1 เซตจะเท่ากับ 510= 50 รูปแบบ
✨การเรียงสับเปลี่ยน
การเรียงสับเปลี่ยนใช้เมื่อต้องจัดเรียงสิ่งของในลำดับที่แตกต่างกัน โดยจะมีในรูปแบบของการเรียงสับเปลี่ยนแบบเชิงเส้น และ การเรียงสับเปลี่ยนแบบวงกลม
✨การสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของที่แตกต่างกัน
การสับเปลี่ยนทั้งหมดของสิ่งของที่แตกต่างกัน n ชิ้น
จำนวนวิธีในการเรียง n
ตัวอย่าง การเรียงลำดับของคน 3 คน ได้แก่ A, B, C คือ 3=3×2×1=6 วิธี
การสับเปลี่ยนบางส่วน
การสับเปลี่ยนบางส่วนของสิ่งของ n ชิ้น ที่เลือกมาเรียง r ชิ้น
{}^P_{n,r} = \frac{n!}{(n – r)!}
ตัวอย่าง การเรียงลำดับคน 3 คนจาก 5 คน จะได้ {}^P_{5,3} = \frac{5!}{(5 – 3)!} = 5 \times 4 \times 3 = 60
✨การสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของที่เหมือนกัน
สิ่งของที่เหมือนกันบางชิ้น การสับเปลี่ยนจะต้องหักล้างความซ้ำซ้อน
กลุ่มที่ 1 มีของที่ซ้ำกัน n_1 สิ่ง
กลุ่มที่ 2 มีของที่ซ้ำกัน n_2 สิ่ง
กลุ่มที่ 3 มีของที่ซ้ำกัน n_3 สิ่ง.
กลุ่มที่ k มีของที่ซ้ำกัน nk สิ่ง
โดยที่ n = n_1 +n_2 +n_3 \dots,+ n_k
\text{จำนวนวิธี} = \frac{n!}{n_1! n_2! n_3! \cdots n_k!}
ตัวอย่าง การสับเปลี่ยนคำว่า “DAD” จะได้ \frac{3!}{2! \cdot 1!} = \frac{6}{2} = 3 วิธี
✨การสับเปลี่ยนแบบวงกลม
ใช้สำหรับการเรียงสิ่งของในลักษณะวงกลม
จำนวนวิธีในการเรียง = (n-1)
ตัวอย่าง การจัดลำดับคน 4 คนรอบโต๊ะกลม คือ (4−1) = 3 = 6
✨การจัดหมู่
การจับหรือเลือกของขึ้นมาพร้อมๆ กัน โดยไม่สนใจลําดับว่าจับ หรือเลือกของชิ้นไหนขึ้นมาก่อน
C_{n,r} = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}
ตัวอย่าง การเลือกคน 2 คนจากกลุ่ม 5 คน คือ C_{5,2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 3 \times 2 \times 1} = 10
✨ความน่าจะเป็น
การทดลองสุ่ม (Random Experiment) คือ การทดลองหรือการกระทํา ใดๆ ที่มีผลลัพธ์
ที่เป็นไปได้มากกว่าหนึ่งอย่าง ทํา ให้ไม่สามารถบอกผลลัพธ์ที่แน่นอนได้ล่วงหน้า แต่ทราบผลลัพธ์ที่
เป็นไปได้ทั้งหมด เช่น การโยนเหรียญ 1 เหรียญ 1 ครั้ง เราทราบว่าผลลัพธ์อาจเป็นเหรียญหงายหัวหรือก้อย แต่เมื่อเราโยนเหรียญลงไป เราไม่สามารถ บอกได้แน่นอนว่า เหรียญจะหงายหัวหรือก้อย
ปริภูมิตัวอย่างหรือแซมเปิลสเปซ (Sample Space) คือ เซตของผลลัพธ์ที่อาจจะ
เกิดขึ้นได้ทั้งหมดจากการทดลองสุ่ม เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ S
เหตุการณ์ (Event) คือ สิ่งที่สนใจจะพิจารณาจากการทดลองสุ่ม เป็นเซตย่อยของ ปริภูมิตัวอย่าง (S) และเรียกผลลัพธ์ทั้งหมดของสิ่งที่สนใจที่เกิดขึ้นจากการทดลองสุ่มนั้นว่า ผลลัพธ์ของเหตุการณ์
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์(Probability) คือ ตัวเลขที่บอกให้เราทราบว่าเหตุการณ์นั้นๆ
มีโอกาสเกิดขึ้นได้มากน้อยเพียงใด สามารถเขียนได้หลายรูปแบบทั้งเศษส่วน ทศนิยม ร้อยละ
นิยาม ให้ S แทน ปริภูมิตัวอย่าง โดยที่สมาชิกแต่ละตัวใน S มีโอกาสเกิดขึ้นได้เท่าๆ กัน
E แทน เหตุการณ์ที่สนใจ
n(E) คือ จํา นวนสมาชิกของเหตุการณ์ E
n(S) คือ จํา นวนสมาชิกของปริภูมิตัวอย่าง S
และ P(E) แทน ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E แล้ว
P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} โดยที่ 0 \leq P(E) \leq 1
ตัวอย่าง
โยนเหรียญ 1 เหรียญ 2 ครั้ง จงหาความน่าจะเป็นที่เหรียญออกหน้าเดียวกัน
เนื่องจาก S = {(H,H) , (H,T) , (T,H) , (T,T)} จะได้ว่า n(S) = 4
ให้ E แทนเหตุการณ์ที่เหรียญออกหน้าเดียวกัน
E = {(H,H) , (T,T)} จะได้ว่า n(E) = 2
P(E) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}ตัวอย่าง
หยิบลูกบอล 2 ลูกพร้อมกัน จากถุงหนึ่งใบที่มีลูกบอลสีชมพู 2 ลูกและสีฟ้า 3 ลูก จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่หยิบได้ลูกบอลสีต่างกัน
n(S) = จำนวนวิธีที่หยิบลูกบอล 2 ลูกพร้อมกันจากลูกบอลทั้งหมด 5 ลูก
คือ C_{5,2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 3 \times 2 \times 1} = 10
n(E) = จำนวนวิธีที่หยิบได้ลูกบอลสีชมพู 1 ลูก และ สีฟ้า 1 ลูก
เป็นยังไงบ้างครับสำหรับเนื้อหาเรื่องความน่าจะเป็น ที่พี่นำมาฝากในวันนี้ น้อง ๆ หลายคนอาจจะรู้สึกว่ามีเนื้อหาใหม่ ๆ ที่เราไม่เคยเจอมาก่อนอยู่หลายอย่าง แต่ถ้าน้อง ๆ หมั่นทบทวนและขยันทำโจทย์ เนื้อหาเหล่านี้ก็จะไม่ยากอีกต่อไป และช่วยให้เราเข้าใจ ความน่าจะเป็น มากขึ้นอย่างแน่นอน ถ้าน้องๆ คิดว่าแค่อ่านบทความแล้วยังไม่พอ พี่ออนดีมานด์มีคอร์สเรียนแนะนำดีๆ มาบอกต่อ
บทความอื่นๆ เพิ่มเติม 👉 : OnDemand
คอร์สเรียนแนะนำ
โดยพี่ออนดีมานด์
คอร์ส TCAS + ตะลุยโจทย์ คณิต
ทีมวิชาการและแนะแนวการศึกษา OnDemand | OnDemand Academic & Career Advisory Team
ทีมพี่ ๆ ติวเตอร์ที่มีความเชี่ยวชาญด้านวิทย์-คณิต และการเตรียมสอบ TCAS (TGAT, TPAT, A-Level) ประสบการณ์กว่า 18 ปี พร้อมดูแลน้อง ๆ ในสไตล์แบบ “”พี่สอนน้อง”” ที่เน้นความเข้าใจจริง เทคนิคทำโจทย์แม่นยำ เป็นพาร์ตเนอร์ทางการศึกษาที่น่าเชื่อถือของน้อง ๆ และผู้ปกครอง
