สรุปเนื้อหา ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ม.ต้น อธิบายครบ พร้อมตัวอย่างโจทย์และเฉลยละเอียด

วิชาคณิตศาสตร์ในระดับชั้นมัธยมศึกษาตอนต้น (ม.ต้น) เรื่อง ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ถือเป็นหนึ่งในบทเรียนพื้นฐานที่สำคัญที่สุด เพราะไม่เพียงแต่ออกสอบบ่อยในห้องเรียนและข้อสอบเข้า ม.4 โรงเรียนชั้นนำเท่านั้น แต่ยังเป็นรากฐานสำคัญสำหรับการเรียนคณิตศาสตร์ในระดับ ม.ปลาย เช่น แคลคูลัส เรขาคณิตวิเคราะห์ อีกด้วย

บทความนี้สรุปเนื้อหาเรื่อง สมการเชิงเส้นสองตัวแปร ม.ต้น อย่างครบถ้วนทุกแง่มุม ตั้งแต่นิยาม ทฤษฎี วิธีแก้ระบบสมการ จนถึงเทคนิคการทำ โจทย์ปัญหาระบบสมการ พร้อมเฉลยขั้นตอนอย่างละเอียด

สมัครเรียนคอร์สคณิตศาสตร์ ม.ต้น : ระบบสมการ อสมการและกราฟ กับ OnDemand

ทำความเข้าใจพื้นฐาน ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร คืออะไร?

ก่อนที่เราจะไปดูวิธีแก้โจทย์ เราต้องเข้าใจนิยามของสมการแต่ละชนิดกันก่อน

สมการเชิงเส้นสองตัวแปร (Linear Equation in Two Variables)

สมการเชิงเส้นสองตัวแปร คือ สมการที่มีตัวแปร 2 ตัว (เช่น x และ y) โดยที่ดีกรี (กำลัง) ของตัวแปรแต่ละตัวเป็น 1 และไม่มีการคูณกันของตัวแปร

รูปทั่วไปของสมการเชิงเส้นสองตัวแปร คือ:

เมื่อ A, B, C เป็นจำนวนจริงใดๆ โดยที่ A และ B ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน

นอกจากนี้ยังสามารถเขียนในรูปมาตรฐาน (Standard Form) หรือ รูปฟังก์ชันเชิงเส้น ได้เป็น:

เมื่อ m คือ ความชัน (Slope) และ c คือ ระยะตัดแกน Y (Y-intercept)

ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร (System of Linear Equations in Two Variables)

ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร หมายถึง ชุดของสมการเชิงเส้นสองตัวแปรตั้งแต่ 2 สมการขึ้นไป โดยที่เราต้องการหาค่าของตัวแปร x และ y ที่สอดคล้องและทำให้สมการทุกสมการในชุดนั้นเป็นจริงพร้อมกัน

รูปทั่วไปของระบบสมการ 2 สมการ คือ:

โดยที่ a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2 เป็นค่าคงที่ และค่าคำตอบของระบบสมการมักเขียนอยู่ในรูปคู่อันดับ (x, y)

ลักษณะคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร

เมื่อเรานำสมการเชิงเส้นสองตัวแปรทั้งสองไปเขียนกราฟเส้นตรงบนระนาบพิกัดฉาก (X-Y Plane) คำตอบของระบบสมการจะตรงกับ “จุดตัด” ของเส้นตรงทั้งสองเส้น ซึ่งสามารถแบ่งลักษณะคำตอบออกเป็น 3 กรณี ดังนี้:

1. มีคำตอบเดียว (Single Solution / Unique Solution): เกิดขึ้นเมื่อเส้นตรงทั้งสองมีความชันไม่เท่ากัน (m_1 \neq m_2) ทำให้เส้นตรงตัดกันที่จุดเดียว คู่อันดับ (x, y) จุดนั้นคือคำตอบเดียวของระบบสมการ
2. ไม่มีคำตอบ (No Solution): เกิดขึ้นเมื่อเส้นตรงทั้งสองขนานกัน มีความชันเท่ากัน (m_1 = m_2) แต่ระยะตัดแกน Y ไม่เท่ากัน (c_1 \neq c_2) เส้นตรงจึงไม่ตัดกันเลย
3. มีคำตอบมากมายไม่จำกัด (Infinitely Many Solutions): เกิดขึ้นเมื่อเส้นตรงทั้งสองทับกันสนิท นั่นคือ มีความชันเท่ากัน (m_1 = m_2) และมีระยะตัดแกน Y เท่ากัน (c_1 = c_2) ทำให้ทุกๆ จุดบนเส้นตรงเป็นคำตอบของระบบสมการ

วิธีแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรอย่างละเอียด

ในการทำข้อสอบ ม.ต้น มี วิธีแก้ระบบสมการ ที่สำคัญและต้องใช้อย่างคล่องแคล่วอยู่ 2 วิธีหลัก และวิธีทางทฤษฎีกราฟอีก 1 วิธี:

วิธีที่ 1: การกำจัดตัวแปร (Elimination Method)

การกำจัดตัวแปร เป็นวิธีที่นิยมที่สุดเพราะรวดเร็วและลดโอกาสผิดพลาดในการคำนวณเศษส่วน ขั้นตอนการทำมีดังนี้:

1. เลือกตัวแปรที่ต้องการกำจัด (x หรือ y)
2. ปรับสัมประสิทธิ์ของตัวแปรนั้นในทั้งสองสมการให้มีค่าสัมบูรณ์เท่ากัน โดยการคูณตัวเลขที่เหมาะสมตลอดสมการ
3. นำสมการทั้งสองมาบวกหรือลบกัน:

• ถ้าสัมประสิทธิ์มีเครื่องหมายเหมือนกัน ให้นำสมการมาลบกัน
• ถ้าสัมประสิทธิ์มีเครื่องหมายตรงข้ามกัน ให้นำสมการมาบวกกัน

1. แก้สมการตัวแปรเดียวที่เหลืออยู่เพื่อหาค่าตัวแปรแรก
2. นำค่าตัวแปรที่ได้ไปแทนในสมการใดสมการหนึ่งเพื่อหาค่าตัวแปรอีกตัว

วิธีที่ 2: การแทนค่า (Substitution Method)

การแทนค่า เหมาะสำหรับกรณีที่มีสมการใดสมการหนึ่งจัดรูปตัวแปรเดี่ยวไว้แล้ว หรือสัมประสิทธิ์หน้าตัวแปรเป็น 1 หรือ -1 ขั้นตอนมีดังนี้:

1. เลือกสมการที่ง่ายที่สุด แล้วจัดรูปให้อยู่ในเทอมของตัวแปรใดตัวแปรหนึ่ง เช่น จัดให้เป็น x = … หรือ y = …
2. นำนิพจน์ที่ได้ไปแทนค่าในตัวแปรนั้นของอีกสมการหนึ่ง
3. แก้สมการตัวแปรเดียวที่ได้
4. นำค่าที่ได้กลับไปแทนเพื่อหาค่าตัวแปรอีกตัว

วิธีที่ 3: การใช้กราฟ (Graphical Method)

เขียนกราฟของทั้งสองสมการลงบนกระดาษกราฟ แล้วสังเกตพิกัด (x, y) จุดที่กราฟตัดกัน ซึ่งเป็นวิธีที่เหมาะสำหรับการทำความเข้าใจเชิงแนวคิดหรือเมื่อโจทย์สั่งให้วาดกราฟ

เปรียบเทียบวิธีการแก้ระบบสมการแต่ละรูปแบบ

ตัวอย่างโจทย์ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร พร้อมเฉลยอย่างละเอียด

ตัวอย่างที่ 1: การแก้ระบบสมการด้วยวิธี การกำจัดตัวแปร

โจทย์: จงหาคำตอบของ ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ต่อไปนี้

(1) 2x + 3y = 13

(2) 5x – 3y = 1

เฉลยอย่างละเอียด:

สังเกตว่าสัมประสิทธิ์หน้าตัวแปร y ในสมการ (1) คือ +3 และในสมการ (2) คือ -3 ซึ่งมีขนาดเท่ากันแต่เครื่องหมายตรงข้ามกัน

ขั้นตอนที่ 1: นำสมการ (1) และ (2) มาบวกกันเพื่อกำจัดตัวแปร y

ขั้นตอนที่ 2: นำค่า x = 2 ไปแทนค่าในสมการ (1)

คำตอบ: คำตอบของระบบสมการคือ (x, y) = (2, 3)

ตัวอย่างที่ 2: การแก้ระบบสมการด้วยวิธี การแทนค่า

โจทย์: จงหาคำตอบของระบบสมการต่อไปนี้

(1) x – y = 2

(2) 3x + 2y = 16

เฉลยอย่างละเอียด:

ขั้นตอนที่ 1: จัดรูปสมการ (1) เพื่อให้อยู่ในรูป x = …

จาก (1): x = y + 2 —– ให้เป็นสมการ (3)

ขั้นตอนที่ 2: นำ x = y + 2 ไปแทนค่าลงในสมการ (2)

ขั้นตอนที่ 3: นำ y = 2 ไปแทนค่าในสมการ (3)

ตัวอย่างที่ 3: โจทย์ปัญหาระบบสมการ เชิงประยุกต์

โจทย์: บัตรคอนเสิร์ตแห่งหนึ่งมี 2 ราคา คือ บัตรผู้ใหญ่และบัตรเด็ก ถ้าขายบัตรผู้ใหญ่ 3 ใบ และบัตรเด็ก 5 ใบ รวมเป็นเงิน 1,100 บาท แต่ถ้าขายบัตรผู้ใหญ่ 4 ใบ และบัตรเด็ก 2 ใบ รวมเป็นเงิน 1,000 บาท จงหาราคาบัตรผู้ใหญ่และบัตรเด็กอย่างละกี่บาท

เฉลยอย่างละเอียด:

ขั้นตอนที่ 1: กำหนดตัวแปร

• ให้ x เป็นราคาบัตรผู้ใหญ่ (บาท)
• ให้ y เป็นราคาบัตรเด็ก (บาท)

ขั้นตอนที่ 2: สร้างระบบสมการจากเงื่อนไขโจทย์

เงื่อนไขแรก: บัตรผู้ใหญ่ 3 ใบ บัตรเด็ก 5 ใบ รวม 1,100 บาท

(1) 3x + 5y = 1100

เงื่อนไขสอง: บัตรผู้ใหญ่ 4 ใบ บัตรเด็ก 2 ใบ รวม 1,000 บาท

(2) 4x + 2y = 1000

ขั้นตอนที่ 3: แก้ระบบสมการโดย การกำจัดตัวแปร

ปรับสัมประสิทธิ์หน้าตัวแปร y ให้เท่ากับ 10 โดยคูณสมการ:

นำสมการ (1) \times 2: 6x + 10y = 2200 —– (3)

นำสมการ (2) \times 5: 20x + 10y = 5000 —– (4)

นำสมการ (4) – สมการ (3):

นำ x = 200 ไปแทนค่าในสมการ (2):

คำตอบ: บัตรผู้ใหญ่ราคาใบละ 200 บาท และบัตรเด็กราคาใบละ 100 บาท

สรุปเทคนิคการทำข้อสอบเกี่ยวกับโจทย์ปัญหา

ข้อสอบเรื่อง สมการเชิงเส้นสองตัวแปร ม.ต้น มักจะมาในรูปแบบโจทย์ปัญหา เพื่อให้การแก้โจทย์รวดเร็วและถูกต้อง ให้น้องๆ ใช้ขั้นตอน 4 ขั้นตอนหลักนี้:

1. อ่านโจทย์และควานหาคำถาม: ดูว่าโจทย์ต้องการหาอะไร แล้วตั้งสิ่งนั้นเป็นตัวแปร x และ y
2. ถอดข้อความภาษาไทยเป็นสมการคณิตศาสตร์: มองหาคำเชื่อม เช่น “รวมกันได้” (+), “ต่างกันอยู่” (-), “เป็น…เท่าของ” (\times) เพื่อสร้างเป็น 2 สมการ
3. เลือกวิธีคำนวณที่เหมาะสม: หากสัมประสิทธิ์ง่ายต่อการคูณ ให้ใช้ การกำจัดตัวแปร แต่ถ้าตัวแปรลอยโดดๆ ให้ใช้ การแทนค่า
4. ตรวจคำตอบเสมอ: เมื่อได้ค่า x และ y ให้นำกลับไปแทนค่าในโจทย์เพื่อดูว่าสมเหตุสมผลหรือไม่

สอบถามรายละเอียดคอร์สเรียนเพิ่มเติม

• Add Line : Ondemand Education
• โทรศัพท์ : 02-251-9456 (08.00-20.00)

คำถามที่พบบ่อย (FAQs)