Key Takeaways
ทฤษฎีจลน์ของแก๊สเป็นเนื้อหาฟิสิกส์ ม.6 ที่น้อง ๆ จะได้เจอกันในเรื่องความร้อนและแก๊ส โดยเป็นหนึ่งในเนื้อหาฟิสิกส์ ม.ปลายที่ศึกษาพฤติกรรมต่าง ๆ ของแก๊สอุดมคติในระดับโมเลกุล แล้วนำมาอธิบายความสัมพันธ์ระหว่างสมบัติทางกายภาพต่าง ๆ ของแก๊ส นอกจากนี้ ทฤษฎีจลน์ของแก๊สยังเป็นอีกหัวข้อหนึ่งที่ถูกนำมาออกข้อสอบ A-Level ฟิสิกส์ด้วย ในบทความนี้ พี่ ๆ ก็จะสรุปเนื้อหาสำคัญของทฤษฎีจลน์ของแก๊ส พร้อมสูตรคำนวณและตัวอย่างโจทย์ เพื่อช่วยให้น้อง ๆ สามารถเตรียมตัวสอบที่โรงเรียนและ A-Level ได้อย่างมั่นใจมากขึ้น
Table of Contents
ในบทความเรื่องความร้อนและแก๊ส เราได้เรียนรู้สมบัติทางกายภาพของแก๊สอุดมคติในสเกลใหญ่อย่างความดัน ปริมาตร และอุณหภูมิกันไปแล้ว แต่รู้หรือไม่ว่าสมบัติทางกายภาพเหล่านี้ แท้จริงแล้วถูกขับเคลื่อนด้วยพฤติกรรมของโมเลกุลแก๊สในสเกลที่เล็กลงมา เพียงเรานำกฎการเคลื่อนที่ของนิวตันมาประยุกต์ใช้กับโมเลกุลแก๊สพร้อมกับหลักการทางสถิติ เราก็จะสามารถอธิบายกระบวนการที่เกี่ยวข้องได้อย่างมีเหตุผล
ในบทความนี้ เราจะมาทำความเข้าใจเนื้อหาฟิสิกส์ ม.ปลาย เรื่องทฤษฎีจลน์ของแก๊สในมุมมองที่เข้าใจง่าย ช่วยให้เข้าใจสูตร และนำไปประยุกต์ใช้ได้จริงในการทำโจทย์กัน
สมัครเรียนคอร์สฟิสิกส์ ม.ปลาย : แก๊สและทฤษฏีจลน์ กลุ่มสมบัติสาร กับ OnDemand
อัตราเร็วอาร์เอ็มเอสมีนิยามอย่างไร ?
นิยามของอัตราเร็วอาร์เอ็มเอส คือ รากที่สองของค่าเฉลี่ยของอัตราเร็วยกกำลังสอง (root mean square; rms) ของโมเลกุลแก๊สแต่ละตัว
v_{\text{rms}} = \sqrt{\overline{v^2}} = \sqrt{\dfrac{v_1^2 + v_2^2 + \dots + v_N^2}{N}}ซึ่งอัตราเร็วเฉลี่ยในทางสถิติมีนิยามคือ
\overline{v} = \dfrac{v_1 + v_2 + \dots + v_N}{N}อัตราเร็วอาร์เอ็มเอสมีความสัมพันธ์กับความดันอย่างไร ?
พิจารณาโมเลกุลแก๊สอุดมคติมวล m ซึ่งเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว \vec{v}_x ในทิศทาง -\hat{x} อยู่ในภาชนะทรงลูกบาศก์ขนาด L \times L \times L เพียงโมเลกุลเดียว เมื่อโมเลกุลพุ่งชนผนังภาชนะแบบยืดหยุ่นแล้วเคลื่อนที่ย้อนกลับไปด้วยความเร็วขนาดเท่าเดิมแต่สวนทางกับทิศทางเดิม ซึ่งจะไปพุ่งชนผนังอีกฝั่งแบบยืดหยุ่นแล้วเคลื่อนที่ย้อนกลับไปด้วยความเร็วเหมือนกับตอนแรกสุดจนมาพุ่งชนผนังเดิมอีกครั้งในช่วงเวลา \Delta t = \dfrac{2L}{v_x} ขนาดของแรงดลเฉลี่ยที่เกิดขึ้นคือ
\overline{F}_x = \dfrac{\Delta p_x}{\Delta t} = \dfrac{mv_x – (-mv_x)}{\dfrac{2L}{v_x}} = \dfrac{2mv_x^2}{2L} = \dfrac{mv_x^2}{L}ถ้าในภาชนะนั้นมีแก๊สอยู่ N โมเลกุล ขนาดของแรงเฉลี่ยที่แก๊ส N โมเลกุล กระทำต่อผนังจะเป็น
\overline{F}_x = \dfrac{m}{L}(v_{x_1}^2 + v_{x_2}^2 + \dots + v_{x_N}^2) = \dfrac{Nm}{L}\overline{v_x^2}โดยที่ \overline{v_x^2} = \dfrac{v_{x_1}^2 + v_{x_2}^2 + \dots + v_{x_N}^2}{N} เป็นค่าเฉลี่ยของอัตราเร็วยกกำลังสอง
เราจะคำนวณความดันที่เกิดขึ้นบนผนังได้จาก
P_x = \dfrac{\overline{F}_x}{A} = \dfrac{\dfrac{Nm}{L}\overline{v_x^2}}{L^2} = \dfrac{Nm\overline{v_x^2}}{L^3} = \dfrac{Nm\overline{v_x^2}}{V}เนื่องจากความดันของแก๊สในภาชนะเดียวกันต้องมีค่าเท่ากันทุกตำแหน่ง ทำให้
\begin{aligned} P_x &= P_y = P_z \\ \dfrac{Nm\overline{v_x^2}}{V} &= \dfrac{Nm\overline{v_y^2}}{V} = \dfrac{Nm\overline{v_z^2}}{V} \\ \overline{v_x^2} &= \overline{v_y^2} = \overline{v_z^2} \end{aligned} </span>
เมื่อรวมความเร็วเฉลี่ยของโมเลกุลในทุกแนวแกนแบบเวกเตอร์ จะได้ว่า \overline{v^2} = \overline{v_x^2} + \overline{v_y^2} + \overline{v_z^2}
ทำให้ \overline{v^2} = 3\overline{v_x^2} = 3\overline{v_y^2} = 3\overline{v_z^2}
แสดงว่า\overline{v_x^2} = \overline{v_y^2} = \overline{v_z^2} = \dfrac{1}{3}\overline{v^2}
ดังนั้น ความดันของแก๊สในภาชนะ คือ
P = P_x = P_y = P_z = \dfrac{1}{3}\dfrac{Nm}{V}\overline{v^2}เนื่องจาก v_{\text{rms}} = \sqrt{\overline{v^2}} จึงได้ว่า
P = \dfrac{1}{3}\dfrac{Nm}{V}v_{\text{rms}}^2พลังงานจลน์เฉลี่ยของแก๊สมีสูตรคำนวณอย่างไร ?
จาก P = \dfrac{1}{3}\dfrac{Nm}{V}v_{\text{rms}}^2
นำมาจัดรูปต่อได้ PV = \dfrac{1}{3}Nmv_{\text{rms}}^2
Nk_{\text{B}}T = \dfrac{1}{3}Nmv_{\text{rms}}^2
3k_{\text{B}}T = mv_{\text{rms}}^2
ดังนั้น พลังงานจลน์เฉลี่ยของแก๊สอะตอมเดี่ยวแต่ละโมเลกุล คือ
\overline{E}_{\text{k}} = \dfrac{1}{2}mv_{\text{rms}}^2 = \dfrac{3}{2}k_{\text{B}}Tอัตราเร็วอาร์เอ็มเอสมีความสัมพันธ์กับอุณหภูมิอย่างไร ?
จาก 3k_{\text{B}}T = mv_{\text{rms}}^2
จะได้ความสัมพันธ์ระหว่างอัตราเร็วอาร์เอ็มเอสกับอุณหภูมิเป็นดังสมการ
สำหรับแก๊สที่มีมวลโมเลกุล M = \dfrac{Nm}{n} จะได้ความสัมพันธ์ระหว่างอัตราเร็วอาร์เอ็มเอสกับอุณหภูมิในอีกรูปแบบหนึ่งดังสมการ
v_{\text{rms}} = \sqrt{\dfrac{3Nk_{\text{B}}T}{Nm}} = \sqrt{\dfrac{3nRT}{nM}} = \sqrt{\dfrac{3RT}{M}}และสำหรับแก๊สที่มีความหนาแน่น \rho = \dfrac{Nm}{V} จะได้ความสัมพันธ์ระหว่างอัตราเร็วอาร์เอ็มเอสกับความดันในอีกรูปแบบหนึ่งดังสมการ
v_{\text{rms}} = \sqrt{\dfrac{3Nk_{\text{B}}T}{Nm}} = \sqrt{\dfrac{3PV}{\rho V}} = \sqrt{\dfrac{3P}{\rho}}พลังงานจลน์รวมของแก๊สบ่งบอกถึงอะไร ?
สำหรับแก๊สอุดมคติที่ถือว่าแต่ละโมเลกุลไม่มีแรงกระทำต่อกัน พลังงานทั้งหมดของโมเลกุลแก๊สจะมีเพียงพลังงานจลน์ซึ่งเป็นพลังงานจลน์รวมของทุกโมเลกุลแก๊ส โดยพลังงานทั้งหมดของโมเลกุลแก๊สที่มีอยู่ในระบบนี้ เรียกว่า “พลังงานภายใน” (Internal Energy)
U = E_{\text{k, รวม}} = N\overline{E}_{\text{k}} = \dfrac{3}{2}Nk_{\text{B}}T = \dfrac{3}{2}nRT = \dfrac{3}{2}PVตัวอย่างข้อสอบ A-Level ฟิสิกส์ เรื่อง ทฤษฎีจลน์ของแก๊ส
ตัวอย่างที่ 1 อัตราเร็วอาร์เอ็มเอส v𝗋𝗆𝗌 ของโมเลกุลแก๊สออกซิเจน (\text{O}_2) ที่อุณหภูมิ
100 องศาเซลเซียส มีค่าเท่าใด
กำหนดให้ k_{\text{B}} คือ ค่าคงที่ของโบลต์ซมันน์
m_{\text{O}_2} คือ มวลของแก๊สออกซิเจน 1 โมเลกุลในหน่วยกิโลกรัม
วิธีคิด จาก v_{\text{rms}} = \sqrt{\dfrac{3k_{\text{B}}T}{m}}
จะได้ v_{\text{rms}} = \sqrt{\dfrac{3k_{\text{B}}(100+273)}{m_{\text{O}_2}}} = \sqrt{\dfrac{1,119k_{\text{B}}}{m_{\text{O}_2}}}
ตัวอย่างที่ 2 แก๊สอุดมคติชนิดหนึ่งบรรจุอยู่ในภาชนะปิดใบหนึ่งที่มีปริมาตรคงตัว โดยแก๊สมีอุณหภูมิ T_1
เมื่อทำให้อุณหภูมิของแก๊สเปลี่ยนแปลงไปจากเดิมพบว่าอัตราเร็วอาร์เอ็มเอสของ
โมเลกุลแก๊สเท่ากับ 2 เท่าของค่าเดิม พลังงานจลน์เฉลี่ยของโมเลกุลแก๊สหลังจาก
เปลี่ยนแปลงอุณหภูมิดังข้างต้นมีค่าเท่าใดในรูปความสัมพันธ์กับ T_1
กำหนดให้ อุณหภูมิ T_1 เป็นอุณหภูมิสัมบูรณ์
k_{\text{B}} เป็นค่าคงตัวโบลต์ซมันน์
ไม่มีการถ่ายโอนความร้อนระหว่างระบบกับสิ่งแวดล้อม
วิธีคิด จาก \overline{E}_{\text{k}} = \dfrac{1}{2}mv_{\text{rms}}^2
เมื่อพิจารณาโมเลกุลแก๊สเดียวกัน จะได้ \overline{E}_{\text{k}} \propto v_{\text{rms}}^2
เมื่ออัตราเร็วอาร์เอ็มเอสของโมเลกุลแก๊สเพิ่มขึ้นเป็น 2 เท่าของค่าเดิม
จะทำให้พลังงานจลน์เฉลี่ยของโมเลกุลแก๊สเพิ่มขึ้นเป็น 4 เท่าของค่าเดิม
จาก \overline{E}_{\text{k}} = \dfrac{3}{2}k_{\text{B}}T
พลังงานจลน์เฉลี่ยเดิมของโมเลกุลแก๊ส คือ \overline{E}_{\text{k}} = \dfrac{3}{2}k_{\text{B}}T_1
ดังนั้น พลังงานจลน์เฉลี่ยของโมเลกุลแก๊สเพิ่มขึ้นเป็น \overline{E}_{\text{k}}’ = 4\left(\dfrac{3}{2}k_{\text{B}}T_1\right) = 6k_{\text{B}}T_1
เรียนเรื่องทฤษฎีจลน์ของแก๊ส กับ OnDemand
สำหรับน้อง ๆ ม.6 ที่ต้องการปูพื้นฐานเรื่องทฤษฎีจลน์ของแก๊ส หรือเตรียมตัวสอบเรื่องนี้อย่างมีประสิทธิภาพ การเรียนกับ OnDemand ในคอร์สฟิสิกส์ ม.ปลาย : แก๊สและทฤษฏีจลน์ กลุ่มสมบัติสารก็เป็นอีกหนึ่งทางเลือกที่ช่วยให้เข้าใจเนื้อหาได้ง่ายขึ้น ด้วยเทคนิคการสอนที่เน้นการคิดวิเคราะห์ สรุปเนื้อหาแบบกระชับ พร้อมตะลุยโจทย์
Youtube แก๊สและทฤษฏีจลน์ กลุ่มสมบัติสาร ม.6 | ตัวอย่างคอร์สเรียน ฟิสิกส์ ม.ปลาย | OnDemand
นอกจากนี้ สำหรับน้อง ๆ ที่ต้องการเตรียมตัวสอบเข้ามหาวิทยาลัย ทาง OnDemand ก็มีคอร์ส V-Series Physics TCAS เล่ม 4 : กลุ่มสมบัติสาร ให้เลือกด้วยเช่นกัน ซึ่งน้อง ๆ จะได้เรียนและตะลุยโจทย์เรื่องทฤษฎีจลน์ของแก๊สแบบเข้มข้นในคอร์สนี้ เพื่อเตรียมพร้อมสอบแข่งขันได้อย่างมั่นใจมากขึ้น
สอบถามรายละเอียดคอร์สเรียนเพิ่มเติม
- Add Line : Ondemand Education
- โทรศัพท์ : 02-251-9456 (08.00-20.00)
อ้างอิง
- สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี. (2563). หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี ฟิสิกส์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 เล่ม 1. พิมพ์ครั้งที่ 1. สกสค. ลาดพร้าว.
- Serway, R. A., Jewett, Jr., J. W. (2014). Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics. (9𝗍𝗁 ed). BROOKS/COLE CENGAGE Learning.
คำถามที่พบบ่อยเกี่ยวกับทฤษฎีจลน์ของแก๊ส (FAQs)
Q: เราสามารถใช้ทฤษฎีจลน์ของแก๊สอธิบายพฤติกรรมของแก๊สได้อย่างไร ?
A: ยกตัวอย่างเช่น จาก P = \dfrac{1}{3}\dfrac{Nm}{V}v_{\text{rms}}^2 และ v_{\text{rms}} = \sqrt{\dfrac{3k_{\text{B}}T}{m}} ถ้าแก๊สมีอุณหภูมิคงที่ อัตราเร็วอาร์เอ็มเอสก็จะมีค่าคงที่เช่นกัน การลดปริมาตรจะทำให้ความดันเพิ่มขึ้นตามกฎของบอยล์ เราสามารถอธิบายได้ว่าการลดปริมาตรของภาชนะจะทำให้พื้นที่ผิวและระยะห่างผนังลดลง จำนวนโมเลกุลแก๊สที่ชนผนังต่อพื้นที่จะเพิ่มขึ้น แต่ช่วงเวลาที่ชนผนังแต่ละครั้งจะลดลง จึงทำให้ความดันของแก๊สมีค่าเพิ่มขึ้นนั่นเอง
Q: ที่อุณหภูมิเดียวกัน แก๊สอะตอมเดี่ยวที่มีมวลมากจะมีพลังงานจลน์เฉลี่ยมากกว่าแก๊สอะตอมเดี่ยวที่มีมวลน้อยไหม ?
A: ไม่ว่าแก๊สอะตอมเดี่ยวจะมีมวลมากหรือน้อย ที่อุณหภูมิเดียวกันจะต้องมีพลังงานจลน์เฉลี่ยเท่ากันเสมอ เนื่องจากพลังงานจลน์เฉลี่ยขึ้นอยู่กับอุณหภูมิเพียงอย่างเดียวตามสมการ
\overline{E}_{\text{k}} = \dfrac{3}{2}k_{\text{B}}T นั่นเอง
Q: แก๊สอะตอมเดี่ยวกับแก๊สอะตอมคู่มีพลังงานจลน์เฉลี่ยเหมือนกันไหม ?
A: แก๊สอะตอมเดี่ยวมีเพียงอะตอมเดียว จึงมีรูปแบบการเคลื่อนที่ได้แค่การเลื่อนที่เท่านั้น พลังงานจลน์เฉลี่ยจึงมีแค่ส่วนของการเลื่อนที่ แต่แก๊สอะตอมคู่เป็น 2 อะตอมที่ยึดติดกัน จึงสามารถมีรูปแบบการเคลื่อนที่ได้ทั้งการเลื่อนที่ การหมุน และการสั่น ทำให้พลังงานจลน์เฉลี่ยของแก๊สอะตอมคู่สูงกว่าเมื่อเทียบที่อุณหภูมิเดียวกัน
