Key Takeaways
คู่อันดับ (x, y): เขียนแสดงความสัมพันธ์ของสองปริมาณ โดยอันดับมีความสำคัญ (a, b) \neq (b, a) เมื่อ a \neq b ระบบพิกัดฉาก: ประกอบด้วยแกน X (แนวนอน) และแกน Y (แนวตั้ง) ตัดกันที่จุดกำเนิด (0,0) แบ่งระนาบออกเป็น 4 จตุภาค สมการกราฟเส้นตรง: รูปแบบมาตรฐาน y = mx + c โดย m คือ ความชัน และ c คือ จุดตัดแกน Y การนำไปใช้: เป็นพื้นฐานสำคัญในการเรียนเรื่องฟังก์ชัน แคลคูลัส และเรขาคณิตวิเคราะห์ในระดับสูง
Table of Contents
เรื่อง คู่อันดับและกราฟ ถือเป็นหนึ่งในหัวข้อรากฐานที่สำคัญที่สุดของวิชาคณิตศาสตร์ระดับมัธยมศึกษาตอนต้น (ม.1 – ม.3) เพราะเนื้อหานี้จะถูกนำไปใช้ต่อยอดในเรื่องฟังก์ชัน สมการกำลังสอง แคลคูลัส และวิชาฟิสิกส์ในระดับที่สูงขึ้น บทความนี้จะพาน้องๆ ไปทำความเข้าใจตั้งแต่พื้นฐาน นิยาม สูตรคำนวณ จนถึงการตะลุยโจทย์พร้อมเฉลยอย่างละเอียดครับ
สมัครเรียนคอร์สคณิตศาสตร์ ม.ต้น : ระบบสมการ อสมการและกราฟ กับ OnDemand
ทำความรู้จักกับ “คู่อันดับ” (Ordered Pair)
คู่อันดับ คือ การจับคู่ระหว่างสิ่งสองสิ่งที่มีความสัมพันธ์กันภายใต้เงื่อนไขที่กำหนด โดยเขียนอยู่ในสัญลักษณ์ (a, b) อ่านว่า “คู่อันดับ เอ บี”
- a เรียกว่า สมาชิกตัวหน้า (First member)
- b เรียกว่า สมาชิกตัวหลัง (Second member)
ข้อควรระวัง: ลำดับในคู่อันดับมีความสำคัญมาก ดังนั้น (a, b) จะไม่เท่ากับ (b, a) เว้นแต่ a = b
การเท่ากันของคู่อันดับ
คู่อันดับสองคู่อันดับจะเท่ากัน ก็ต่อเมื่อ สมาชิกตัวหน้าเท่ากับสมาชิกตัวหน้า และสมาชิกตัวหลังเท่ากับสมาชิกตัวหลัง
นั่นคือ (a, b) = (c, d) ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d
ระบบพิกัดฉาก และการระบุพิกัดจุดบนกราฟ
ระบบพิกัดฉาก (Cartesian Coordinate System) เกิดจากการตัดกันของเส้นจำนวนสองเส้นในแนวฉาก ณ จุดศูนย์ (0)
- แกน X (Horizontal Axis): เส้นจำนวนในแนวนอน เรียกว่า แกนนอน
- แกน Y (Vertical Axis): เส้นจำนวนในแนวตั้ง เรียกว่า แกนตั้ง
- จุดกำเนิด (Origin): จุดที่แกน X และแกน Y ตัดกัน มีพิกัดเป็น (0, 0)
จตุภาค (Quadrants)
แกน X และแกน Y จะแบ่งระนาบออกเป็น 4 ส่วน เรียกว่า จตุภาค โดยหมุนวนทวนเข็มนาฬิกา ดังนี้:
จตุภาค (Quadrant) | ค่าพิกัด X | ค่าพิกัด Y | ลักษณะคู่อันดับ (x, y) |
|---|---|---|---|
จตุภาคที่ 1 (Q1) | เป็นบวก (x > 0) | เป็นบวก (y > 0) | (+, +) |
จตุภาคที่ 2 (Q2) | เป็นลบ (x < 0) | เป็นบวก (y > 0) | (-, +) |
จตุภาคที่ 3 (Q3) | เป็นลบ (x < 0) | เป็นลบ (y < 0) | (-, -) |
จตุภาคที่ 4 (Q4) | เป็นบวก (x > 0) | เป็นลบ (y < 0) | (+, -) |
กราฟของความสัมพันธ์และ กราฟเส้นตรง
เมื่อนำคู่อันดับ (x, y) ไปลงจุด (Plot point) บน ระบบพิกัดฉาก และเชื่อมโยงจุดเหล่านั้น จะได้ลักษณะของกราฟ ซึ่งในระดับ ม.ต้น กราฟที่สำคัญที่สุดคือ กราฟเส้นตรง (Linear Graph)
รูปแบบสมการเส้นตรง
1. รูปแบบทั่วไป (General Form): Ax + By + C = 0 (เมื่อ A, B ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน)
2. รูปแบบมาตรฐาน (Standard Form): y = mx + c
- m คือ ความชัน (Slope) ของเส้นตรง
- c คือ ระยะตัดแกน Y (Y-intercept) หรือจุดตัดแกน Y ที่ (0, c)
สูตรสำคัญเรื่อง คู่อันดับและกราฟ
รวบรวมสูตรคณิตศาสตร์ ม.ต้น ที่ออกสอบบ่อยที่สุดเกี่ยวกับ คู่อันดับและกราฟ:
สูตรหา ความชัน (Slope: m)
เมื่อกำหนดจุดสองจุด (x_1, y_1) และ (x_2, y_2) บนเส้นตรง:
m = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}สูตรระยะห่างระหว่างจุดสองจุด (Distance Formula)
ระยะทาง d ระหว่างจุด (x_1, y_1) และ (x_2, y_2):
d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}สูตรจุดกึ่งกลางระหว่างสองจุด (Midpoint Formula)
จุดกึ่งกลาง (M) ระหว่างจุด (x_1, y_1) และ (x_2, y_2):
M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)ตัวอย่างโจทย์พร้อมเฉลยละเอียด
โจทย์ข้อที่ 1: เรื่องการเท่ากันของคู่อันดับ
โจทย์: กำหนดให้ (2x + 1, 3y – 2) = (9, 7) จงหาค่าของ x + y
วิธีทำ:
จากนิยามการเท่ากันของคู่อันดับ จะได้ว่าสมาชิกตัวหน้าเท่ากัน และสมาชิกตัวหลังเท่ากัน
1) สมาชิกตัวหน้า: 2x + 1 = 9
2x = 9 – 12x = 8x = 42) สมาชิกตัวหลัง: 3y – 2 = 7
3y = 7 + 23y = 9y = 3หาค่า x + y = 4 + 3 = 7
ตอบ: 7
โจทย์ข้อที่ 2: เรื่อง ความชัน และจุดตัดแกน
โจทย์: จงหา ความชัน และจุดตัดแกน X, แกน Y ของเส้นตรงที่มีสมการเป็น 3x + 2y – 6 = 0
วิธีทำ:
1) จัดรูปสมการให้อยู่ในรูปมาตรฐาน y = mx + c:
2y = -3x + 6y = -\frac{3}{2}x + 3เทียบกับรูปมาตรฐาน จะได้ ความชัน m = -\frac{3}{2} และจุดตัดแกน Y คือ (0, 3)
2) หาจุดตัดแกน X โดยแทนค่า y = 0 ในสมการเดิม:
3x + 2(0) – 6 = 03x = 6x = 2ดังนั้น จุดตัดแกน X คือ (2, 0)
ตอบ: ความชัน เท่ากับ -\frac{3}{2}, จุดตัดแกน X คือ (2, 0), จุดตัดแกน Y คือ (0, 3)
สอบถามรายละเอียดคอร์สเรียนเพิ่มเติม
- Add Line : Ondemand Education
- โทรศัพท์ : 02-251-9456 (08.00-20.00)
คำถามที่พบบ่อย (FAQs)
Q: คู่อันดับ (0, -5) อยู่ในจตุภาคใด?
A: จุด (0, -5) ไม่อยู่ในจตุภาคใดเลย แต่จัดว่าเป็นจุดที่อยู่บนแกน Y (ทางฝั่งลบ) เนื่องจากค่าพิกัด X เป็น 0
Q: เส้นตรงสองเส้นจะขนานกันหรือตั้งฉากกันเมื่อใด?
A:
- ขนานกัน: เมื่อ ความชัน เท่ากัน (m_1 = m_2)
- ตั้งฉากกัน: เมื่อผลคูณของ ความชัน เท่ากับ -1 (m_1 \cdot m_2 = -1)
Q: ความชัน เป็น 0 และ ความชัน หาค่าไม่ได้ ต่างกันอย่างไร?
A:
- ความชัน เป็น 0 คือเส้นตรงที่ขนานกับแกน X (เส้นแนวราบ)
- ความชัน หาค่าไม่ได้ คือเส้นตรงที่ขนานกับแกน Y (เส้นแนวตั้ง) เนื่องจาก x_2 – x_1 = 0 ซึ่งทำให้ตัวส่วนเป็นศูนย์
