รวมสูตรคณิตศาสตร์ที่ต้องจำให้ได้ในระดับชั้น ม.5 เทอม 2 อ่านจบพร้อมลุยทุกสนามสอบ

การเรียนวิชาคณิตศาสตร์ในระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5 เทอม 2 ถือเป็นช่วงเวลาสำคัญอย่างยิ่งสำหรับการสะสมความรู้ เพราะเนื้อหาทั้ง 3 บทหลัก ได้แก่ ลำดับและอนุกรม, ความน่าจะเป็น และ จำนวนเชิงซ้อน ไม่เพียงแต่ออกสอบในห้องเรียนสัดส่วนที่สูงมากเท่านั้น แต่ยังเป็นหัวข้อหลักที่ปรากฏในข้อสอบกลางอย่าง A-Level คณิตศาสตร์ 1 และคณิตศาสตร์ 2 อีกด้วย การจดจำและเข้าใจ สูตรคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 2 อย่างเป็นระบบ จะช่วยเพิ่มความเร็วและความแม่นยำในการทำข้อสอบอย่างเห็นได้ชัด บทความนี้ได้รวบรวมสูตรทั้งหมดที่จำเป็นไว้ให้แล้ว เพื่อให้นักเรียนได้ใช้ในการ เตรียมสอบคณิต ม.5 อย่างมั่นใจ

สมัครเรียนคอร์สคณิตศาสตร์ ม.ปลาย : Pack 4 คณิตศาสตร์ ม.ปลาย (8212-8214) กับ OnDemand

รวมสูตรบทที่ 1: ลำดับและอนุกรม (Sequences & Series)

บท ลำดับและอนุกรม เน้นเรื่องการหาพจน์ทั่วไปและการหาผลบวกของพจน์ต่างๆ ซึ่งแบ่งออกเป็นประเภทหลักๆ ดังนี้

ลำดับเลขคณิต (Arithmetic Sequence)

ลำดับที่มีผลต่างร่วม (Common Difference: d) คงที่ โดยที่ d = a_{n} – a_{n-1}

• สูตรพจน์ทั่วไป: a_n = a_1 + (n – 1)d
• สูตรความสัมพันธ์ระหว่างพจน์: a_n = a_m + (n – m)d

ลำดับเรขาคณิต (Geometric Sequence)

ลำดับที่มีอัตราส่วนร่วม (Common Ratio: r) คงที่ โดยที่ r = \frac{a_n}{a_{n-1}}

• สูตรพจน์ทั่วไป: a_n = a_1 r^{n-1}
• สูตรความสัมพันธ์ระหว่างพจน์: a_n = a_m r^{n-m}

อนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิต (Finite Series)

ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรม (S_n) มีสูตรดังนี้:

• ผลบวกอนุกรมเลขคณิต: S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) หรือ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n – 1)d]
• ผลบวกอนุกรมเรขาคณิต: S_n = \frac{a_1(1 – r^n)}{1 – r} เมื่อ r \neq 1

อนุกรมอนันต์ (Infinite Series)

อนุกรมเรขาคณิตอนันต์จะลู่เข้า (Convergent) ก็ต่อเมื่อ |r| < 1 โดยมีผลบวกอนันต์ดังนี้:

• สูตรผลบวกอนุกรมอนันต์: S_{\infty} = \frac{a_1}{1 – r} (เงื่อนไขสำคัญคือ |r| < 1)

รวมสูตรบทที่ 2: ความน่าจะเป็น (Probability)

บท ความน่าจะเป็น เริ่มต้นจากเทคนิคการนับไปจนถึงการคำนวณโอกาสที่จะเกิดเหตุการณ์ต่างๆ เป็นบทที่เน้นการวิเคราะห์โจทย์และความเข้าใจเงื่อนไข

เทคนิคการนับเบื้องต้น

• หลักการคูณ: ทำงานต่อเนื่องกันหลายขั้นตอน จำนวนวิธีรวม = n_1 \times n_2 \times \dots \times n_k
• หลักการบวก: การทำงานแยกเป็นกรณีเด็ดขาดไม่เกี่ยวข้องกัน จำนวนวิธีรวม = n_1 + n_2 + \dots + n_k
• แฟกทอเรียล (Factorial): n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 1 โดยที่ 0! = 1

การเรียงสับเปลี่ยนและการจัดหมู่

• การเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้น (Permutation): เลือก r ชิ้นจาก n ชิ้นมาเรียงแถวตรง
  P_{n,r} = \frac{n!}{(n-r)!}
• การเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม: นำสิ่งของ n ชิ้นที่แตกต่างกันมาเรียงเป็นวงกลม
  จำนวนวิธี = (n-1)!
• การจัดหมู่ (Combination): เลือก r ชิ้นจาก n ชิ้นโดยไม่สนใจลำดับ
  C_{n,r} = \binom{n}{r} = \frac{n!}{(n-r)!r!}

สูตร ความน่าจะเป็น และสมบัติที่สำคัญ

สูตรพื้นฐานในการหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E จากแซมเปิลสเปซ S:

• ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์: P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} โดยที่ 0 \le P(E) \le 1
• กฎการบวกความน่าจะเป็น: P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)
• เหตุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกัน (Mutually Exclusive): P(A \cup B) = P(A) + P(B) (เนื่องจาก P(A \cap B) = 0)
• คอมพลีเมนต์ของเหตุการณ์: P(A’) = 1 – P(A)

รวมสูตรบทที่ 3: จำนวนเชิงซ้อน (Complex Numbers)

บท จำนวนเชิงซ้อน เป็นการขยายระบบจำนวนจริงเพื่อแก้ปัญหาที่ไม่มีคำตอบในระบบจำนวนจริง เช่น \sqrt{-1} = i

รูปแบบพีชคณิตและสมบัติพื้นฐาน

• รูปแบบมาตรฐาน: z = a + bi เมื่อ a คือส่วนจริง (\text{Re}(z)) และ b คือส่วนจินตภาพ (\text{Im}(z))
• สังยุค (Conjugate): \bar{z} = a – bi
• ค่าสัมบูรณ์ (Modulus): |z| = \sqrt{a^2 + b^2}
• สมบัติที่สำคัญ: z \cdot \bar{z} = |z|^2 และ |z_1 z_2| = |z_1||z_2|

จำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว (Polar Form)

เราสามารถเขียน z = a + bi ให้อยู่ในรูปเชิงขั้วได้ดังนี้:

• รูปเชิงขั้ว: z = r(\cos\theta + i\sin\theta) หรือเขียนย่อเป็น z = r\text{cis}\theta
  โดยที่ r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2} และ \tan\theta = \frac{b}{a}
• การคูณเชิงขั้ว: z_1 z_2 = r_1 r_2 [\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)]
• การหารเชิงขั้ว: \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} [\cos(\theta_1 – \theta_2) + i\sin(\theta_1 – \theta_2)]

ทฤษฎีบทของเดอมัวฟ์และการหาราก

• ทฤษฎีบทของเดอมัวฟ์ (De Moivre’s Theorem):
  z^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta) เมื่อ n เป็นจำนวนเต็ม
• การหารากที่ n: รากที่ n ของ z = r\text{cis}\theta คือ
  w_k = \sqrt[n]{r} \text{cis}\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) เมื่อ k = 0, 1, 2, \dots, n-1

ตารางสรุปเปรียบเทียบสูตรสำคัญสำหรับการ เตรียมสอบคณิต ม.5

สอบถามรายละเอียดคอร์สเรียนเพิ่มเติม

• Add Line : Ondemand Education
• โทรศัพท์ : 02-251-9456 (08.00-20.00)

คำถามที่พบบ่อย (FAQs)