Key Takeaways
ตัวแปรสุ่ม (Random Variable): แบ่งเป็น 2 ประเภทหลัก ได้แก่ ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง (Discrete) และตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง (Continuous) ค่าคาดหมาย E(X) และความแปรปรวน Var(X): เป็นค่าสถิติสำคัญที่ใช้วัดค่าเฉลี่ยและการกระจายของตัวแปรสุ่ม การแจกแจงทวินาม (Binomial Distribution): ใช้กับตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่องที่มีผลลัพธ์เพียง 2 แบบ (สำเร็จ/ไม่สำเร็จ) ในการทดลองที่เป็นอิสระต่อกัน การแจกแจงปกติ (Normal Distribution): ใช้กับตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง โดยมีโค้งปกติเป็นรูประฆังคว่ำ และสมมาตรรอบค่าเฉลี่ย
Table of Contents
เรื่อง การแจกแจงความน่าจะเป็น เป็นหนึ่งในหัวข้อใหญ่ที่ออกสอบบ่อยที่สุดในข้อสอบ A-Level คณิตศาสตร์ ม.ปลาย และเป็นบทเรียนสำคัญในคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.6 บทนี้จะช่วยให้น้องๆ สามารถวิเคราะห์และทำนายโอกาสเกิดเหตุการณ์ต่างๆ ได้อย่างเป็นระบบ ผ่านเครื่องมือทางสถิติและคณิตศาสตร์ บทความนี้จะพาไปเจาะลึกตั้งแต่พื้นฐาน ตัวแปรสุ่ม, สูตรคำนวณ จนถึงแนวข้อสอบจริงพร้อมเฉลยอย่างละเอียดครับ
สมัครเรียนคอร์สคณิตศาสตร์ ม.ปลาย : สถิติ ตัวแปรสุ่ม และการแจกแจงความน่าจะเป็น กับ OnDemand
ทำความเข้าใจ “ตัวแปรสุ่ม” และประเภทของตัวแปรสุ่ม
ก่อนจะไปถึงเรื่อง การแจกแจงความน่าจะเป็น หัวใจสำคัญแรกที่น้องๆ ต้องรู้จักคือ ตัวแปรสุ่ม (Random Variable) ซึ่งมักเขียนแทนด้วยตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์ใหญ่ เช่น X, Y, Z
ตัวแปรสุ่ม คือ ฟังก์ชันที่แปลงผลลัพธ์ในปริภูมิตัวอย่าง (Sample Space) ให้กลายเป็นตัวเลขจริง โดยแบ่งออกเป็น 2 ประเภทหลัก ได้แก่:
ประเภทตัวแปรสุ่ม | ลักษณะของข้อมูล | ตัวอย่างสถานการณ์ |
|---|---|---|
ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง (Discrete Random Variable) | ค่าที่เป็นไปได้สามารถนับจำนวนได้แน่ชัด (มักเป็นจำนวนเต็ม) | จำนวนครั้งที่เหรียญขึ้นหัวในการโยน 3 ครั้ง, จำนวนลูกค้าที่เข้าใช้บริการในร้าน |
ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง (Continuous Random Variable) | ค่าที่เป็นไปได้อยู่ในช่วงของจำนวนจริง (วัดค่าแบบต่อเนื่อง) | ความสูงของนักเรียน, น้ำหนัก, เวลาที่ใช้ในการเดินทาง, อุณหภูมิ |
การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง
สำหรับตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง X ที่มีค่าที่เป็นไปได้คือ x_1, x_2, …, x_n ฟังก์ชันความน่าจะเป็น P(X = x) จะต้องมีคุณสมบัติสำคัญ 2 ข้อเสมอ คือ:
- 0 \le P(X = x_i) \le 1 สำหรับทุกค่า x_i
- ผลรวมความน่าจะเป็นของทุกค่าที่เป็นไปได้เท่ากับ 1 นั่นคือ \sum_{i=1}^{n} P(X = x_i) = 1
ค่าคาดหมายและความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม
การวิเคราะห์ความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มจะต้องพึ่งพาค่าสถิติสำคัญ 2 ค่า ดังนี้:
ค่าคาดหมาย (Expected Value: E(X) หรือ \mu)
ค่าคาดหมาย คือ ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของตัวแปรสุ่มด้วยความน่าจะเป็น หาได้จากสูตร:
\mu = E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X = x_i)ความแปรปรวน (Variance: Var(X) หรือ \sigma^2)
ความแปรปรวนใช้วัดการกระจายของข้อมูลรอบ ค่าคาดหมาย คำนวณได้จากสูตร:
\sigma^2 = Var(X) = E(X^2) – [E(X)]^2โดยที่ E(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 \cdot P(X = x_i)
และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation: \sigma) คือ \sigma = \sqrt{Var(X)}
การแจกแจงทวินาม (Binomial Distribution)
การแจกแจงทวินาม เป็นโมเดลการแจกแจงความน่าจะเป็นสำหรับตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่องที่เกิดจากการทดลองซ้ำกัน n ครั้งที่เป็นอิสระต่อกัน โดยการทดลองแต่ละครั้งมีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เพียง 2 แบบ คือ “สำเร็จ” (ด้วยความน่าจะเป็น p) หรือ “ไม่สำเร็จ” (ด้วยความน่าจะเป็น q = 1 – p)
สูตรการแจกแจงทวินาม
ถ้า X \sim B(n, p) คือตัวแปรสุ่มที่มี การแจกแจงทวินาม ความน่าจะเป็นที่จะเกิดสำเร็จ x ครั้ง จากการทดลอง n ครั้ง คือ:
P(X = x) = \binom{n}{x} p^x (1 – p)^{n – x} เมื่อ x = 0, 1, 2, …, n
โดยที่ \binom{n}{x} = \frac{n!}{x!(n – x)!}
สูตรค่าสถิติของการแจกแจงทวินาม
- ค่าคาดหมาย: E(X) = n \cdot p
- ความแปรปรวน: Var(X) = n \cdot p \cdot (1 – p)
- ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน: \sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 – p)}
การแจกแจงปกติ (Normal Distribution)
สำหรับตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง การแจกแจงความน่าจะเป็น ที่สำคัญและพบบ่อยที่สุดคือ การแจกแจงปกติ ซึ่งมีเส้นโค้งความน่าจะเป็นเป็นรูป “ระฆังคว่ำ” (Bell Curve) สมมาตรรอบค่าเฉลี่ย \mu
การแปลงเป็นค่ามาตรฐาน Z (Standard Normal Distribution)
เนื่องจากการคำนวณพื้นที่ใต้โค้งปกติของตัวแปรสุ่ม X \sim N(\mu, \sigma^2) โดยตรงมีความซับซ้อน เราจึงนิยมแปลงตัวแปรสุ่ม X ให้เป็น ค่าตัวแปรสุ่มมาตรฐาน Z ซึ่งมีค่าเฉลี่ย \mu = 0 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน \sigma = 1 โดยใช้สูตร:
Z = \frac{X – \mu}{\sigma}เมื่อแปลงเป็นค่า Z แล้ว จะสามารถเปิดตารางแสดงพื้นที่ใต้โค้งปกติมาตรฐานเพื่อหาค่าความน่าจะเป็น P(Z \le z) ได้อย่างง่ายดาย
ตัวอย่างโจทย์พร้อมเฉลยละเอียด
ลองมาฝึกทำ โจทย์การแจกแจงความน่าจะเป็นพร้อมเฉลย เพื่อเพิ่มความมั่นใจในการทำข้อสอบจริงกันครับ
โจทย์ข้อที่ 1: การหาค่าคาดหมายและความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง
โจทย์: กำหนดให้ตัวแปรสุ่ม X มีตาราง การแจกแจงความน่าจะเป็น ดังนี้:
| x | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
P(X = x) | 0.1 | 0.4 | 0.3 | 0.2 |
จงหา ค่าคาดหมาย E(X) และความแปรปรวน Var(X)
วิธีทำ:
ขั้นที่ 1: คำนวณหา ค่าคาดหมาย E(X)
E(X) = \sum x_i \cdot P(X = x_i)E(X) = (0)(0.1) + (1)(0.4) + (2)(0.3) + (3)(0.2)E(X) = 0 + 0.4 + 0.6 + 0.6 = 1.6ขั้นที่ 2: คำนวณหา E(X^2)
E(X^2) = \sum x_i^2 \cdot P(X = x_i)E(X^2) = (0^2)(0.1) + (1^2)(0.4) + (2^2)(0.3) + (3^2)(0.2)E(X^2) = 0 + 0.4 + (4)(0.3) + (9)(0.2)E(X^2) = 0 + 0.4 + 1.2 + 1.8 = 3.4ขั้นที่ 3: คำนวณหาความแปรปรวน Var(X)
Var(X) = E(X^2) – [E(X)]^2Var(X) = 3.4 – (1.6)^2 = 3.4 – 2.56 = 0.84ตอบ: ค่าคาดหมาย เท่ากับ 1.6 และความแปรปรวน เท่ากับ 0.84
โจทย์ข้อที่ 2: โจทย์ปัญหาการแจกแจงทวินาม
โจทย์: ในการตอบข้อสอบแบบเลือกตอบ 4 ตัวเลือก จำนวน 5 ข้อ โดยการเดาตอบทุกข้อ จงหาความน่าจะเป็นที่จะเดาถูกต้องพอดี 3 ข้อ
วิธีทำ:
ให้ X เป็นจำนวนข้อที่เดาถูก ดังนั้น X มี การแจกแจงทวินาม X \sim B(n, p)
- จำนวนครั้งทดลอง n = 5
- ความน่าจะเป็นที่เดาถูกในแต่ละข้อ p = \frac{1}{4} = 0.25
- ความน่าจะเป็นที่เดาผิด 1 – p = 0.75
- ต้องการหา P(X = 3)
แทนค่าในสูตร P(X = x) = \binom{n}{x} p^x (1 – p)^{n – x}:
P(X = 3) = \binom{5}{3} (0.25)^3 (0.75)^{5 – 3}\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!2!} = 10P(X = 3) = 10 \cdot (0.015625) \cdot (0.5625)P(X = 3) = 10 \cdot 0.008789 = 0.08789 หรือคิดเป็นประมาณ 8.79\%
ตอบ: ความน่าจะเป็นที่จะเดาถูก 3 ข้อ พอดีเท่ากับ 0.0879 (หรือ \frac{45}{512})
โจทย์ข้อที่ 3: โจทย์ปัญหาการแจกแจงปกติ
โจทย์: คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนชั้น ม.6 มี การแจกแจงปกติ โดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 60 คะแนน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 10 คะแนน ถ้าเลือกนักเรียนมา 1 คน จงหาความน่าจะเป็นที่นักเรียนคนนี้จะสอบได้คะแนนมากกว่า 75 คะแนน (กำหนดให้ P(0 \le Z \le 1.5) = 0.4332)
วิธีทำ:
กำหนดให้ X คือคะแนนสอบของนักเรียน โดย \mu = 60 และ \sigma = 10
ต้องการหา P(X > 75)
ขั้นที่ 1: แปลงค่า X = 75 ให้เป็นค่ามาตรฐาน Z
Z = \frac{X – \mu}{\sigma} = \frac{75 – 60}{10} = \frac{15}{10} = 1.5ดังนั้น P(X > 75) = P(Z > 1.5)
ขั้นที่ 2: หาพื้นที่ใต้โค้งปกติ
เนื่องจากพื้นที่ใต้โค้งปกติฝั่งขวาของจุดศูนย์เท่ากับ 0.5
ดังนั้น P(Z > 1.5) = 0.5 – P(0 \le Z \le 1.5)
P(Z > 1.5) = 0.5 – 0.4332 = 0.0668ตอบ: ความน่าจะเป็นที่นักเรียนจะสอบได้คะแนนมากกว่า 75 คะแนน เท่ากับ 0.0668 (หรือ 6.68\%)
สอบถามรายละเอียดคอร์สเรียนเพิ่มเติม
- Add Line : Ondemand Education
- โทรศัพท์ : 02-251-9456 (08.00-20.00)
คำถามที่พบบ่อย (FAQs)
Q: ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง กับ ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง สังเกตอย่างไรในข้อสอบ?
A: สังเกตจากลักษณะข้อมูล ถ้าเป็นข้อมูลที่เกิดจากการนับ เช่น จำนวนคน จำนวนครั้ง จำนวนสินค้า ชิ้น จะเป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง แต่ถ้าเกิดจากการวัด เช่น น้ำหนัก ความสูง เวลา อุณหภูมิ จะเป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง
Q: ในเรื่อง การแจกแจงปกติ ทำไมความน่าจะเป็น ณ จุดใดจุดหนึ่ง P(X = a) ถึงเท่ากับ 0?
A: เนื่องจากตัวแปรสุ่มต่อเนื่องมีค่าที่เป็นไปได้นับไม่ถ้วนบนช่วง พื้นที่ใต้โค้ง ณ จุดเดี่ยวๆ (เส้นตรง) จึงมีพื้นที่เท่ากับ 0 ดังนั้น สำหรับตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง P(X \le a) จะมีค่าเท่ากับ P(X < a) เสมอ
Q: เมื่อไหร่ที่ควรใช้ การแจกแจงทวินาม ในการแก้ปัญหา?
A: ใช้เมื่อการทดลองมีเงื่อนไข 4 ข้อ: (1) ทำการทดลองซ้ำกัน n ครั้ง (2) แต่ละครั้งมีผลลัพธ์ 2 แบบเท่านั้น (สำเร็จ/ไม่สำเร็จ) (3) ความน่าจะเป็นสำเร็จ p คงที่ทุกครั้ง และ (4) การทดลองแต่ละครั้งเป็นอิสระต่อกัน
ทีมพี่ ๆ ติวเตอร์ที่มีความเชี่ยวชาญด้านวิทย์-คณิต และการเตรียมสอบ TCAS (TGAT, TPAT, A-Level) ประสบการณ์กว่า 18 ปี พร้อมดูแลน้อง ๆ ในสไตล์แบบ “”พี่สอนน้อง”” ที่เน้นความเข้าใจจริง เทคนิคทำโจทย์แม่นยำ เป็นพาร์ตเนอร์ทางการศึกษาที่น่าเชื่อถือของน้อง ๆ และผู้ปกครอง
