Key Takeaways:
เมื่อพูดถึงแคลคูลัสในเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย น้อง ๆ หลายคนอาจจะกลัวบทนี้เพราะคิดว่าเป็นบทที่เข้าใจได้ยาก แต่จริง ๆ แล้วถ้าเราเข้าใจแนวคิดพื้นฐานของแต่ละสิ่งในแคลคูลัส เนื้อหาโดยรวมจะไม่ได้ยากอย่างที่น้อง ๆ คิดครับ อีกทั้งแคลคูลัสยังเป็นเนื้อหาสำคัญเนื้อหาหนึ่งที่ถูกนำมาออกข้อสอบ A-Level คณิตศาสตร์ประยุกต์ 1 และเป็นบทที่เราจะได้เรียนต่อในระดับมหาวิทยาลัยด้วย โดยในบทความนี้พี่ ๆ ก็ได้เตรียมสรุปเนื้อหาแคลคูลัส ม.6 มาให้น้อง ๆ ได้ลองอ่านกันครับ พร้อมนำตัวอย่างโจทย์มาให้น้อง ๆ ได้ลองฝึกกันด้วย ถ้าพร้อมกันแล้วไปดูเนื้อหากันเลย!
Table of Contents
แคลคูลัสเป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ขั้นสูงที่ถูกนำไปใช้ประยุกต์ร่วมกับศาสตร์แขนงต่าง ๆ อย่างแพร่หลาย เช่น ในวิชาฟิสิกส์ได้นำแคลคูลัสไปใช้สร้างสมการเพื่ออธิบายปรากฏการณ์ธรรมชาติต่าง ๆ ในชีวิตจริง ตั้งแต่การอธิบายการเคลื่อนที่ของวัตถุ การสร้างสมการในอุณหพลศาสตร์ ไปจนถึงการสร้างแบบจำลองของหลุมดำ แคลคูลัสจึงเป็นเนื้อหาที่สำคัญมากสำหรับการศึกษาในระดับสูง
ในบทความนี้ เราจะไปทำความเข้าใจแคลคูลัสเบื้องต้นตั้งแต่เรื่องลิมิต ความต่อเนื่อง อนุพันธ์ ไปจนถึงปฏิยานุพันธ์ ในมุมมองที่เข้าใจง่ายและนำไปประยุกต์ใช้ได้จริงทั้งในการเรียนและการสอบกัน
สมัครเรียนคอร์สคณิตศาสตร์ ม.ปลาย : แคลคูลัส กับ OnDemand
ลิมิตคืออะไร ? มีทฤษฎีบทสำคัญอะไรบ้าง ?
พิจารณากราฟของฟังก์ชัน f(x)=2x+6
จากกราฟ เราจะพบว่า
- เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ 4 จากทางซ้ายของกราฟ จะเห็นว่า y มีค่าเข้าใกล้ 14 จะได้ว่า 14 คือลิมิตซ้ายของ f(x) เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ 4 ทางซ้าย เขียนแทนด้วย \displaystyle \lim_{ \to 4^-{}}f(x) = 14
- เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ 4 จากทางขวาของกราฟ จะเห็นว่า y มีค่าเข้าใกล้ 14 จะได้ว่า 14 คือลิมิตขวาของ f(x) เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ 4 ทางขวา เขียนแทนด้วย \displaystyle \lim_{ \to 4^+{}}f(x) = 14
- เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ 4 ทั้งทางซ้ายและทางขวา จะเห็นว่าค่า y มีค่าเข้าใกล้ 14 เพียงค่าเดียว จะได้ว่า 14 คือลิมิตของ f(x) เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ 4 เขียนแทนด้วย \displaystyle \lim_{x \to 4{}}f(x) = 14
โดยการพิจารณาเช่นนี้ เราจึงมีบทนิยามสำหรับลิมิตของฟังก์ชันดังนี้
ทฤษฎีบทของลิมิต
หลักการหา \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}
เริ่มแรกให้เราลองแทน x = a ลงใน \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} ก่อนว่าได้ค่าออกมาเป็นอย่างไร
- ถ้าได้เป็นตัวเลขก็ตอบค่านั้นได้เลย
- ถ้าได้เป็น \frac{0}{0} ต้องจัดรูป \frac{f(x)}{g(x)} โดยการแยกตัวประกอบหรือการคอนจูเกต หรือใช้กฎของโลปิตาล (เกินหลักสูตร)
- ถ้าได้ตัวเศษเป็นตัวเลขที่ไม่ใช่ 0 แต่ได้ตัวส่วนเป็น 0 ในระดับมัธยมจะถือว่าลิมิตหาค่าไม่ได้
ตัวอย่างโจทย์เกี่ยวกับลิมิต
จงหาค่าของ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x^2{-1}}{x-1}
วิธีทำ จากโจทย์ ถ้าเราลองแทนค่า x = 1 ลงไปเลย จะพบว่าได้ค่าเป็น \frac{0}{0}
ดังนั้น เราจึงต้องแยกตัวประกอบได้เป็น \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1}
แล้วจะสามารถตัดทอนได้เป็น \displaystyle \lim_{x \to 1} (x + 1)
เมื่อลองแทนค่า x = 1 อีกครั้ง จะได้ค่าของลิมิตเท่ากับ 1+1 = 2 นั่นเอง
ความต่อเนื่องของฟังก์ชันตรวจสอบได้อย่างไร ?
ในการตรวจสอบว่าฟังก์ชัน fต่อเนื่องที่ x=a หรือไม่ เราจะใช้หลักการว่าฟังก์ชัน f ที่ x=a ต้องมีสมบัติครบทั้งสามข้อดังนี้
ถ้าขาดสมบัติข้อใดข้อหนึ่งไป เราจะถือว่า f ไม่ต่อเนื่องที่ x=a เลย
ตัวอย่างโจทย์เกี่ยวกับความต่อเนื่องของฟังก์ชัน
อนุพันธ์คืออะไร ? มีสูตรสำคัญอะไรบ้าง ?
อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x จาก x ถึง x+h คือ
อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ขณะที่ x มีค่าใด ๆ (ช่วงที่ x เปลี่ยนแปลงน้อยมาก ๆ) คือ
เราจะเรียก \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-F(x)}{h} นี้ว่า “อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f” หรือภาษาพูดคือ “ดิฟ f เทียบ x” เขียนแทนด้วย
สำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชัน <strong>f</strong> ที่ <strong>x=a</strong> ก็คือ \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} เขียนแทนด้วย
สูตรการหาอนุพันธ์
ให้ k เป็นค่าคงที่ เราจะได้ว่า
ตัวอย่างโจทย์เกี่ยวกับการหาอนุพันธ์
จงหาอนุพันธ์ของ
กฎลูกโซ่
ถ้าฟังก์ชัน f หาอนุพันธ์ได้ที่ x และฟังก์ชัน g หาอนุพันธ์ได้ที่ f(x) แล้ว
เราจะใช้กฎลูกโซ่เมื่อเราต้องการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบนั่นเอง
ซึ่งเราสามารถมองแบบง่าย ๆ ว่าเป็นการ ดิฟฟังก์ชันข้างนอกทั้งหมด คูณด้วย ดิฟไส้ ก็ได้เช่นกัน
ตัวอย่างโจทย์เกี่ยวกับกฎลูกโซ่
จงหาอนุพันธ์ของ f(x) = (2x + 1)^{4}
วิธีทำ เราสามารถมองว่าฟังก์ชันข้างนอกทั้งหมดคือ (2x + 1)^{4} และไส้คือ2x + 1
ดังนั้น
อนุพันธ์อันดับสูง
อนุพันธ์อันดับสูง คือ การหาอนุพันธ์มากกว่าหนึ่งครั้ง ดังนี้
- f'(x) คือ อนุพันธ์ของ f(x)
- f”(x) คือ อนุพันธ์ของ f'(x) หรืออนุพันธ์อันดับสองของ f(x)
- f”'(x) คือ อนุพันธ์ของ f”(x) หรืออนุพันธ์อันดับสามของ f(x)
- f(4)(x) คือ อนุพันธ์ของ f”'(x) หรืออนุพันธ์อันดับสี่ของ f(x)
ตัวอย่างโจทย์เกี่ยวกับอนุพันธ์อันดับสูง
จงหาอนุพันธ์อันดับสามของ f(x) = (x^{2} + 2)(5x + 6)
วิธีทำ
อนุพันธ์นำไปประยุกต์อะไรได้บ้าง ?
ความชันเส้นสัมผัส (ความชันเส้นโค้ง)
ให้ y=f(x) เป็นสมการเส้นโค้ง ดังรูป
จากกราฟ เราจะได้ว่าความชันของเส้นตรงที่สัมผัสเส้นโค้งที่จุด (x, y) ใด ๆ มีค่าเท่ากับ \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h -f(x))}{h} หรือก็คือความชันของเส้นตรงที่สัมผัสเส้นโค้งจะหาได้จาก f'(x) นั่นเอง
ฟังก์ชันเพิ่ม ฟังก์ชันลด
f เป็นฟังก์ชันเพิ่มในช่วงใด ๆ ก็ต่อเมื่อ ถ้า x_{1} < x_{2} แล้ว f(x_{1}) < f(x_2) ในช่วงนั้น
พิจารณาช่วงที่ f เป็นฟังก์ชันเพิ่มดังกราฟด้านล่าง
จะเห็นว่าช่วงที่ f เป็นฟังก์ชันเพิ่มคือช่วงที่ f มีค่าความชันเส้นสัมผัสเป็นบวก หรือ f'(x)>0
f เป็นฟังก์ชันลดในช่วงใด ๆ ก็ต่อเมื่อ ถ้า x_{1} < x_{2} แล้ว f(x_{1}) < f(x_2) ในช่วงนั้น
พิจารณาช่วงที่ f เป็นฟังก์ชันลดดังกราฟด้านล่าง
จะเห็นว่าช่วงที่ f เป็นฟังก์ชันลดคือช่วงที่ f มีค่าความชันเส้นสัมผัสเป็นลบ หรือ f'(x)<0
จากกราฟ เราจะเรียกจุด P ว่า “จุดสูงสุดสัมพัทธ์” เพราะเป็นจุดที่อยู่สูงที่สุดเมื่อเทียบกับจุดอื่นที่อยู่ใกล้ ๆ
และเรียกจุด Q ว่า “จุดต่ำสุดสัมพัทธ์” เพราะเป็นจุดที่อยู่ต่ำที่สุดเมื่อเทียบกับจุดอื่นที่อยู่ใกล้ ๆ
หลักการหาจุดสูงสุดสัมพัทธ์ จุดต่ำสุดสัมพัทธ์
- หาค่า x ที่ทำให้ f'(x)=0 หรือหาค่าไม่ได้ เราจะเรียกค่า x ที่ได้มานั้นว่า “ค่าวิกฤต”
- ตรวจสอบว่าค่าวิกฤตที่ได้มานั้น (สมมติว่าเป็น c) เป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์หรือจุดต่ำสุดสัมพัทธ์ได้ดังนี้
(1) ถ้าความชันเส้นสัมผัสหรือค่า f'(x) เปลี่ยนเครื่องหมายจาก + ไป – หรือ f”(c)<0 จะได้ว่าที่ x=c เป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์ และ f(c) เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์
(2) ถ้าความชันเส้นสัมผัสหรือค่า f'(x) เปลี่ยนเครื่องหมายจาก – ไป + หรือ f”(c)>0 จะได้ว่าที่ x=c เป็นจุดต่ำสุดสัมพัทธ์ และ f(c) เป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์(3) ถ้าความชันเส้นสัมผัสหรือค่า f'(x) ไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย หรือ f”(c)=0 จะได้ว่าที่ x=c เป็นจุดเปลี่ยนเว้า
จุดสูงสุดสัมบูรณ์ จุดต่ำสุดสัมบูรณ์
พิจารณากราฟด้านล่างในช่วง [a, b]
จากกราฟ เราจะเรียกจุด E ว่า “จุดสูงสุดสัมบูรณ์” เพราะเป็นจุดที่อยู่สูงที่สุดของกราฟในช่วง [a, b] ที่เรากำลังพิจารณา และเรียกจุด D ว่า “จุดต่ำสุดสัมบูรณ์” เพราะเป็นจุดที่อยู่ต่ำที่สุดของกราฟในช่วง [a, b] ที่เรากำลังพิจารณา
หลักการหาจุดสูงสุดสัมบูรณ์ จุดต่ำสุดสัมบูรณ์ ในช่วง [a, b]
- หาค่า x ที่ทำให้ f'(x)=0 หรือหาค่าไม่ได้ เราจะเรียกค่า x ที่ได้มานั้นว่า “ค่าวิกฤต”
- พิจารณาเฉพาะค่าวิกฤตที่อยู่ในช่วง [a, b] นำมาเปรียบเทียบค่า f(x) ของค่าวิกฤตกับจุดปลายช่วง
สมมติว่าได้ค่าวิกฤตที่อยู่ในช่วง [a, b] คือ x=c, d
เปรียบเทียบค่า ]f(a), f(b), f(c), f(d)
ค่าสูงสุดสัมบูรณ์ก็คือค่า f(…) ที่มีค่ามากที่สุด
ค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ก็คือค่า f(…) ที่มีค่าน้อยที่สุด
ปฏิยานุพันธ์คืออะไร ? มีสูตรสำคัญอะไรบ้าง ?
ฟังก์ชัน F(x) เป็นปฏิยานุพันธ์หนึ่งของฟังก์ชัน f(x) ก็ต่อเมื่อ F'(x)=f(x) เช่น
- x^{3} เป็นปฏิยานุพันธ์หนึ่งของ 3x ^{2} เพราะ \frac{d}{dx} (x^{3}) = 3x^{2}
- x^{3}+6 เป็นปฏิยานุพันธ์หนึ่งของ 3x^{2} เพราะ \frac{d}{dx}(x^{3}=6)=3x^{2}
- f(x) เป็นปฏิยานุพันธ์หนึ่งของ f'(x) เพราะ \frac{d}{dx}f(x)=f'(x)
เราจะเรียกรูปทั่วไปของปฏิยานุพันธ์ของ f ว่า “อินทิกรัลไม่จำกัดเขต” ของ f เขียนแทนด้วย F(x) = \int f(x)dx
เราจะเรียกการหา ว่า “การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน f” หรือภาษาพูดคือ “อินทิเกรต f เทียบ x”
สูตรการหาอินทิกรัลไม่จำกัดเขต
ให้ k และ c เป็นค่าคงที่ เราจะได้ว่า
ตัวอย่างโจทย์เกี่ยวกับการหาอินทิกรัลไม่จำกัดเขต
การหาอินทิกรัลจำกัดเขต
กำหนดให้ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [a, b] ถ้า F เป็นปฏิยานุพันธ์ของ f แล้ว
ตัวอย่างโจทย์เกี่ยวกับการหาอินทิกรัลจำกัดเขต
ปฏิยานุพันธ์นำไปประยุกต์อะไรได้บ้าง ?
พื้นที่ใต้เส้นโค้ง
กำหนดให้ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [a, b] และ A เป็นพื้นที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y=f(x) กับแกน X จาก x=a ถึง x=b
- ถ้า f(x) \geq 0 สำหรับทุก katex]x[/katex] ในช่วง [a, b] แล้ว A = \int_{b}^{a} f(x)dx
- ถ้า f(x) \leq 0 สำหรับทุก katex]x[/katex] ในช่วง [a, b] แล้ว A = – \int_{b}^{a} f(x)dx
หลักการหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งกับแกน X ในช่วง [a, b]
- วาดกราฟคร่าว ๆ พร้อมระบุจุดตัดแกน X ในช่วงนั้นให้ครบทุกจุด
- หาค่าสัมบูรณ์ของอินทิกรัลจำกัดเขตในแต่ละช่วงของ x โดยแยกช่วงตามจุดตัดแกน X
- พื้นที่ใต้เส้นโค้งจะเท่ากับผลรวมของค่าสัมบูรณ์ของอินทิกรัลจำกัดเขตทั้งหมดที่หาได้
ตะลุยโจทย์แนวข้อสอบแคลคูลัส ม.6
เรียนแคลคูลัส ม.6 กับ OnDemand
เป็นยังไงกันบ้างครับกับเนื้อหาแคลคูลัส ม.6 ที่พี่ ๆ นำมาฝากน้อง ๆ ในวันนี้ หลายคนอาจจะยังไม่เข้าใจในครั้งแรกที่อ่าน แต่น้อง ๆ ไม่ต้องกังวล เพราะเราไม่จำเป็นต้องเข้าใจเนื้อหาทั้งหมดนี้ภายในวันเดียวหรือการอ่านเพียงรอบเดียวก็ได้ครับ เราสามารถค่อย ๆ ทบทวนเนื้อหาไปพร้อมกับการฝึกทำโจทย์เพื่อให้เก่งขึ้นได้ โดยทาง OnDemand ก็มีคอร์สคณิตศาสตร์ ม.ปลาย : แคลคูลัสเพื่อเป็นอีกทางเลือกหนึ่งที่ช่วยให้น้อง ๆ ได้เข้าใจเนื้อหามากขึ้นด้วยเทคนิคการสอนที่ช่วยให้ไม่ต้องท่องจำ และพร้อมตะลุยโจทย์ทุกข้อเลยครับ
แทรก Youtube แคลคูลัส ม.6 | ตัวอย่างคอร์สเรียน เลข ม.ปลาย | OnDemand
สอบถามรายละเอียดคอร์สเรียนเพิ่มเติม
- Add Line : Ondemand Education
- โทรศัพท์ : 02-251-9456 (08.00-20.00)
อ้างอิง
- สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี. (2563). หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 เล่ม 1. พิมพ์ครั้งที่ 1. สกสค. ลาดพร้าว.
คำถามที่พบบ่อยเกี่ยวกับแคลคูลัส ม.6 (FAQs)
Q: ถ้าพื้นฐานคณิตศาสตร์ ม.ปลาย ไม่แน่นเลย จะเรียนแคลคูลัส ม.6 รู้เรื่องไหม ? ต้องทบทวนบทไหนก่อน ?
A: เรียนรู้เรื่องแน่นอนครับ แคลคูลัสเป็นบทที่ใช้แนวคิดค่อนข้างต่างจากเนื้อหาอื่นที่ได้เรียนมาก่อนหน้า โดยก่อนเริ่มเรียนแคลคูลัส พี่แนะนำให้น้อง ๆ ทบทวนเนื้อหา 3 เรื่องนี้ ซึ่งจะช่วยให้น้อง ๆ เรียนแคลคูลัสได้อย่างไม่ติดขัด
- ฟังก์ชัน ม.4 : ทบทวนการหาค่าฟังก์ชัน
- f(x), ฟังก์ชันประกอบ (g \circ f)(x) และการแยกตัวประกอบพหุนาม
- เลขยกกำลัง ม.4 : การเปลี่ยนรูทให้เป็นเศษส่วน เช่น \sqrt{x = x^{\frac{1}{2}}} หรือ \frac{1}{x^{2}} = x^{-2} เพราะถ้าจัดรูปตรงนี้ไม่ได้ จะใช้สูตรดิฟหรืออินทิเกรตไม่ได้เลย
- เรขาคณิตวิเคราะห์ (ม.4) : คอนเซปต์เรื่อง “ความชัน (m)”
Q: กราฟของฟังก์ชันต่อเนื่องจะเป็นเส้นเดียวต่อกันยาว ๆ ไม่ขาดช่วงเสมอเลยไหม ?
A: เสมอเลยครับ กราฟของฟังก์ชันต่อเนื่องจะต้องเป็นเส้นเดียวกัน ต่อเนื่องยาว ๆ ไม่ขาดช่วง และสามารถลากเส้นกราฟได้ตลอดทั้งช่วงโดยไม่ต้องยกปากกาออก ก็คือกราฟจะต้องไม่มีจุดที่ขาดหายไปหรือจุดโปร่ง เส้นกราฟจะต้องไม่ขาดออกจากกันแล้วไปเริ่มต้นใหม่ที่ค่า y อื่น และเส้นกราฟจะต้องไม่พุ่งขึ้นหรือลงสู่อนันต์ซึ่งทำให้เส้นกราฟแยกออกจากกันอย่างสิ้นเชิงที่จุดใดจุดหนึ่ง
Q: ค่าสูงสุดหรือต่ำสุดสัมบูรณ์ควรจะต้องเป็นค่าสูงสุดหรือต่ำสุดสัมพัทธ์ด้วยไหม ?
A: ไม่จำเป็นครับ เพราะสำหรับช่วงหนึ่ง ๆ ค่าสัมบูรณ์อาจจะเกิดขึ้นที่จุดปลายช่วง ซึ่งจะไม่นับเป็นค่าสูงสุดหรือต่ำสุดสัมพัทธ์ เนื่องจากเราไม่สามารถเปรียบเทียบค่ากับจุดใกล้เคียงทั้งสองฝั่งได้ครับ แต่ถ้าเป็นค่าสูงสุดหรือต่ำสุดสัมบูรณ์ที่ไม่อยู่ตรงจุดปลายช่วงจะเป็นค่าสูงสุดหรือต่ำสุดสัมพัทธ์ด้วยเสมอนั่นเองครับ
Q: ทำไมตอนหาอินทิกรัลแบบไม่จำกัดเขต ต้องบวกค่าคงที่ c ไว้ท้ายคำตอบเสมอ ? ไม่บวกได้ไหม ?
A: เหตุผลที่ต้อง +c เพราะการหาอินทิกรัลแบบไม่จำกัดเขตเป็นการทำย้อนกลับของการหาอนุพันธ์ครับ เวลาเราดิฟค่าคงที่ (เช่น ดิฟ 5, ดิฟ 100 หรือดิฟ -9) ผลลัพธ์จะกลายเป็น 0 เสมอ ดังนั้นเมื่อเราอินทิเกรต (ทำย้อนกลับ) จาก 0 เราจะรู้แค่ว่ามันเคยเป็นค่าคงที่มาก่อน แต่เราไม่รู้ว่ามันเป็นเลขอะไร จึงต้องใส่ +c เป็นตัวแทนของค่าคงที่นั้นไว้เสมอนั่นเองครับ
