Key Takeaways:
ตรรกศาสตร์ เป็นหนึ่งในเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย ที่เน้นเกี่ยวกับการหาค่าความจริงของข้อความต่าง ๆ ซึ่งเราจะต้องใช้การคิดแบบเป็นเหตุเป็นผลและเป็นขั้นตอนเพื่อที่จะหาค่าความจริงของข้อความเหล่านั้น โดยเป็นอีกเนื้อหาหนึ่งที่ได้นำมาออกทั้งในข้อสอบ A-Level คณิตศาสตร์ประยุกต์ 1 และ 2 ในบทความนี้พี่ ๆ ก็ได้สรุปเนื้อหาตรรกศาสตร์ ม.4 ไว้อย่างครบถ้วน พร้อมนำตัวอย่างโจทย์มาให้น้อง ๆ ได้ลองฝึกกันด้วย ถ้าพร้อมแล้วไปดูเนื้อหากันเลย!
Table of Contents
ในชีวิตประจำวัน เรามักจะใช้เหตุผลในการตัดสินใจอยู่ตลอดเวลา แต่เคยสงสัยไหมว่า “เหตุผล” แบบไหนที่เรียกว่าสมเหตุสมผลจริง ๆ ? ในเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย มีบทหนึ่งที่เป็นพื้นฐานสำคัญซึ่งช่วยฝึกความคิดของเราให้สามารถให้เหตุผลได้อย่างถูกต้องมีหลักการและสรุปผลได้อย่างสมเหตุสมผลน่าเชื่อถือ นั่นคือ “ตรรกศาสตร์” นั่นเอง
ในบทความนี้ เราจะไปทำความเข้าใจตรรกศาสตร์ ม.4 ในมุมมองที่เข้าใจง่ายและนำไปประยุกต์ใช้ได้จริงทั้งในการเรียนและการสอบกัน
สมัครเรียนคอร์สคณิตศาสตร์ ม.ปลาย : ตรรกศาสตร์เบื้องต้นและการให้เหตุผลกับ OnDemand
ประพจน์คืออะไร ? เชื่อมกันได้อย่างไรบ้าง ?
ประพจน์ คือ ประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธที่เราสามารถบอกได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น เช่น
- เดือนกุมภาพันธ์มี 30 วัน
- 1 เป็นจำนวนเฉพาะ
- สงขลาเป็นจังหวัดในภาคอีสานของไทย
ประโยคที่ไม่เป็นประพจน์ คือ ประโยคที่ไม่สามารถบอกได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จอย่างใดอย่างหนึ่ง ส่วนใหญ่จะอยู่ในรูปประโยคคำถาม คำสั่ง ขอร้อง อุทาน เช่น
- โปรดส่งใครมารักฉันที
- ไปอยู่ที่ไหนมา
- \mathit{x} \boldsymbol{-} \boldsymbol{1} \boldsymbol{=} \boldsymbol{11}
ตัวเชื่อมประพจน์และตารางค่าความจริง
ตัวเชื่อมประพจน์ทางตรรกศาสตร์มีอยู่ 5 ตัว ดังนี้
โดยที่เรามักจะใช้ตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์เล็กเพื่อแทนประพจน์ต่าง ๆ เช่น p, q, r, …
ถ้ากำหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ใด ๆ เราสามารถเชื่อมประพจน์ 2 ประพจน์เข้าหากันได้ด้วยตัวเชื่อมประพจน์ ดังต่อไปนี้
\mathit{p} และ \mathit{q} เขียนแทนด้วย \mathit{p} \wedge \mathit{q}
\mathit{p} หรือ \mathit{q} เขียนแทนด้วย \mathit{p} \vee \mathit{q}
ถ้า \mathit{p} แล้ว \mathit{q} เขียนแทนด้วย \mathit{p} \to \mathit{q}
\mathit{p} ก็ต่อเมื่อ \mathit{q} เขียนแทนด้วย \mathit{p} \leftrightarrow \mathit{q}
นิเสธของ \mathit{p} เขียนแทนด้วย \sim \mathit{p}
เมื่อ \mathit{p} และ katex]\mathit{q}[/katex] เป็นจริงหรือเท็จแตกต่างกัน เราจะได้ค่าความจริงของประพจน์ที่นำมาเชื่อมกันแตกต่างกันไปด้วย ซึ่งเป็นไปดังตารางค่าความจริงข้างล่างนี้
\mathit{p} | \mathit{q} | \mathit{p} \wedge \mathit{q} | \mathit{p} \vee \mathit{q} | \mathit{p} \to \mathit{q} | \mathit{p} \leftrightarrow \mathit{q} | \sim \mathit{p} |
| \mathit{T} | \mathit{T} | \mathit{T} | \mathit{T} | \mathit{T} | \mathit{T} | \mathit{F} |
| \mathit{T} | \mathit{F} | \mathit{F} | \mathit{T} | \mathit{F} | \mathit{F} | \mathit{F} |
| \mathit{F} | \mathit{T} | \mathit{F} | \mathit{T} | \mathit{T} | \mathit{F} | \mathit{T} |
| \mathit{F} | \mathit{F} | \mathit{F} | \mathit{F} | \mathit{T} | \mathit{T} | \mathit{T} |
โดยที่ \mathit{T} หมายถึง จริง
และ \mathit{F} หมายถึง เท็จ
จากตารางค่าความจริงข้างต้น เราจะพบว่ามีสิ่งที่น่าสนใจดังนี้
ลำดับในการหาค่าความจริง
ถ้าเราประพจน์มีตัวเชื่อมหลายตัว เราจะต้องยึดลำดับในการหาค่าความจริงตามลำดับต่อไปนี้
1. วงเล็บ
2. \sim
3. \wedge \vee
4. \rightarrow
5. \leftrightarrow
สำหรับตัวเชื่อม ∧ ∨ นั้นมีความสำคัญเท่า ๆ กัน เราจะหาค่าความจริงตามลำดับจากซ้ายไปขวาได้เลย
ต่อไปเราจะมาลองหาค่าความจริงกันดูนะครับ
ตัวอย่างโจทย์เกี่ยวกับการหาค่าความจริง
กำหนดให้ \mathit{p},\mathit{q}, \mathit{r} เป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็น เท็จ จริง เท็จ ตามลำดับ
จงหาค่าความจริงของ \sim \mathit{p} \leftrightarrow ( \sim \mathit{q} \vee \mathit{r}) \to \mathit{p}
ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า \sim \mathit{p} \leftrightarrow ( \sim \mathit{q} \vee \mathit{r}) \to \mathit{p} มีค่าความจริงเป็นจริง
รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกันเป็นอย่างไร ?
ประพจน์ \mathit{p} สมมูลกับ \mathit{q} ก็ต่อเมื่อ ประพจน์ \mathit{p} กับ \mathit{q} มีค่าความจริงเหมือนกันกรณีต่อกรณี จะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ \equiv แบบที่ได้เคยใช้ไปก่อนหน้านี้นั่นเอง โดยถ้าเราจะบอกว่า \mathit{p} สมมูลกับ \mathit{q} เราจะสามารถเขียนได้ว่า \mathit{p} \equiv \mathit{q} นั่นเอง
หนึ่งในวิธีที่เราใช้ตรวจสอบว่าแต่ละประพจน์สมมูลกันหรือไม่ ก็คือการสร้างตารางค่าความจริงแสดงให้เห็นตรง ๆ เลยว่าแต่ละประพจน์มีค่าความจริงเหมือนกันกรณีต่อกรณี
ตัวอย่างโจทย์เกี่ยวกับประพจน์ที่สมมูลกัน
จงพิจารณาว่า \mathit{p} \to \mathit{q} สมมูลกับ \sim \mathit{p} \vee \mathit{q} หรือไม่
วิธีทำ เราสามารถสร้างตารางค่าความจริงได้ดังนี้
