Key Takeaways:
อัตราส่วนตรีโกณมิติ ม.3 คือ อัตราส่วนความยาวของด้านสองด้านในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก สูตรตรีโกณมิติพื้นฐาน 3 ค่าหลัก ได้แก่ sin (ข้าม/ฉาก), cos (ชิด/ฉาก) และ tan (ข้าม/ชิด) ค่า sin cos tan ของมุมมาตรฐาน 30°, 45°, 60° สามารถจดจำได้ง่ายๆ ผ่านตารางหรือเทคนิคการใช้กฎมือซ้าย การแก้ตัวอย่างโจทย์ตรีโกณมิติ ต้องเริ่มต้นจากการระบุด้าน “ข้าม-ชิด-ฉาก” ให้ถูกต้องตามมุมอ้างอิงเสมอ สามเหลี่ยมมุมฉากยังเกี่ยวโยงกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส a^2 + b^2 = c^2 ซึ่งใช้หาความยาวด้านที่เหลือได้
วิชาคณิตศาสตร์ในระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 หนึ่งในบทเรียนที่มีความสำคัญและถูกนำไปใช้ ออกข้อสอบเข้า ม.4 มากที่สุดบทหนึ่งก็คือเรื่อง อัตราส่วนตรีโกณมิติ ม.3 บทเรียนนี้มักทำให้นักเรียนหลายคนรู้สึกกังวลเนื่องจากมีตัวย่อภาษาอังกฤษมากมาย แต่ในความเป็นจริงแล้ว หากน้องๆ เข้าใจหลักการพื้นฐาน จำอัตราส่วนความยาวด้านได้ และฝึกทำโจทย์อย่างสม่ำเสมอ เรื่องนี้จะเป็นบทเก็บคะแนนได้อย่างแน่นอน ในบทความนี้เราจะมาสรุปเนื้อหาแบบครบถ้วน ตั้งแต่พื้นฐาน สูตรตรีโกณมิติ เทคนิคการจำ ค่า sin cos tan ไปจนถึง ตัวอย่างโจทย์ตรีโกณมิติ พร้อมเฉลยอย่างละเอียด
สมัครเรียนคอร์สคณิตศาสตร์ ม.ต้น : ทฤษฎีบทพีทาโกรัสและอัตราส่วนตรีโกณมิติ กับ OnDemand
Table of Contents
อัตราส่วนตรีโกณมิติ ม.3 คืออะไร?
คำว่า “ตรีโกณมิติ” (Trigonometry) มีรากศัพท์มาจากภาษากรีก แปลว่า การวัดมุมของรูปสามเหลี่ยม โดยในระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 เราจะเน้นศึกษาเกี่ยวกับ อัตราส่วนตรีโกณมิติ ม.3 ซึ่งหมายถึง อัตราส่วนของความยาวของด้านสองด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก นั่นเอง ความรู้เรื่องนี้ถูกนำไปประยุกต์ใช้ในชีวิตจริงมากมาย เช่น การวัดความสูงของตึก เสาไฟฟ้า หรือการวัดระยะทางที่ไม่สามารถใช้ตลับเมตรวัดได้โดยตรง
พื้นฐานสามเหลี่ยมมุมฉากและการชื่อเรียกด้าน
ก่อนที่เราจะไปท่องจำ สูตรตรีโกณมิติ สิ่งสำคัญอันดับแรกคือการระบุชื่อด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ให้ถูกต้องตามมุมที่เราสนใจพิจารณา (มุมอ้างอิง)
พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ที่มีมุม C เป็นมุมฉาก และให้มุม A เป็นมุมอ้างอิง:
- ด้านตรงข้ามมุมฉาก (Hypotenuse) เรียกสั้นๆ ว่า “ฉาก”: คือด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมฉาก เป็นด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเสมอ
- ด้านตรงข้ามมุม A (Opposite) เรียกสั้นๆ ว่า “ข้าม”: คือด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมอ้างอิง A
- ด้านประชิดมุม A (Adjacent) เรียกสั้นๆ ว่า “ชิด”: คือด้านที่อยู่ติดกับมุมอ้างอิง A (โดยไม่นับรวมด้านตรงข้ามมุมฉาก)
นอกจากนี้ ยังมีความสัมพันธ์ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสเข้ามาเกี่ยวข้อง ดังนี้:
a^2 + b^2 = c^2โดยที่ c คือความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ส่วน a และ b คือความยาวของด้านประกอบมุมฉาก
สรุปสูตรตรีโกณมิติพื้นฐาน (sin, cos, tan)
อัตราส่วนพื้นฐานที่น้องๆ ม.3 ต้องจำให้แม่นยำมี 3 ค่าหลัก ได้แก่ Sine (ไซน์), Cosine (โคไซน์) และ Tangent (แทนเจนต์)
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ | นิยามอัตราส่วนความยาวด้าน | คำท่องจำยอดฮิต |
|---|---|---|
Sine (sin A) | \sin A = \frac{\text{ความยาวด้านตรงข้ามมุม A}}{\text{ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก}} | ข้าม / ฉาก |
Cosine (cos A) | \cos A = \frac{\text{ความยาวด้านประชิดมุม A}}{\text{ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก}} | ชิด / ฉาก |
Tangent (tan A) | \tan A = \frac{\text{ความยาวด้านตรงข้ามมุม A}}{\text{ความยาวด้านประชิดมุม A}} | ข้าม / ชิด |
ข้อสังเกตสำคัญ: ค่า \tan A สามารถหาได้จากนำค่า \sin A หารด้วย \cos A ดังสมการ:
\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}ตารางและเทคนิคการจำค่า sin, cos, tan มุม 30°, 45°, 60°
การจำ ค่า sin cos tan ของมุม 30°, 45° และ 60° ได้อย่างถูกต้องจะช่วยลดเวลาในการทำข้อสอบได้อย่างมาก ตารางตารางด้านล่างนี้คือค่ามาตรฐานที่ต้องจำให้ได้:
มุม (\theta) | 30° | 45° | 60° |
|---|---|---|---|
sin | \frac{1}{2} | \frac{\sqrt{2}}{2} | \frac{\sqrt{3}}{2} |
cos | \frac{\sqrt{3}}{2} | \frac{\sqrt{2}}{2} | \frac{1}{2} |
tan | \frac{1}{\sqrt{3}} หรือ \frac{\sqrt{3}}{3} | 1 | \sqrt{3} |
เทคนิคกฎมือซ้าย (Left Hand Rule) ช่วยจำง่ายๆ
หากกลัวลืมในห้องสอบ สามารถใช้นิ้วมือซ้ายช่วยคำนวณได้ดังนี้:
- แบมือซ้ายเข้าหาตัวเอง ให้ นิ้วหัวแม่มือ = 0°, นิ้วชี้ = 30°, นิ้วกลาง = 45°, นิ้วนาง = 60°, นิ้วก้อย = 90°
- เมื่อต้องการหาค่ามุมใด ให้พับนิ้วนั้นลงมา
- หาค่า sin: นับจำนวนนิ้วที่เหลือทางฝั่งซ้าย (ด้านนิ้วหัวแม่มือ) แล้วใช้สูตร \sin \theta = \frac{\sqrt{\text{จำนวนนิ้วทางซ้าย}}}{2}
- หาค่า cos: นับจำนวนนิ้วที่เหลือทางฝั่งขวา (ด้านนิ้วก้อย) แล้วใช้สูตร \cos \theta = \frac{\sqrt{\text{จำนวนนิ้วทางขวา}}}{2}
หาค่า tan: คำนวณจาก \tan \theta = \sqrt{\frac{\text{จำนวนนิ้วทางซ้าย}}{\text{จำนวนนิ้วทางขวา}}}
เอกลักษณ์ตรีโกณมิติและส่วนกลับ (cosec, sec, cot)
นอกเหนือจาก sin, cos, tan แล้ว ในบทเรียน อัตราส่วนตรีโกณมิติ ม.3 ยังมีส่วนกลับของอัตราส่วนทั้งสามด้วย ดังนี้:
- Cosecant (cosec หรือ csc): เป็นส่วนกลับของ sin
\csc A = \frac{1}{\sin A} = \frac{\text{ฉาก}}{\text{ข้าม}} - Secant (sec): เป็นส่วนกลับของ cos
\sec A = \frac{1}{\cos A} = \frac{\text{ฉาก}}{\text{ชิด}} - Cotangent (cot): เป็นส่วนกลับของ tan
\cot A = \frac{1}{\tan A} = \frac{\text{ชิด}}{\text{ข้าม}}
เอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน
สมการเอกลักษณ์ที่สำคัญและพบบ่อยในข้อสอบประยุกต์ คือ:
\sin^2 A + \cos^2 A = 1ตัวอย่างโจทย์ตรีโกณมิติ ม.3 พร้อมวิธีทำอย่างละเอียด
ตัวอย่างที่ 1: การหาความยาวด้านที่เหลือของสามเหลี่ยมมุมฉาก
โจทย์: กำหนดให้รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC มีมุม B เป็นมุมฉาก มุม A มีขนาด 30° และด้านตรงข้ามมุมฉาก AC ยาว 10 เซนติเมตร จงหาความยาวของด้าน BC และ ด้าน AB
วิธีทำ:
- ระบุตัวแปรตามมุมอ้างอิง A (30°):
- ด้าน AC คือ ด้านตรงข้ามมุมฉาก (ฉาก) = 10 เซนติเมตร
- ด้าน BC คือ ด้านตรงข้ามมุม A (ข้าม)
- ด้าน AB คือ ด้านประชิดมุม A (ชิด)
- หาความยาวด้าน BC โดยใช้ฟังก์ชัน sin:
\sin 30^\circ = \frac{\text{BC}}{\text{AC}}
\frac{1}{2} = \frac{\text{BC}}{10}
\text{BC} = 10 \times \frac{1}{2} = 5 เซนติเมตร - หาความยาวด้าน AB โดยใช้ฟังก์ชัน cos:
\cos 30^\circ = \frac{\text{AB}}{\text{AC}}
\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\text{AB}}{10}
\text{AB} = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} เซนติเมตร
คำตอบ: ด้าน BC ยาว 5 เซนติเมตร และ ด้าน AB ยาว 5\sqrt{3} เซนติเมตร
ตัวอย่างที่ 2: โจทย์ปัญหาประยุกต์การหาความสูง (มุมเงย)
โจทย์: นายนพยืนอยู่บนพื้นราบห่างจากโคนเสาธงเป็นระยะทาง 12 เมตร เขามองขึ้นไปที่ยอดเสาธงเป็นมุมเงย 60° หากไม่คิดความสูงของนายนพ เสาธงนี้มีความสูงกี่เมตร?
วิธีทำ:
- กำหนดให้ความสูงของเสาธงเป็น h เมตร ซึ่งคือด้านตรงข้ามมุมเงย (ข้าม)
- ระยะห่างจากโคนเสาธงคือ 12 เมตร ซึ่งคือด้านประชิดมุมเงย (ชิด)
- เลือกใช้ฟังก์ชัน tan เนื่องจากเกี่ยวข้องกับด้านข้ามและด้านชิด:
\tan 60^\circ = \frac{\text{ความสูงเสาธง}}{\text{ระยะห่างจากโคนเสา}}
\sqrt{3} = \frac{h}{12}
h = 12\sqrt{3} เมตร
คำตอบ: เสาธงมีความสูง 12\sqrt{3} เมตร (หรือประมาณ 20.78 เมตร)
ตัวอย่างที่ 3: การคำนวณหาค่าของนิพจน์ตรีโกณมิติ
โจทย์: จงหาค่าของ 2\sin 30^\circ + 4\cos 60^\circ – \tan 45^\circ
วิธีทำ:
- แทนค่ามุมมาตรฐานแต่ละตัวลงในนิพจน์:
ค่า \sin 30^\circ = \frac{1}{2}
ค่า \cos 60^\circ = \frac{1}{2}
ค่า \tan 45^\circ = 1 - นำค่าที่ได้มาคำนวณทางพีชคณิต:
= 2\left(\frac{1}{2}\right) + 4\left(\frac{1}{2}\right) – 1
= 1 + 2 – 1
= 2
คำตอบ: ค่าของนิพจน์นี้เท่ากับ 2
สอบถามรายละเอียดคอร์สเรียนเพิ่มเติม
- Add Line : Ondemand Education
- โทรศัพท์ : 02-251-9456 (08.00-20.00)
คำถามที่พบบ่อย (FAQs)
Q: sin, cos, tan แตกต่างกันอย่างไร?
A: ทั้งสามค่าเป็นอัตราส่วนของความยาวด้านในสามเหลี่ยมมุมฉากที่อ้างอิงตามมุมที่สนใจ โดย sin คือ ข้าม/ฉาก, cos คือ ชิด/ฉาก และ tan คือ ข้าม/ชิด (หรือเท่ากับ sin/cos)
Q: หากจำค่ามุมมาตรฐานในห้องสอบไม่ได้ ควรทำอย่างไร?
A: สามารถนำกฎมือซ้ายมาประยุกต์ใช้นับนิ้วได้อย่างรวดเร็ว หรือใช้วิธีวาดสามเหลี่ยมมุมฉากมาตรฐาน เช่น สามเหลี่ยมมุม 30°-60°-90° ที่มีความยาวด้านเป็น 1, \sqrt{3}, 2 แล้วคิดตามสูตร ข้าม-ชิด-ฉาก
Q: ส่วนกลับ cosec, sec, cot จำเป็นต้องท่องจำไหมสำหรับนักเรียน ม.3?
A: แนะนำให้จำนิยามพื้นฐานให้ได้ว่าแต่ละตัวเป็นส่วนกลับของอัตราส่วนใด (cosec เป็นส่วนกลับของ sin, sec เป็นส่วนกลับของ cos, cot เป็นส่วนกลับของ tan) เพราะมักถูกนำไปออกในข้อสอบสอบเข้า ม.4 โรงเรียนแข่งขันสูง เช่น เตรียมอุดมศึกษา หรือ MWIT
