สมัครเรียน
Logo
สมัครคอร์ส

อัตราส่วนตรีโกณมิติ ม.3 อธิบายครบ พร้อมตัวอย่างโจทย์และเฉลยละเอียด

trigonometric ratios m3 1 cover - สถาบันกวดวิชา OnDemand

Key Takeaways:

อัตราส่วนตรีโกณมิติ ม.3 คือ อัตราส่วนความยาวของด้านสองด้านในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก สูตรตรีโกณมิติพื้นฐาน 3 ค่าหลัก ได้แก่ sin (ข้าม/ฉาก), cos (ชิด/ฉาก) และ tan (ข้าม/ชิด) ค่า sin cos tan ของมุมมาตรฐาน 30°, 45°, 60° สามารถจดจำได้ง่ายๆ ผ่านตารางหรือเทคนิคการใช้กฎมือซ้าย การแก้ตัวอย่างโจทย์ตรีโกณมิติ ต้องเริ่มต้นจากการระบุด้าน “ข้าม-ชิด-ฉาก” ให้ถูกต้องตามมุมอ้างอิงเสมอ สามเหลี่ยมมุมฉากยังเกี่ยวโยงกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส a^2 + b^2 = c^2 ซึ่งใช้หาความยาวด้านที่เหลือได้

วิชาคณิตศาสตร์ในระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 หนึ่งในบทเรียนที่มีความสำคัญและถูกนำไปใช้ ออกข้อสอบเข้า ม.4 มากที่สุดบทหนึ่งก็คือเรื่อง อัตราส่วนตรีโกณมิติ ม.3 บทเรียนนี้มักทำให้นักเรียนหลายคนรู้สึกกังวลเนื่องจากมีตัวย่อภาษาอังกฤษมากมาย แต่ในความเป็นจริงแล้ว หากน้องๆ เข้าใจหลักการพื้นฐาน จำอัตราส่วนความยาวด้านได้ และฝึกทำโจทย์อย่างสม่ำเสมอ เรื่องนี้จะเป็นบทเก็บคะแนนได้อย่างแน่นอน ในบทความนี้เราจะมาสรุปเนื้อหาแบบครบถ้วน ตั้งแต่พื้นฐาน สูตรตรีโกณมิติ เทคนิคการจำ ค่า sin cos tan ไปจนถึง ตัวอย่างโจทย์ตรีโกณมิติ พร้อมเฉลยอย่างละเอียด

สมัครเรียนคอร์สคณิตศาสตร์ ม.ต้น : ทฤษฎีบทพีทาโกรัสและอัตราส่วนตรีโกณมิติ กับ OnDemand

Table of Contents

 

อัตราส่วนตรีโกณมิติ ม.3 คืออะไร?

คำว่า “ตรีโกณมิติ” (Trigonometry) มีรากศัพท์มาจากภาษากรีก แปลว่า การวัดมุมของรูปสามเหลี่ยม โดยในระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 เราจะเน้นศึกษาเกี่ยวกับ อัตราส่วนตรีโกณมิติ ม.3 ซึ่งหมายถึง อัตราส่วนของความยาวของด้านสองด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก นั่นเอง ความรู้เรื่องนี้ถูกนำไปประยุกต์ใช้ในชีวิตจริงมากมาย เช่น การวัดความสูงของตึก เสาไฟฟ้า หรือการวัดระยะทางที่ไม่สามารถใช้ตลับเมตรวัดได้โดยตรง

พื้นฐานสามเหลี่ยมมุมฉากและการชื่อเรียกด้าน

ก่อนที่เราจะไปท่องจำ สูตรตรีโกณมิติ สิ่งสำคัญอันดับแรกคือการระบุชื่อด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ให้ถูกต้องตามมุมที่เราสนใจพิจารณา (มุมอ้างอิง)

พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ที่มีมุม C เป็นมุมฉาก และให้มุม A เป็นมุมอ้างอิง:

  • ด้านตรงข้ามมุมฉาก (Hypotenuse) เรียกสั้นๆ ว่า “ฉาก”: คือด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมฉาก เป็นด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเสมอ
  • ด้านตรงข้ามมุม A (Opposite) เรียกสั้นๆ ว่า “ข้าม”: คือด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมอ้างอิง A
  • ด้านประชิดมุม A (Adjacent) เรียกสั้นๆ ว่า “ชิด”: คือด้านที่อยู่ติดกับมุมอ้างอิง A (โดยไม่นับรวมด้านตรงข้ามมุมฉาก)

นอกจากนี้ ยังมีความสัมพันธ์ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสเข้ามาเกี่ยวข้อง ดังนี้:

a^2 + b^2 = c^2

โดยที่ c คือความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ส่วน a และ b คือความยาวของด้านประกอบมุมฉาก

trigonometric ratios m3 2 - สถาบันกวดวิชา OnDemand

สรุปสูตรตรีโกณมิติพื้นฐาน (sin, cos, tan)

อัตราส่วนพื้นฐานที่น้องๆ ม.3 ต้องจำให้แม่นยำมี 3 ค่าหลัก ได้แก่ Sine (ไซน์), Cosine (โคไซน์) และ Tangent (แทนเจนต์)

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

นิยามอัตราส่วนความยาวด้าน

คำท่องจำยอดฮิต

Sine (sin A)

\sin A = \frac{\text{ความยาวด้านตรงข้ามมุม A}}{\text{ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก}}

ข้าม / ฉาก

Cosine (cos A)

\cos A = \frac{\text{ความยาวด้านประชิดมุม A}}{\text{ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก}}

ชิด / ฉาก

Tangent (tan A)

\tan A = \frac{\text{ความยาวด้านตรงข้ามมุม A}}{\text{ความยาวด้านประชิดมุม A}}

ข้าม / ชิด

ข้อสังเกตสำคัญ: ค่า \tan A สามารถหาได้จากนำค่า \sin A หารด้วย \cos A ดังสมการ:

\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}

ตารางและเทคนิคการจำค่า sin, cos, tan มุม 30°, 45°, 60°

การจำ ค่า sin cos tan ของมุม 30°, 45° และ 60° ได้อย่างถูกต้องจะช่วยลดเวลาในการทำข้อสอบได้อย่างมาก ตารางตารางด้านล่างนี้คือค่ามาตรฐานที่ต้องจำให้ได้:

มุม (\theta)

30°

45°

60°

sin

\frac{1}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}

cos

\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2}

tan

\frac{1}{\sqrt{3}} หรือ \frac{\sqrt{3}}{3}

1

\sqrt{3}

เทคนิคกฎมือซ้าย (Left Hand Rule) ช่วยจำง่ายๆ

trigonometric ratios m3 3 - สถาบันกวดวิชา OnDemand

หากกลัวลืมในห้องสอบ สามารถใช้นิ้วมือซ้ายช่วยคำนวณได้ดังนี้:

  1. แบมือซ้ายเข้าหาตัวเอง ให้ นิ้วหัวแม่มือ = 0°, นิ้วชี้ = 30°, นิ้วกลาง = 45°, นิ้วนาง = 60°, นิ้วก้อย = 90°
  2. เมื่อต้องการหาค่ามุมใด ให้พับนิ้วนั้นลงมา
  3. หาค่า sin: นับจำนวนนิ้วที่เหลือทางฝั่งซ้าย (ด้านนิ้วหัวแม่มือ) แล้วใช้สูตร \sin \theta = \frac{\sqrt{\text{จำนวนนิ้วทางซ้าย}}}{2}
  4. หาค่า cos: นับจำนวนนิ้วที่เหลือทางฝั่งขวา (ด้านนิ้วก้อย) แล้วใช้สูตร \cos \theta = \frac{\sqrt{\text{จำนวนนิ้วทางขวา}}}{2}

หาค่า tan: คำนวณจาก \tan \theta = \sqrt{\frac{\text{จำนวนนิ้วทางซ้าย}}{\text{จำนวนนิ้วทางขวา}}}

เอกลักษณ์ตรีโกณมิติและส่วนกลับ (cosec, sec, cot)

นอกเหนือจาก sin, cos, tan แล้ว ในบทเรียน อัตราส่วนตรีโกณมิติ ม.3 ยังมีส่วนกลับของอัตราส่วนทั้งสามด้วย ดังนี้:

  • Cosecant (cosec หรือ csc): เป็นส่วนกลับของ sin
    \csc A = \frac{1}{\sin A} = \frac{\text{ฉาก}}{\text{ข้าม}}
  • Secant (sec): เป็นส่วนกลับของ cos
    \sec A = \frac{1}{\cos A} = \frac{\text{ฉาก}}{\text{ชิด}}
  • Cotangent (cot): เป็นส่วนกลับของ tan
    \cot A = \frac{1}{\tan A} = \frac{\text{ชิด}}{\text{ข้าม}}

เอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน

สมการเอกลักษณ์ที่สำคัญและพบบ่อยในข้อสอบประยุกต์ คือ:

\sin^2 A + \cos^2 A = 1

ตัวอย่างโจทย์ตรีโกณมิติ ม.3 พร้อมวิธีทำอย่างละเอียด

ตัวอย่างที่ 1: การหาความยาวด้านที่เหลือของสามเหลี่ยมมุมฉาก

โจทย์: กำหนดให้รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC มีมุม B เป็นมุมฉาก มุม A มีขนาด 30° และด้านตรงข้ามมุมฉาก AC ยาว 10 เซนติเมตร จงหาความยาวของด้าน BC และ ด้าน AB

วิธีทำ:

  1. ระบุตัวแปรตามมุมอ้างอิง A (30°):
  • ด้าน AC คือ ด้านตรงข้ามมุมฉาก (ฉาก) = 10 เซนติเมตร
  • ด้าน BC คือ ด้านตรงข้ามมุม A (ข้าม)
  • ด้าน AB คือ ด้านประชิดมุม A (ชิด)
  1. หาความยาวด้าน BC โดยใช้ฟังก์ชัน sin:
    \sin 30^\circ = \frac{\text{BC}}{\text{AC}}
    \frac{1}{2} = \frac{\text{BC}}{10}
    \text{BC} = 10 \times \frac{1}{2} = 5 เซนติเมตร
  2. หาความยาวด้าน AB โดยใช้ฟังก์ชัน cos:
    \cos 30^\circ = \frac{\text{AB}}{\text{AC}}
    \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\text{AB}}{10}
    \text{AB} = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} เซนติเมตร

คำตอบ: ด้าน BC ยาว 5 เซนติเมตร และ ด้าน AB ยาว 5\sqrt{3} เซนติเมตร

ตัวอย่างที่ 2: โจทย์ปัญหาประยุกต์การหาความสูง (มุมเงย)

โจทย์: นายนพยืนอยู่บนพื้นราบห่างจากโคนเสาธงเป็นระยะทาง 12 เมตร เขามองขึ้นไปที่ยอดเสาธงเป็นมุมเงย 60° หากไม่คิดความสูงของนายนพ เสาธงนี้มีความสูงกี่เมตร?

วิธีทำ:

  1. กำหนดให้ความสูงของเสาธงเป็น h เมตร ซึ่งคือด้านตรงข้ามมุมเงย (ข้าม)
  2. ระยะห่างจากโคนเสาธงคือ 12 เมตร ซึ่งคือด้านประชิดมุมเงย (ชิด)
  3. เลือกใช้ฟังก์ชัน tan เนื่องจากเกี่ยวข้องกับด้านข้ามและด้านชิด:
    \tan 60^\circ = \frac{\text{ความสูงเสาธง}}{\text{ระยะห่างจากโคนเสา}}
    \sqrt{3} = \frac{h}{12}
    h = 12\sqrt{3} เมตร

คำตอบ: เสาธงมีความสูง 12\sqrt{3} เมตร (หรือประมาณ 20.78 เมตร)

ตัวอย่างที่ 3: การคำนวณหาค่าของนิพจน์ตรีโกณมิติ

โจทย์: จงหาค่าของ 2\sin 30^\circ + 4\cos 60^\circ – \tan 45^\circ

วิธีทำ:

  1. แทนค่ามุมมาตรฐานแต่ละตัวลงในนิพจน์:
    ค่า \sin 30^\circ = \frac{1}{2}
    ค่า \cos 60^\circ = \frac{1}{2}
    ค่า \tan 45^\circ = 1
  2. นำค่าที่ได้มาคำนวณทางพีชคณิต:
    = 2\left(\frac{1}{2}\right) + 4\left(\frac{1}{2}\right) – 1
    = 1 + 2 – 1
    = 2

คำตอบ: ค่าของนิพจน์นี้เท่ากับ 2

สอบถามรายละเอียดคอร์สเรียนเพิ่มเติม

คำถามที่พบบ่อย (FAQs)

Q: sin, cos, tan แตกต่างกันอย่างไร?

A: ทั้งสามค่าเป็นอัตราส่วนของความยาวด้านในสามเหลี่ยมมุมฉากที่อ้างอิงตามมุมที่สนใจ โดย sin คือ ข้าม/ฉาก, cos คือ ชิด/ฉาก และ tan คือ ข้าม/ชิด (หรือเท่ากับ sin/cos)

A: สามารถนำกฎมือซ้ายมาประยุกต์ใช้นับนิ้วได้อย่างรวดเร็ว หรือใช้วิธีวาดสามเหลี่ยมมุมฉากมาตรฐาน เช่น สามเหลี่ยมมุม 30°-60°-90° ที่มีความยาวด้านเป็น 1, \sqrt{3}, 2 แล้วคิดตามสูตร ข้าม-ชิด-ฉาก

A: แนะนำให้จำนิยามพื้นฐานให้ได้ว่าแต่ละตัวเป็นส่วนกลับของอัตราส่วนใด (cosec เป็นส่วนกลับของ sin, sec เป็นส่วนกลับของ cos, cot เป็นส่วนกลับของ tan) เพราะมักถูกนำไปออกในข้อสอบสอบเข้า ม.4 โรงเรียนแข่งขันสูง เช่น เตรียมอุดมศึกษา หรือ MWIT

20260706-194512
20260706-200834