ไฟฟ้าสถิต ม.5 เนื้อหาครบ! สรุปสูตร! พร้อมตัวอย่างโจทย์และข้อสอบ A-Level ฟิสิกส์!

สำหรับน้อง ๆ ที่กำลังเรียนอยู่ชั้นมัธยมศึกษาตอนปลายและกำลังเรียนเนื้อหากลุ่มไฟฟ้า ที่ถือว่าโหดและหินมากสำหรับวิชาฟิสิกส์ น้อง ๆ ที่เพิ่งเรียนกลุ่มนี้ บทแรกจะเป็น ไฟฟ้าสถิต จะได้ศึกษาเกี่ยวกับธรรมชาติของไฟฟ้าสถิต แรงระหว่างประจุ สนามไฟฟ้า ศักย์ไฟฟ้าและพลังงานศักย์ไฟฟ้า และตัวเก็บประจุ โดยหัวข้อในบทไฟฟ้าสถิตนี้เป็นพื้นฐานที่สำคัญมากในการเรียนเนื้อหากลุ่มไฟฟ้าบทถัดไป  เคล็ดลับสำคัญในการเรียนเนื้อหากลุ่มไฟฟ้าให้เข้าใจ จำเป็นต้องมีพื้นฐานที่สำคัญจากเนื้อหาในกลุ่มกลศาสตร์ โดยเฉพาะเนื้อหาการเคลื่อนที่ กฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน และกฎการอนุรักษ์พลังงานกล แต่ถ้าน้อง ๆ แม่นในเนื้อหาเหล่านี้แล้ว เรามาอ่านและทำความเข้าใจหลักการสำคัญของไฟฟ้าจากบทความนี้กัน

สมัครเรียนคอร์สฟิสิกส์ ม.ปลาย : ไฟฟ้าสถิต กับ OnDemand  

ธรรมชาติของไฟฟ้าสถิต 

เมื่อศึกษาปรากฏการณ์ธรรมชาติ เช่น ฟ้าแลบ ฟ้าผ่า หรือสภาวะผมชี้ฟูขณะหวีผมในวันที่อากาศแห้ง ในทางฟิสิกส์สามารถอธิบายได้จากหลักการถ่ายโอนประจุไฟฟ้าและกฎอนุรักษ์ประจุไฟฟ้า  (Law of Conservation of Electric Charge)  ตามแบบจำลองอะตอมที่นักวิทยาศาสตร์ยอมรับกันในปัจจุบัน สสารทุกชนิดประกอบด้วยอะตอมที่มีโปรตอนซึ่งแสดงประจุบวก และนิวตรอนที่เป็นกลางทางไฟฟ้ารวมกันอยู่ภายในนิวเคลียส อิเล็กตรอนซึ่งแสดงประจุลบจะโคจรอยู่โดยรอบ ๆ โดยทั่วไป วัตถุจะมีสภาพเป็นกลางทางไฟฟ้า เนื่องจากมีจำนวนโปรตอนและอิเล็กตรอนเท่ากัน แต่เมื่อวัตถุสองชนิดเกิดการขัดสีกัน จะส่งผลให้อิเล็กตรอนถ่ายโอนระหว่างผิวสัมผัส แต่ละวัตถุที่นำมาขัดถูกัน และแสดงอำนาจทางไฟฟ้าออกมา โดย

• วัตถุที่สูญเสียอิเล็กตรอนจะแปรสภาพเป็นวัตถุที่มีประจุสุทธิเป็นบวก 
• วัตถุที่ได้รับอิเล็กตรอนจะแปรสภาพเป็นวัตถุมีประจุสุทธิเป็นลบ

กระบวนการนี้สอดคล้องกับกฎการอนุรักษ์ประจุไฟฟ้า ที่กล่าวว่า “ประจุไฟฟ้าไม่สามารถสร้างขึ้นใหม่หรือทำให้สูญหายไปได้ แต่เป็นการถ่ายโอนระหว่างวัตถุเท่านั้น”

3 วิธีการทำให้วัตถุมีประจุไฟฟ้า

การทำให้วัตถุที่เดิมเป็นกลางทางไฟฟ้าแสดงอำนาจไฟฟ้าออกมาหรือมีประจุไฟฟ้าสุทธิไม่เป็นศูนย์ สามารถทำได้ 3 วิธีหลัก ดังนี้

1. 1. การขัดถู (Friction): เกิดจากการนำวัตถุต่างชนิดกันมาขัดสีกัน ทำให้อิเล็กตรอนจากวัตถุหนึ่งหลุดไปยังอีกวัตถุหนึ่ง วัตถุที่เสียอิเล็กตรอนจะมีประจุบวก ส่วนวัตถุที่รับอิเล็กตรอนจะมีประจุลบ
2. 2. การสัมผัส (Conduction): คือการนำวัตถุที่มีประจุไฟฟ้าอยู่แล้วไปแตะหรือสัมผัสกับวัตถุที่เป็นกลาง ทำให้อิเล็กตรอนถ่ายโอนระหว่างกัน จนวัตถุที่เป็นกลางมีประจุชนิดเดียวกับวัตถุที่นำมาสัมผัส
3. 3. การเหนี่ยวนำ (Induction): เป็นการนำวัตถุที่มีประจุมาจ่อใกล้ ๆ วัตถุที่เป็นกลาง (โดยไม่สัมผัส) ประจุในวัตถุที่เป็นกลางจะเกิดการจัดเรียงตัวใหม่ โดยประจุชนิดตรงข้ามจะถูกดึงดูดมาอยู่ใกล้ และประจุชนิดเดียวกันจะถูกผลักออกไป

วัตถุใดจะรับหรือสูญเสียอิเล็กตรอน ลำดับความยากง่ายในการสูญเสียอิเล็กตรอนของวัสดุต่าง ๆ เมื่อขัดถูกัน สามารถเรียงลำดับวัสดุที่สูญเสียอิเล็กตรอนได้ง่ายไปยาก ดังตาราง

ลำดับ	วัสดุ
1	แก้ว
2	เส้นผม
3	แผ่นเปอร์สเปกซ์
4	ไนลอน
5	ผ้าสักหลาด
6	ผ้าไหม
7	ผ้าฝ้าย
8	อำพัน
9	โพลีไวนิลคลอไรด์ (PVC)
10	เทฟลอน

จากตาราง พบว่า แก้วมีลำดับเป็น 1 และผ้าฝ้ายมีลำดับเป็น 7 แสดงว่า เมื่อนำแก้วและผ้าฝ้ายมาขัดถูกัน แก้วที่มีลำดับการสูญเสียอิเล็กตรอนน้อยกว่าผ้าฝ้าย แก้วจะสูญเสียอิเล็กตรอนให้แก่ผ้าฝ้าย จึงทำให้หลังขัดถู แก้วมีประจุสุทธิบวก และผ้าผ้าฝ้ายมีประจุสุทธิเป็นลบ จึงทำให้แก้วและผ้าฝ้ายหลังขัดถู สามารถออกแรงระหว่างประจุไฟฟ้ากระทำต่อวัตถุอื่นได้ทั้งวัตถุที่มีประจุ และวัตถุที่เป็นกลางทางไฟฟ้า

แรงระหว่างประจุและกฎของคูลอมบ์

จากการขัดถูกันระหว่างแก้วและผ้าฝ้ายสามารถทำให้เกิดประจุ และออกแรงระหว่างประจุกระทำต่อวัตถุอื่น ในการศึกษาแรงระหว่างประจุ จะพิจารณาจุดประจุสองจุดที่อยู่ในบริเวณหนึ่ง โดยแรงระหว่างประจุที่กระทำระหว่างกัน จะมีขนาดตามกฎของคูลอมบ์ (Coulomb’s law) กล่าวคือ แรง (F) จะแปรผันตรงกับผลคูณของขนาดประจุแต่ละตัว (Q1Q2) และแปรผกผันกับกำลังสองของระยะห่างระหว่างประจุทั้งสอง (r2) ตามสมการ F=kQ1Q2r2 โดยที่ k คือ ค่าคงตัวของคูลอมบ์ ซึ่งเท่ากับ 9109 Nm2/C2 สำหรับทิศของแรงระหว่างประจุจะอยู่บนแนวเส้นตรงที่ลากผ่านจุดประจุทั้งสอง โดยจะออกแรงผลักหรือแรงดึงดูดระหว่างกัน จะพิจารณาจากชนิดของคู่ประจุ

• ประจุทั้งสองเป็นประจุชนิดตรงข้ามกัน แรงระหว่างประจุจะเป็นแรงดึงดูด
• ประจุทั้งสองเป็นประจุชนิดเดียวกัน แรงระหว่างประจุจะเป็นแรงผลัก

ข้อสังเกต : Q1 และ Q2 ที่แทนในสมการตามกฎของคูลอมบ์จะเป็นขนาดประจุ ทำให้ไม่ต้องแทนเครื่อง + หรือ – ตามชนิดประจุลงไปในการคำนวณ

ตัวอย่างโจทย์แรงระหว่างประจุและกฎของคูลอมบ์

ประจุ -1.6 ไมโครคูลอบ์ และประจุ +2.4 ไมโครคูลอมบ์ วางอยู่บนแกน x ดังภาพ จงหาขนาดและทิศทางของแรงระหว่างประจุที่กระทำต่อประจุ -1.6 ไมโครคูลอบ์ วิธีทำ จากโจทย์     Q1=1.6 10-6 C, Q1=2.4 10-6 C และ r =610-2 m แทนค่าในสูตร F=kQ1Q2r2 จะได้ F=9109 Nm2/C21.6 10-6 C2.410-6 C610-2 m2 F=9.6  N ทิศของแรงระหว่างประจุที่กระทำต่อประจุ -1.6 ไมโครคูลอบ์ จะอยู่บนแนวเส้นตรงที่ลากผ่านประจุทั้งสอง และประจุทั้งสองเป็นประจุชนิดต่างกัน จึงทำให้ออกแรงดึงดูดซึ่งกันและกัน  จากรูป จะได้ว่า แรงระหว่างประจุที่กระทำต่อประจุ -1.6 ไมโครคูลอบ์ มีทิศ +x  ดังนั้น แรงระหว่างประจุที่กระทำต่อประจุ -1.6 ไมโครคูลอบ์ มีขนาด 9.6 นิวตัน และมีทิศ +x

สนามไฟฟ้า

สนามไฟฟ้า (Electric field) เป็นบริเวณที่มีอำนาจทางไฟฟ้า โดยบริเวณที่มีประจุไฟฟ้าจะมีสนามไฟฟ้าอยู่ เมื่อนำประจุทดสอบ +q ไปวาง จะมีแรงภายนอกมากระทำต่อประจุนั้น ดังนั้น นิยามของสนามไฟฟ้า คือ แรงภายนอกที่กระทำประจุบวกขนาดหนึ่งหน่วย E → = F → q จากนิยามสนามไฟฟ้า จะได้ว่า สนามไฟฟ้าเป็นปริมาณเวกเตอร์ และหน่วยของสนามไฟฟ้า คือ นิวตันต่อคูลอมบ์ (N/C) หากสนามไฟฟ้าเกิดจากประจุ Q ประจุนั้นจะเรียกว่า ประจุต้นกำเนิด (Source charge) เมื่อนำประจุทดสอบ q มาวาง โดยอยู่ห่างจากประจุขนาด Q เป็นระยะ r จะเกิดแรงระหว่างประจุมากระทำต่อประจุ q จากขนาดแรงระหว่างประจุ F=kQqr2 และจากนิยามสนามไฟฟ้า E=Fq E=kQqr2q จะได้ว่า ขนาดสนามไฟฟ้าเนื่องจากจุดประจุ (ประจุต้นกำเนิดขนาด Q) E=kQr2 สำหรับทิศสนามไฟฟ้าจะมีทิศพุ่งออกจากประจุบวกเข้าหาประจุลบ อย่างไรก็ตาม หากเป็นกรณีนำประจุทดสอบ q ไปทดสอบทิศสนามไฟฟ้า ณ ตำแหน่งหนึ่ง ทิศสนามไฟฟ้าจะขึ้นกับแรงไฟฟ้าที่มากระทำและชนิดของประจุทดสอบ

• ประจุทดสอบมีประจุ +q ทิศของสนามไฟฟ้าจะมีทิศเดียวกับทิศแรงไฟฟ้า
• ประจุทดสอบมีประจุ -q ทิศของสนามไฟฟ้าจะมีทิศตรงข้ามกับทิศแรงไฟฟ้า

นอกจากนี้ บริเวณที่พิจารณามีมากกว่าหนึ่งจุดประจุ หรือมี N ประจุ สนามไฟฟ้าที่ตำแหน่งใด ๆ จะเป็นผลรวมแบบเวกเตอร์ของสนามไฟฟ้าเนื่องจากแต่ละประจุ ดังนี้

ตัวอย่างโจทย์สนามไฟฟ้า 

จงหาขนาดสนามไฟฟ้าที่จุด (0, 0) เมตร วิธีทำ จาก E=kQr2 หาขนาดสนามไฟฟ้าเนื่องจากจุดประจุ Q1 ที่จุด (0, 0) เมตร จากโจทย์     Q1=1.6 10-6 C และ r1 =2 m E1=kQ1r12=9109 Nm2/C21.6 10-6 C2 m2=3.6103 N/C หาขนาดสนามไฟฟ้าเนื่องจากจุดประจุ Q2 ที่จุด (0, 0) เมตร จากโจทย์     Q2= 1.610-6 C และ r2 =2 m E2=kQ2r2P2=9109 Nm2/C21.6 10-6 C2 m2=3.6103 N/C หาขนาดสนามไฟฟ้าที่จุด (0, 0) เมตร  สนามไฟฟ้าจะมีทิศพุ่งออกจากประจุบวก ที่ตำแหน่ง (0, 0) จะมีทิศสนามไฟฟ้าเนื่องจากจุดประจุทั้งสอง ดังนี้ จากรูป จะได้ว่า E=E12+E22=3.6103 N/C2+3.6103 N/C2=3.62103 N/C ดังนั้น ขนาดสนามไฟฟ้าที่จุด P เท่ากับ 3.62103 นิวตันต่อคูลอมบ์ ข้อสังเกต : 

1. การแทนค่าประจุ Q ในสมการขนาดสนามไฟฟ้า E=kQr2 จะแทนเฉพาะขนาดของประจุ ไม่พิจารณาชนิดของประจุ โดยชนิดของประจุจะใช้พิจารณาทิศของสนามไฟฟ้า ณ ตำแหน่งที่พิจารณา
2. สนามไฟฟ้าของระบบ N ประจุ จะต้องรวมสนามไฟฟ้าเนื่องจากจุดประจุแต่ละตัวแบบเวกเตอร์ เหมือนกับการหาแรงลัพธ์

ศักย์ไฟฟ้าและความต่างศักย์

พลังงานศักย์ไฟฟ้า

พิจารณาการย้ายประจุไฟฟ้าในสนามไฟฟ้าจะส่งผลให้เกิดงานของแรงไฟฟ้าและแปรเปลี่ยนไปเป็นพลังงานศักย์ไฟฟ้า (Electric potential energy) ของระบบประจุ โดยคำนวณพลังงานศักย์ไฟฟ้า ได้จากสมการ   U=kQqr โดยที่ U คือ พลังงานศักย์ไฟฟ้า หน่วย จูล (J) k คือ ค่าคงตัวของคูลอมบ์ ซึ่งเท่ากับ 9109 Nm2/C2 Q และ q คือ ประจุไฟฟ้าของระบบ หน่วย คูลอมบ์ (C) r คือ ระยะห่างระหว่างจุดประจุ หน่วย เมตร (m)

ศักย์ไฟฟ้า

ศักย์ไฟฟ้า (Electric potential) คือ พลังงานศักย์ไฟฟ้าต่อหนึ่งหน่วยประจุ หรือปริมาณงานที่ใช้ในการนำประจุ +1 หน่วยจากระยะอนันต์มายังจุดที่พิจารณา ศักย์ไฟฟ้าเป็นปริมาณสเกลาร์ และคำนวณได้จากสมการ  V=Uq โดยที่ V คือ ศักย์ไฟฟ้า หน่วย โวลต์ (V) U คือ พลังงานศักย์ไฟฟ้า หน่วย จูล (J) q คือ ประจุทดสอบที่วาง ณ ตำแหน่งที่ต้องการหาศักย์ไฟฟ้า หน่วย คูลอมบ์ (C) จะได้ว่า พลังงานศักย์ไฟฟ้าหาได้จาก U=qV หากบริเวณนั้นมีจุดประจุ Q และต้องการคำนวณหาศักย์ไฟฟ้าที่ตำแหน่งใด ๆ รอบประจุ สามารถคำนวณได้จากสมการ V=kQr โดยที่ Q คือ ประจุไฟฟ้า หน่วย คูลอมบ์ r คือ ระยะห่างจากจุดประจุไปยังจุดที่พิจารณา หน่วย เมตร (m) ข้อสังเกต : 

1. ประจุไฟฟ้าที่แทนในสมการพลังงานศักย์ไฟฟ้าหรือศักย์ไฟฟ้า จะต้องแทนเครื่องหมายแสดงแทนชนิดประจุลงไปด้วย
2. ศักย์ไฟฟ้าที่ระยะอนันต์ถือว่ามีค่าเป็นศูนย์

สำหรับระบบที่มีประจุ N ประจุ ศักย์ไฟฟ้าที่ตำแหน่งใด ๆ ได้จาก V=V1+V2+V3+…+VN นอกจากนี้ เมื่อประจุเกิดการเคลื่อนที่ในสนามไฟฟ้าจะเกิดการเปลี่ยนแปลงพลังงานศักย์ไฟฟ้าและพลังงานจลน์ ในการแก้ปัญหาของโจทย์ศักย์ไฟฟ้าและความต่างศักย์จึงสามารถใช้กฎการอนุรักษ์พลังงานกล และทฤษฎีบทงาน-พลังงานได้

ตัวเก็บประจุ

ความจุไฟฟ้าและพลังงานสะสมในตัวเก็บประจุ

ตัวเก็บประจุ (Capacitor) เป็นอุปกรณ์ไฟฟ้าทำหน้าที่สะสมประจุและคายประจุไฟฟ้า โดยประสิทธิภาพในการกักเก็บประจุเรียกว่า ความจุไฟฟ้า (Capacitance) มีหน่วยเป็น ฟารัด (F)  ซึ่งคำนวณได้จาก C=QV โดยที่ C คือ ความจุของตัวเก็บประจุ หน่วย คูลอมบ์ (C) Q คือ ประจุที่สะสมในตัวเก็บประจุ หน่วย คูลอมบ์ (C) V คือ ความต่างศักย์ที่คร่อมตัวเก็บประจุ หน่วย โวลต์ (V) พลังงานสะสมในตัวเก็บประจุ (U) สามารถหาได้จากพื้นที่ใต้กราฟความสัมพันธ์ระหว่างประจุที่สะสม (Q) กับความต่างศักย์ไฟฟ้า (V) หรือคำนวณได้จากสมการ U=12QV=12Q2C=12QV2

การต่อตัวเก็บประจุ

สำหรับการต่อตัวเก็บประจุเข้ากับแหล่งกำเนิดไฟฟ้ากระแสตรงสามารถแบ่งออกได้เป็น 2 ประเภท ได้แก่ การต่อแบบอนุกรม และการต่อแบบขนาน  ตัวเก็บประจุที่นำมาต่อกันและต่อเข้ากับแหล่งกำเนิดไฟฟ้ากระแสตรง เมื่อเวลาผ่านไปสักพักหนึ่ง ประจุไฟฟ้าที่สะสม ความต่างศักย์คร่อมตัวเก็บประจุ และการคำนวณหาความจุสมมูลของวงจรจะมีความสัมพันธ์กันดังตาราง

ปริมาณทางไฟฟ้า	การต่อแบบอนุกรม	การต่อแบบขนาน
ประจุไฟฟ้ารวม (Qรวม)	มีค่าเท่ากันในทุกตัวเก็บประจุ Qรวม=Q1=Q2=Q3=….	เป็นผลรวมของประจุในแต่ละตัว Qรวม=Q1+Q2+Q3=….
ความต่างศักย์รวม (Vรวม)	เป็นผลรวมของความต่างศักย์คร่อมแต่ละตัว  Vรวม=V1+V2+V3+…	มีค่าเท่ากันคร่อมตัวเก็บประจุทุกตัว Vรวม=V1=V2=V3=..
ความจุสมมูล (C)	1C=1C1+1C2+1C3+…	Cรวม=C1=C2=C3=….

สำหรับหัวข้อศักย์ไฟฟ้าและความต่างศักย์ และตัวเก็บประจุ มักออกข้อสอบ A-Level ฟิสิกส์ อยู่บ่อยครั้ง ตัวอย่างแนวข้อสอบสามารถศึกษาได้จากหัวข้อถัดไป

ตัวอย่างข้อสอบ A-Level ฟิสิกส์ เรื่อง ไฟฟ้าสถิต

ตัวอย่างที่ 1 ประจุ q, q, Q วางอยู่ตามตำแหน่ง ดังรูป หากต้องการนำประจุ q อีกตัวหนึ่งจากระยะอนันต์ มาวางที่ตำแหน่ง A จะต้องทำงานอย่างน้อยเท่าใด วิธีทำ จากศักย์ไฟฟ้าของระบบ N ประจุ  หาศักย์ไฟฟ้าที่ตำแหน่ง A ก่อนเลื่อนประจุ q จากระยะอนันต์ เนื่องจากศักย์ไฟฟ้าที่ระยะอนันต์ถือว่ามีค่าเป็นศูนย์ หางานอย่างน้อยในการนำประจุ q จากระยะอนันต์มาวางที่ตำแหน่ง A จากทฤษฎีบทงาน-พลังงาน ดังนั้น งานอย่างน้อยในการนำประจุ q จากระยะอนันต์มาวางที่ตำแหน่ง A เท่ากับ  ตัวอย่างที่ 2 เมื่อเพิ่มความต่างศักย์ให้กับแผ่นโลหะคู่ขนานในตัวเก็บประจุ (V) ทำให้เกิดประจุสะสม (Q) ในตัวเก็บประจุ ดังกราฟ  ถ้าขณะนั้นแผ่นโลหะคู่ขนานมีความต่างศักย์ 5 โวลต์ พลังงานที่สะสมในตัวเก็บประจุมีค่ากี่ไมโครจูล วิธีคิด พลังงานที่สะสมในตัวเก็บประจุหาจากพื้นที่ใต้กราฟระหว่างความต่างศักย์และประจุที่สะสม  ดังนั้น ถ้าแผ่นโลหะคู่ขนานมีความต่างศักย์ 5 โวลต์ พลังงานที่สะสมในตัวเก็บประจุมีค่า 312.5 ไมโครจูล

เรียนเรื่องไฟฟ้าสถิต ม.5 กับ OnDemand

สำหรับน้อง ๆ ม.5 ที่ต้องการปูพื้นฐานเรื่องไฟฟ้าสถิต หรือเตรียมตัวสอบเรื่องนี้อย่างมีประสิทธิภาพ การเรียนกับ OnDemand ในคอร์สฟิสิกส์ ม.ปลาย : ไฟฟ้าสถิต เป็นอีกหนึ่งทางเลือกที่ช่วยให้เข้าใจเนื้อหาได้ง่ายขึ้น ด้วยเทคนิคการสอนที่เน้นการคิดวิเคราะห์ สรุปเนื้อหาแบบกระชับด้วยเทคนิค Supermap และ X-map พร้อมตะลุยโจทย์หลากหลายแนว นอกจากนี้ สำหรับน้อง ๆ ที่ต้องการเตรียมตัวสอบเข้ามหาวิทยาลัย ทาง OnDemand มีคอร์ส V-Series Physics TCAS เล่ม 5 : กลุ่มไฟฟ้า ให้เลือกด้วยเช่นกัน ซึ่งน้อง ๆ จะได้เรียนเน้นเนื้อหาออกข้อสอบ A-Level ฟิสิกส์ บ่อย และตะลุยโจทย์สอบเข้ามหาวิทยาลัยเรื่องไฟฟ้าสถิตแบบเข้มข้นในคอร์สนี้ เพื่อเตรียมพร้อมสอบแข่งขันได้อย่างมั่นใจมากขึ้น สอบถามรายละเอียดคอร์สเรียนเพิ่มเติม

• Add Line : Ondemand Education
• โทรศัพท์ : 02-251-9456 (08.00-20.00)

อ้างอิง

• สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี. (2563). หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี ฟิสิกส์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5 เล่ม 4. พิมพ์ครั้งที่ 1. สกสค. ลาดพร้าว. 
• Serway, R. A., Jewett, Jr., J. W. (2014). Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics. (9𝗍𝗁 ed). BROOKS/COLE CENGAGE Learning.