สมัครเรียน
Logo
สมัครคอร์ส

สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ม.ต้น อธิบายครบ และแนวโจทย์ข้อสอบพร้อมเฉลยละเอียด

system linear equations m1 3 cover - สถาบันกวดวิชา OnDemand

Key Takeaways:

ระบบสมการ ม.ต้น เป็นพื้นฐานทางพีชคณิตที่สำคัญในการหาค่าของตัวแปรที่ไม่ทราบค่าตั้งแต่ 2 ตัวแปรขึ้นไป ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร อยู่ในรูปมาตรฐาน ax + by = e และ cx + dy = f โดยที่ a, b, c, d, e, f เป็นค่าคงตัว วิธีการแก้ระบบสมการ มี 2 วิธีหลัก คือ วิธีกำจัดตัวแปร (Elimination) และ วิธีแทนค่าตัวแปร (Substitution) ลักษณะคำตอบของระบบสมการสามารถมีได้ 3 แบบ: มีคำตอบเดียว (เส้นตรงตัดกัน), ไม่มีคำตอบ (เส้นตรงขนานกัน), และมีคำตอบนับไม่ถ้วน (เส้นตรงทับกัน) การทำ โจทย์ระบบสมการ ม.3 พร้อมเฉลย ช่วยเสริมทักษะการแปลโจทย์ปัญหาเป็นสมการและการตรวจคำตอบเพื่อป้องกันความผิดพลาด

Table of Contents

เรื่อง ระบบสมการ ม.ต้น เป็นหนึ่งในบทเรียนหลักของวิชาคณิตศาสตร์ พีชคณิต ระดับชั้นมัธยมศึกษาตอนต้น (โดยเฉพาะ ม.3) ซึ่งเป็นหัวข้อสำคัญที่ถูกนำไปใช้สอบเก็บคะแนน สอบกลางภาค สอบปลายภาค รวมถึงการสอบเข้า ม.4 โรงเรียนแข่งขันสูง เช่น กำเนิดวิทย์, มหิดลวิทยานุสรณ์, และเตรียมอุดมศึกษา หัวใจสำคัญของเรื่องนี้คือการเปลี่ยนจาก “สมการตัวแปรเดียว” ไปสู่การประยุกต์ใช้ความสัมพันธ์ของสองตัวแปรเพื่อแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์และชีวิตประจำวัน

สมัครเรียนคอร์สคณิตศาสตร์ ม.ต้น : ระบบสมการ อสมการและกราฟ กับ OnDemand

ทำความเข้าใจ ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร รูปแบบและลักษณะคำตอบ

ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร คือ ชุดของสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสองตัวแปรอยู่ร่วมกัน โดยต้องใช้สมการอย่างน้อยสองสมการจึงจะสามารถหาคำตอบที่สอดคล้องกับทั้งสองสมการได้พร้อมกัน

รูปแบบทั่วไปและรูปแบบมาตรฐาน

รูปแบบทั่วไปของ ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร สามารถเขียนได้ดังนี้:

a_1x + b_1y = c_1 —— (สมการที่ 1)

a_2x + b_2y = c_2 —— (สมการที่ 2)

โดยที่ x และ y เป็นตัวแปร ส่วน a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2 เป็นค่าคงตัว โดยที่ a_1, b_1 ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน และ a_2, b_2 ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน

ลักษณะของคำตอบจากระบบสมการ

เมื่อเรานำสมการทั้งสองไปเขียนกราฟเส้นตรงบนระนาบพิกัดฉาก คำตอบของระบบสมการจะตรงกับจุดตัดของกราฟ ซึ่งแบ่งออกเป็น 3 กรณีดังตารางต่อไปนี้:

ลักษณะของกราฟ

จำนวนคำตอบ

ความสัมพันธ์ของสัมประสิทธิ์

เส้นตรงตัดกัน 1 จุด

มี 1 คำตอบ (x, y)

\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}

เส้นตรงขนานกัน

ไม่มีคำตอบ

\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}

เส้นตรงทับกันพอดี

มีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน

\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}

ขั้นตอนและวิธีการ แก้ระบบสมการ อย่างรายละเอียด

การทำข้อสอบเกี่ยวกับ ระบบสมการ ม.ต้น เรานิยมใช้การคำนวณทางพีชคณิตมากกว่าการวาดกราฟ เนื่องจากมีความรวดเร็วและแม่นยำสูงกว่า โดยมี 2 วิธีหลักที่น้องๆ ต้องฝึกให้ชำนาญ ดังนี้

วิธีกำจัดตัวแปร (Elimination Method)

วิธีนี้เป็นวิธีที่นิยมใช้มากที่สุดเมื่อต้องการ แก้ระบบสมการ โดยเฉพาะโจทย์ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นตัวเลขลงตัว

  1. จัดสมการทั้งสองให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน ax + by = c
  2. เลือกตัวแปรที่ต้องการกำจัด (x หรือ y) แล้วทำให้สัมประสิทธิ์หน้าตัวแปรนั้นมีขนาดเท่ากัน โดยการคูณสมการด้วยค่าคงตัวที่เหมาะสม
  3. นำสมการทั้งสองมา บวกกัน (กรณีเครื่องหมายหน้าสัมประสิทธิ์ต่างกัน) หรือ ลบกัน (กรณีเครื่องหมายหน้าสัมประสิทธิ์เหมือนกัน) เพื่อกำจัดตัวแปรนั้นออกไป
  4. แก้สมการตัวแปรเดียวที่เหลือเพื่อหาค่าตัวแปรแรก
  5. นำค่าตัวแปรที่ได้ไปแทนค่าในสมการใดสมการหนึ่งเพื่อหาค่าของอีกตัวแปร

วิธีแทนค่าตัวแปร (Substitution Method)

วิธีนี้เหมาะอย่างยิ่งเมื่อมีสมการหนึ่งที่จัดรูปตัวแปรหนึ่งในรูปของอีกตัวแปรไว้แล้ว หรือสัมประสิทธิ์หน้าตัวแปรใดตัวแปรหนึ่งเป็น 1 หรือ -1

  1. จัดรูปสมการใดสมการหนึ่งให้ตัวแปรหนึ่งอยู่อย่างโดดเดี่ยว เช่น y = mx + n หรือ x = py + q
  2. นำนิพจน์ที่ได้ไปแทนค่าในอีกสมการหนึ่ง (ห้ามแทนกลับในสมการเดิม)
  3. แก้สมการตัวแปรเดียวที่ได้เพื่อหาค่าตัวแปรแรก
  4. นำค่าตัวแปรที่ได้กลับไปแทนค่าเพื่อหาค่าอีกตัวแปร

💡 เคล็ดลับการเลือกวิธี: หากเห็นตัวแปรที่มีสัมประสิทธิ์เป็น 1 เช่น x + 3y = 7 ให้ใช้วิธีแทนค่าโดยจัด x = 7 – 3y จะทำได้รวดเร็วมาก แต่ถ้าสัมประสิทธิ์เป็นตัวเลขหลายตัว เช่น 3x + 4y = 18 และ 5x – 2y = 4 การใช้วิธีกำจัดตัวแปรจะช่วยลดการติดเศษส่วนได้ดีกว่า!

ตะลุย โจทย์ระบบสมการ ม.3 พร้อมเฉลย แสดงวิธีทำทุกขั้นตอน

เพื่อสร้างความมั่นใจในการทำข้อสอบ เรามาร่วมตะลุยแนว โจทย์ระบบสมการ ม.3 พร้อมเฉลย ที่พบบ่อยทั้งโจทย์คำนวณและโจทย์ปัญหากันครับ

ตัวอย่างที่ 1: การแก้ระบบสมการด้วยวิธีกำจัดตัวแปร

โจทย์: จงหาคำตอบของระบบสมการต่อไปนี้

2x + 3y = 13 —— (1)

5x – 2y = 4 —— (2)

วิธีทำ:

  1. ต้องการกำจัดตัวแปร y โดยทำให้สัมประสิทธิ์หน้า y เป็น 6 และ -6
    นำสมการ (1) คูณด้วย 2:
    2 \times (2x + 3y) = 2 \times 13 \implies 4x + 6y = 26 —— (3)
    นำสมการ (2) คูณด้วย 3:
    3 \times (5x – 2y) = 3 \times 4 \implies 15x – 6y = 12 —— (4)
  2. นำสมการ (3) บวกกับ สมการ (4) เพื่อกำจัด y:
    (4x + 6y) + (15x – 6y) = 26 + 12
    19x = 38 \implies x = \frac{38}{19} = 2
  3. นำค่า x = 2 ไปแทนในสมการ (1):
    2(2) + 3y = 13
    4 + 3y = 13 \implies 3y = 13 – 4 = 9 \implies y = 3

คำตอบ: คำตอบของระบบสมการคือ (x, y) = (2, 3)

ตัวอย่างที่ 2: การแก้ระบบสมการด้วยวิธีแทนค่า

โจทย์: จงหาคำตอบของระบบสมการต่อไปนี้

x – 2y = 1 —— (1)

3x + 4y = 23 —— (2)

วิธีทำ:

  1. จากสมการ (1) จัดรูป x ในเทอมของ y:
    x = 1 + 2y —— (3)
  2. นำ x = 1 + 2y ไปแทนค่าในสมการ (2):
    3(1 + 2y) + 4y = 23
    3 + 6y + 4y = 23
    3 + 10y = 23 \implies 10y = 20 \implies y = 2
  3. นำค่า y = 2 ไปแทนในสมการ (3) เพื่อหาค่า x:
    x = 1 + 2(2) = 1 + 4 = 5

คำตอบ: คำตอบของระบบสมการคือ (x, y) = (5, 2)

ตัวอย่างที่ 3: โจทย์ปัญหาจำนวนและราคา

โจทย์: สมชายซื้อปากกาและดินสอรวมกัน 20 แท่ง เป็นเงินทั้งหมด 110 บาท ถ้าปากการาคาแท่งละ 7 บาท และดินสอราคาแท่งละ 4 บาท สมชายซื้อปากกาและดินสออย่างละกี่แท่ง?

วิธีทำ:

  1. กำหนดตัวแปร:
    ให้ x แทน จำนวนปากกา (แท่ง)
    ให้ y แทน จำนวนดินสอ (แท่ง)
  2. สร้างระบบสมการจากเงื่อนไขโจทย์:
    เงื่อนไขจำนวนรวม: x + y = 20 —— (1)
    เงื่อนไขราคารวม: 7x + 4y = 110 —— (2)
  3. แก้ระบบสมการ โดยนำสมการ (1) คูณด้วย 4:
    4x + 4y = 80 —— (3)
  4. นำสมการ (2) ลบด้วย สมการ (3):
    (7x + 4y) – (4x + 4y) = 110 – 80
    3x = 30 \implies x = 10
  5. นำค่า x = 10 แทนในสมการ (1):
    10 + y = 20 \implies y = 10

คำตอบ: สมชายซื้อปากกา 10 แท่ง และซื้อดินสอ 10 แท่ง

ตัวอย่างที่ 4: โจทย์ปัญหาเรขาคณิตและเส้นรอบรูป

โจทย์: รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปหนึ่งมีเส้นรอบรูปยาว 56 เซนติเมตร ถ้าความยาวของรูปสี่เหลี่ยมนี้ยาวกว่าสองเท่าของความกว้างอยู่ 4 เซนติเมตร จงหาความกว้างและความยาวของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้านี้

วิธีทำ:

  1. กำหนดตัวแปร:
    ให้ x แทน ความยาวของสี่เหลี่ยมผืนผ้า (ซม.)
    ให้ y แทน ความกว้างของสี่เหลี่ยมผืนผ้า (ซม.)
  2. สร้างระบบสมการ:
    สูตรเส้นรอบรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าคือ 2x + 2y = 56 \implies x + y = 28 —— (1)
    เงื่อนไขความยาวกับความกว้าง: x = 2y + 4 —— (2)
  3. ใช้วิธีแทนค่า โดยนำสมการ (2) แทนลงในสมการ (1):
    (2y + 4) + y = 28
    3y + 4 = 28 \implies 3y = 24 \implies y = 8
  4. นำค่า y = 8 ไปแทนในสมการ (2):
    x = 2(8) + 4 = 16 + 4 = 20

คำตอบ: ความกว้างเท่ากับ 8 เซนติเมตร และความยาวเท่ากับ 20 เซนติเมตร

เทคนิคและข้อควรระวังในการทำข้อสอบเรื่อง ระบบสมการ ม.ต้น

การเรียนเนื้อหา ระบบสมการ ม.ต้น ให้ได้คะแนนเต็มในห้องสอบนั้น นอกจากวิธีกระบวนการคิดแล้ว ต้องระมัดระวังข้อผิดพลาดทางคณิตศาสตร์ที่พบบ่อยดังนี้:

  • ระวังเครื่องหมายลบหน้าวงเล็บ: เมื่อนำสมการมาลบกัน เช่น (3x + 2y) – (x – 5y) อย่าลืมกระจายเครื่องหมายลบเข้าไปในวงเล็บ จะได้ 3x + 2y – x + 5y = 2x + 7y ซึ่งเป็นจุดที่นักเรียนทำผิดบ่อยที่สุด
  • การกระจายคูณสมการทั้งสองข้าง: เวลาคูณตัวเลขเพื่อปรับสัมประสิทธิ์ ต้องคูณทุกพจน์รวมถึงฝั่งขวาของเครื่องหมายเท่ากับด้วย เช่น นำ 3 คูณ 2x + y = 5 จะต้องได้ 6x + 3y = 15 ไม่ใช่ 6x + 3y = 5
  • การตรวจคำตอบ (Check Answer): เมื่อคำนวณได้ค่า x และ y แล้ว ควรนำค่าไปแทนใน ทั้งสองสมการเดิม เพื่อให้แน่ใจว่าได้สมการที่เป็นจริงทั้งคู่
  • การแปลโจทย์ปัญหาเป็นสมการ: สังเกตคำสำคัญ เช่น “มากกว่า/น้อยกว่า” หรือ “เป็นกี่เท่า” เพื่อตั้งสมการให้ถูกต้องก่อนเริ่ม แก้ระบบสมการ

สอบถามรายละเอียดคอร์สเรียนเพิ่มเติม

คำถามที่พบบ่อย (FAQs)

Q: จะรู้ได้อย่างไรว่าควรใช้ วิธีกำจัดตัวแปร หรือ วิธีแทนค่าตัวแปร ดีกว่ากัน?

A: หากมีตัวแปรที่มีสัมประสิทธิ์เป็น 1 หรือ -1 การใช้วิธีแทนค่าจะง่ายและเร็วกว่า แต่ถ้าสัมประสิทธิ์หน้าตัวแปรทุกตัวมีค่ามากกว่า 1 การใช้วิธีกำจัดตัวแปรจะช่วยป้องกันการติดเศษส่วนได้ดีกว่าครับ

A: ถ้าคำนวณแล้วได้ประโยคที่เป็นจริงเสมอ เช่น 0 = 0 แสดงว่าระบบสมการนั้นมี คำตอบมากมายนับไม่ถ้วน (กราฟทับกัน) แต่ถ้าได้ประโยคที่เป็นเท็จ เช่น 0 = 5 แสดงว่าระบบสมการนั้น ไม่มีคำตอบ (กราฟขนานกัน)

A: ออกสอบบ่อยมากในทุกสนามสอบครับ โดยมักจะมาในรูปแบบของโจทย์ปัญหาประยุกต์ เช่น โจทย์อัตราเร็ว การเดินทาง โจทย์งาน เวลา โจทย์ผสมสารละลาย และโจทย์อายุ การฝึกทำ โจทย์ระบบสมการ ม.3 พร้อมเฉลย หลากหลายรูปแบบจึงจำเป็นอย่างมาก

A: สมการเชิงเส้นสองตัวแปรสมการเดียวจะมีคำตอบได้มากมายนับไม่ถ้วนที่อยู่บนเส้นตรงนั้น แต่ “ระบบสมการ” คือการนำสมการเชิงเส้นตั้งแต่สองสมการขึ้นไปมาพิจารณาพร้อมกัน เพื่อหาชุดคำตอบ (x, y) เดียวที่สอดคล้องกับทุกสมการในระบบนั้น

20260706-194512
20260706-200834