Table of Contents
เรื่อง ความคล้าย ม.ต้น ถือเป็นหนึ่งในหัวข้อสำคัญของวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐานระดับมัธยมศึกษาตอนต้น (โดยเฉพาะ ม.3) ซึ่งเป็นหัวข้อสำคัญที่ถูกนำไปใช้สอบเก็บคะแนน สอบกลางภาค สอบปลายภาค รวมถึงการสอบเข้า ม.4 โรงเรียนแข่งขันสูง เช่น กำเนิดวิทย์, มหิดลวิทยานุสรณ์, และเตรียมอุดมศึกษา หัวใจสำคัญของเรื่องนี้คือการที่รูปเรขาคณิตสองรูปมี “รูปร่างเหมือนกัน” แต่ไม่จำเป็นต้องมี “ขนาดเท่ากัน”
สมัครเรียนคอร์สคณิตศาสตร์ ม.ต้น : เรขาคณิตเบื้องต้นและทฤษฎีบทสามเหลี่ยม กับ OnDemand
นิยามและพื้นฐานเรื่อง ความคล้าย ม.ต้น
เรื่อง ความคล้าย ม.ต้น ถือเป็นหนึ่งในหัวข้อสำคัญของวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐานระดับมัธยมศึกษาตอนต้น ซึ่งเป็นพื้นฐานสำคัญในการเรียนเรขาคณิตขั้นสูง คำว่า “ความคล้าย” (Similarity) ในทางคณิตศาสตร์หมายถึง การที่รูปเรขาคณิตสองรูปมี “รูปร่างเหมือนกัน” แต่ไม่จำเป็นต้องมี “ขนาดเท่ากัน”
สำหรับรูปหลายเหลี่ยมสองรูปใดๆ จะคล้ายกัน ก็ต่อเมื่อมีสมบัติตามเงื่อนไข 2 ข้อต่อไปนี้พร้อมกัน:
- ขนาดของมุมคู่ที่สมนัยกันเท่ากันเป็นคู่ๆ ทุกคู่
- อัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกันเท่ากันทุกอัตราส่วน
ทฤษฎีบทและ สมบัติของรูปสามเหลี่ยมคล้าย
ความพิเศษของ รูปสามเหลี่ยมคล้าย คือ เราไม่จำเป็นต้องตรวจสอบทั้งมุมและอัตราส่วนด้านทั้งหมดเหมือนรูปหลายเหลี่ยมทั่วไป เพียงแค่ตรวจสอบ สมบัติของรูปสามเหลี่ยมคล้าย ตามทฤษฎีบทข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้ก็เพียงพอแล้ว:
เงื่อนไขการเป็นสามเหลี่ยมคล้าย
- มุม-มุม (ม.ม. หรือ ม.ม.ม.): ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีมุมที่มีขนาดเท่ากันเป็นคู่ๆ 2 คู่ (หรือ 3 คู่) แล้ว รูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นจะคล้ายกัน
- ด้าน-ด้าน-ด้าน (ด.ด.ด.): ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีอัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกันเท่ากันทั้ง 3 คู่ แล้ว รูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นจะคล้ายกัน
- ด้าน-มุม-ด้าน (ด.ม.ด.): ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีอัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกันเท่ากัน 2 คู่ และมุมในระหว่างด้านคู่ที่มีอัตราส่วนเท่ากันนั้นมีขนาดเท่ากัน แล้ว รูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นจะคล้ายกัน
ตารางสรุปเกณฑ์การตรวจสอบ รูปสามเหลี่ยมคล้าย มีดังนี้:
เกณฑ์การพิจารณา | เงื่อนไขสำคัญ | สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ |
มุม-มุม (ม.ม.) | มุมเท่ากัน 2 คู่ | \hat{A} = \hat{D} และ \hat{B} = \hat{E} |
ด้าน-ด้าน-ด้าน (ด.ด.ด.) | อัตราส่วนด้านเท่ากัน 3 คู่ | \frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF} |
ด้าน-มุม-ด้าน (ด.ม.ด.) | อัตราส่วนด้านเท่ากัน 2 คู่ และมุมระหว่างด้านเท่ากัน | \frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF} และ \hat{A} = \hat{D} |
สูตรความคล้าย และอัตราส่วนความยาวด้านกับพื้นที่
เมื่อกำหนดให้ \triangle ABC \sim \triangle DEF (รูปสามเหลี่ยม ABC คล้ายกับรูปสามเหลี่ยม DEF) เราสามารถสรุป สูตรความคล้าย ที่สำคัญสำหรับการแก้โจทย์ปัญหาได้ดังนี้:
1) อัตราส่วนความยาวด้านที่สมนัยกัน
หากสามเหลี่ยมสองรูปคล้ายกัน อัตราส่วนความยาวด้านคู่ที่สมนัยกันจะมีค่าคงตัวเท่ากับ k:
\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{CA}{FD} = k2) อัตราส่วนความยาวเส้นรอบรูป
อัตราส่วนของความยาวเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมคล้ายทั้งสองรูป จะเท่ากับอัตราส่วนความยาวด้านคู่ที่สมนัยกัน:
\frac{\text{ความยาวเส้นรอบรูปของ } \triangle ABC}{\text{ความยาวเส้นรอบรูปของ } \triangle DEF} = k3) อัตราส่วนพื้นที่ของสามเหลี่ยมคล้าย
ความสัมพันธ์ระหว่างพื้นที่ของสามเหลี่ยมคล้ายสองรูป จะเท่ากับกำลังสองของอัตราส่วนความยาวด้านที่สมนัยกัน:
\frac{\text{พื้นที่ของ } \triangle ABC}{\text{พื้นที่ของ } \triangle DEF} = k^2 = \left(\frac{AB}{DE}\right)^2แนว โจทย์ความคล้าย ม.ต้น พร้อมเฉลย ละเอียด
เพื่อให้เข้าใจการประยุกต์ใช้บทเรียน ความคล้าย ม.ต้น อย่างชัดเจน มาดูแนวข้อสอบและ โจทย์ความคล้าย ม.ต้น พร้อมเฉลย ทีละขั้นตอนดังนี้:
โจทย์ข้อที่ 1: การหาความยาวด้านที่สมนัยกัน
โจทย์: กำหนดให้ \triangle ABC \sim \triangle PQR โดยมีด้าน AB = 8 เซนติเมตร, BC = 12 เซนติเมตร, AC = 10 เซนติเมตร และด้าน PQ = 12 เซนติเมตร จงหาความยาวของด้าน QR และ PR
เฉลยอย่างละเอียด:
เนื่องจาก \triangle ABC \sim \triangle PQR จะได้อัตราส่วนของด้านที่สมนัยกันเท่ากัน ดังนี้:
\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{AC}{PR}แทนค่าความยาวด้านที่ทราบลงในสูตร:
\frac{8}{12} = \frac{12}{QR} = \frac{10}{PR}1. หาความยาวด้าน QR:
\frac{8}{12} = \frac{12}{QR} \implies QR = \frac{12 \times 12}{8} = 18 \text{ เซนติเมตร}2. หาความยาวด้าน PR:
\frac{8}{12} = \frac{10}{PR} \implies PR = \frac{10 \times 12}{8} = 15 \text{ เซนติเมตร}คำตอบ: ด้าน QR = 18 เซนติเมตร และด้าน PR = 15 เซนติเมตร
โจทย์ข้อที่ 2: การประยุกต์ใช้ความคล้าย ในการหาความสูง
โจทย์: ชายคนหนึ่งสูง 1.8 เมตร ยืนอยู่ห่างจากเสาไฟเป็นระยะทางหนึ่ง ในเวลาเดียวกันเขาสังเกตเห็นเงาของตัวเองยาว 2.4 เมตร และเงาของเสาไฟยาว 8 เมตร จงหาความสูงของเสาไฟ
เฉลยอย่างละเอียด:
จากการตกลงของแสงอาทิตย์ในเวลาเดียวกัน มุมที่แสงตกกระทบพื้นดินจะมีขนาดเท่ากัน ทำให้เกิด รูปสามเหลี่ยมคล้าย ระหว่างสามเหลี่ยมเงาของคนและสามเหลี่ยมเงาของเสาไฟ
ให้ h แทนความสูงของเสาไฟ
ตั้งอัตราส่วนความสูงต่อความยาวเงา:
\frac{\text{ความสูงเสาไฟ}}{\text{ความสูงคน}} = \frac{\text{ความยาวเงาเสาไฟ}}{\text{ความยาวเงาคน}}\frac{h}{1.8} = \frac{8}{2.4}คำนวณหาค่า h:
h = \frac{8 \times 1.8}{2.4} = \frac{14.4}{2.4} = 6 \text{ เมตร}คำตอบ: เสาไฟมีความสูง 6 เมตร
โจทย์ข้อที่ 3: การคำนวณหาอัตราส่วนพื้นที่
โจทย์: กำหนดให้ \triangle A_1 และ \triangle A_2 เป็นรูปสามเหลี่ยมคล้ายกัน โดยอัตราส่วนความยาวด้านที่สมนัยกันเท่ากับ 3 : 5 หาก \triangle A_1 มีพื้นที่ 36 ตารางเซนติเมตร จงหาพื้นที่ของ \triangle A_2
เฉลยอย่างละเอียด:
จาก สูตรความคล้าย เรื่องอัตราส่วนพื้นที่ของสามเหลี่ยมคล้าย:
\frac{\text{พื้นที่ของ } \triangle A_1}{\text{พื้นที่ของ } \triangle A_2} = \left(\frac{\text{ความยาวด้าน}_1}{\text{ความยาวด้าน}_2}\right)^2แทนค่าในสมการ:
\frac{36}{\text{พื้นที่ของ } \triangle A_2} = \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}แก้สมการเพื่อหาพื้นที่ของ \triangle A_2:
\text{พื้นที่ของ } \triangle A_2 = \frac{36 \times 25}{9} = 4 \times 25 = 100 \text{ ตารางเซนติเมตร}คำตอบ: พื้นที่ของ \triangle A_2 เท่ากับ 100 ตารางเซนติเมตร
สรุปเรื่อง ความคล้าย ม.ต้น
บทเรียนเรื่อง ความคล้าย ม.ต้น เป็นบทเรียนคณิตศาสตร์ที่เน้นความเข้าใจในทฤษฎีบทและการเชื่อมโยงอัตราส่วน การจดจำ สมบัติของรูปสามเหลี่ยมคล้าย และการฝึกทำ โจทย์ความคล้าย ม.ต้น พร้อมเฉลย จะช่วยให้นักเรียนสามารถวิเคราะห์รูปภาพ เติมตัวเลขในอัตราส่วน และแก้โจทย์ปัญหาได้อย่างแม่นยำและรวดเร็ว นอกจากนี้ยังนำไปประยุกต์ใช้ในชีวิตจริงและเป็นพื้นฐานสำคัญสำหรับการเรียนเรื่องตรีโกณมิติในระดับชั้น ม.ปลาย ต่อไป
สอบถามรายละเอียดคอร์สเรียนเพิ่มเติม
- Add Line : Ondemand Education
- โทรศัพท์ : 02-251-9456 (08.00-20.00)
คำถามที่พบบ่อย (FAQs)
Q: รูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการเป็นรูปสามเหลี่ยมคล้ายหรือไม่?
A: เป็น รูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการทุกรูปถือเป็น รูปสามเหลี่ยมคล้าย เสมอ โดยมีอัตราส่วนความยาวด้านคู่ที่สมนัยกันเท่ากับ 1 : 1 แต่ในทางกลับกัน รูปสามเหลี่ยมคล้ายไม่จำเป็นต้องเท่ากันทุกประการ
Q: จะรู้ได้อย่างไรว่ารูปสามเหลี่ยมสองรูปคล้ายกันเมื่อโจทย์ไม่บอกตรงๆ?
A: ให้สังเกตจากมุมก่อนเป็นอันดับแรก หากพบว่ามีมุมเท่ากัน 2 คู่ (เช่น มีมุมฉากเหมือนกัน หรือมีมุมร่วมและมุมตรงข้ามเท่ากัน) ก็สรุปได้ทันทีว่าคล้ายกันตามเกณฑ์ มุม-มุม (ม.ม.)
Q: อัตราส่วนพื้นที่ต่างจากอัตราส่วนความยาวด้านอย่างไร?
A: อัตราส่วนความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมคล้ายจะเป็นอัตราส่วนเชิงเส้น k แต่สูตรอัตราส่วนพื้นที่ต้องนำอัตราส่วนความยาวด้านไปยกกำลังสองก่อน นั่นคือ k^2
