สรุปเนื้อหา คณิต เซต ม.4 เนื้อหาครบ แจกฟรีโจทย์พร้อมวิธีทำ

เซต

เมื่อขึ้น ม.ปลาย มา บทแรกในวิชาคณิตศาสตร์ที่น้อง ๆ ส่วนใหญ่จะได้เรียนคือบทเซตนั่นเองครับ สำหรับเนื้อหาในบทเซตนั้นมีความสำคัญกับการเรียนคณิตศาสตร์ในระดับ ม.ปลาย มาก เพราะเป็นเรื่องพื้นฐานที่เราจะใช้ได้หลาย ๆ บทของคณิตศาสตร์ ม.ปลาย เลยครับ เช่น ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน จำนวนจริง แคลคูลัส ลำดับและอนุกรม หรือแม้กระทั่งความน่าจะเป็นก็สามารถมีเรื่องเซตไปปนอยู่ได้ด้วยครับ ถ้าพื้นฐานเรื่องเซตเราดี บทอื่น ๆ ก็จะดีตามไปด้วยครับ

วันนี้พี่ก็ได้เตรียมสรุปเนื้อหาเรื่องเซตแบบเน้น ๆ มาให้น้อง ๆ ได้อ่านกันครับ โดยเนื้อหาก็จะประกอบด้วยพื้นฐานเรื่องเซตทั้งหมด สับเซต เพาเวอร์เซต แผนภาพเวนน์และออยเลอร์ การดำเนินการของเซต พร้อมกับตัวอย่างโจทย์ให้น้อง ๆ ได้ฝึกทำกันด้วยครับ ถ้าพร้อมแล้วไปดูเนื้อหากันเลยครับบ

✨ความรู้พื้นฐานของ เซต

การเขียนเซต

เราจะสามารถเขียนได้ 2 แบบ ดังนี้ครับ

  1. แบบแจกแจงสมาชิก

ทำได้โดยการเขียนสมาชิกทุกตัวลงใน \{ \, \} และใช้เครื่องหมาย \, , คั่นระหว่างสมาชิกแต่ละตัว

เช่น ให้ A แทนเซตของจำนวนเต็มที่มีค่ามากกว่า 7 แต่ไม่เกิน 10 เราจะสามารถเขียนเซต A แบบแจกแจงสมาชิกได้ว่า A = \{8, 9, 10\} นั่นเองครับ

ต่อไป เราจะไปดูการเขียนเซตแบบบอกเงื่อนไขกันครับ แต่ก่อนที่จะไปที่เนื้อหา น้อง ๆ ต้องรู้จักสัญลักษณ์เหล่านี้ก่อน

\mathbb{R} แทนเซตของจำนวนจริง

\mathbb{I}, \mathbb{Z} แทนเซตของจำนวนเต็ม

\mathbb{N} แทนเซตของจำนวนนับ

\in แทนคำว่า เป็นสมาชิกของ

\notin แทนคำว่า ไม่เป็นสมาชิกของ

n(A) แทนจำนวนสมาชิกของเซต A

2. แบบบอกเงื่อนไข

เราจะใช้ตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์เล็ก x แทนสมาชิกของเซต แล้วบรรยายสมบัติของสมาชิกหลังเครื่องหมาย \mid (อ่านว่า โดยที่ ซึ่ง) และต้องมีการกำหนดสิ่งที่เราสนใจซึ่งเรียกว่า เอกภพสัมพัทธ์ (U) ด้วยครัล

เช่น ให้ A แทนเซตของจำนวนเต็มที่มีค่ามากกว่า 7 แต่ไม่เกิน 10 เราจะสามารถเขียนเซต A แบบบอกเงื่อนไขได้ว่า A = \{x \in \mathbb{Z} \mid 7 < x \leqslant 10\} นั่นเองครับ

ข้อควรระวัง ไม่จำเป็นที่เซตแต่ละเซตสามารถเขียนเป็นเซตแบบบอกเงื่อนไขได้แบบเดียว

✨ชนิดของเซต

เซตจำกัด

คือเซตที่สามารถบอกจำนวนสมาชิกได้ เช่น ถ้า A = \{8, 9, 10\} เราจะได้ว่า n(A) = 3

เซตอนันต์

คือเซตที่ไม่สามารถบอกจำนวนสมาชิกได้ (เพราะมีสมาชิกอยู่มากมายนับไม่ถ้วน) เช่น A คือเซตของจำนวนจริงที่มีค่ามากกว่า 0 แต่น้อยกว่า 1

เซตว่าง

คือเซตที่มีจำนวนสมาชิกเป็น 0 และเราจะใช้ \{\} หรือ \varnothing แทนเซตว่าง

✨เซตที่เท่ากัน

A = B ก็ต่อเมื่อ เซตทั้งสองมีสมาชิกเหมือนกันทุกตัว

เช่น \{1, 2, 3, 4, 5\} = \{5, 4, 3, 2, 1\} เป็นต้น

✨สับเซต

A เป็นสับเซตของ B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของ A เป็นสมาชิกของ B และเราจะใช้สัญลักษณ์ A \subset B แทน A เป็นสับเซตของ B

ข้อตกลง : เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต

✨ตัวอย่างที่ 1 จงหาสับเซตทั้งหมดของ A = \{1, 2\}

จากความหมายของสับเซต เราจะได้ว่า \varnothing, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\} เป็นสับเซตของ A = \{1, 2\}

จาก✨ ตัวอย่างที่ 1 เราจะพบสิ่งที่น่าสนใจดังนี้ครับ

  • A จะเป็นสับเซตของ A เสมอ
  • จำนวนสับเซตของ A ทั้งหมดที่เป็นไปได้จะสามารถหาได้จาก 2^{n(A)}

✨เพาเวอร์เซต

เพาเวอร์เซตของ A คือ เซตของสับเซตทั้งหมดของ A หรือพูดง่าย ๆ ก็คือ ให้น้องไปหาสับเซตของ A มาก่อนว่ามีอะไรบ้าง แล้วให้น้องเอาสับเซตพวกนั้นมาเขียนรวมกันไว้ในเซต ๆ เดียว เราจะเรียกเซตนั้นว่าเพาเวอร์เซตของ A นั่นเองครับ และเราจะใช้ P(A) แทนเพาเวอร์เซตของ A ครับ

✨ตัวอย่างที่ 2 จงหาเพาเวอร์เซตของ A = \{1, 2\}

จากความหมายของสับเซต เราจะได้ว่า \varnothing, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\} เป็นสับเซตของ A = \{1, 2\} ดังนั้นเราเลยจะได้ว่า P(A) = \{\varnothing, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\}

จาก✨ ตัวอย่างที่ 2 เราจะพบสิ่งที่น่าสนใจดังนี้ครับ

  • A จะเป็นสมาชิกของ P(A) เสมอ

\varnothing จะเป็นสมาชิกของ P(A) เสมอ

✨แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์

แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ คือการที่เราเขียนแสดงเซตในรูปแบบของแผนภาพ โดยเรามักจะวาดเซตเป็นวงกลมอยู่ภายในกล่องสี่เหลี่ยมที่เป็นเอกภพสัมพัทธ์ครับ และต่อไปนี้คือตัวอย่างของแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ที่น้อง ๆ จะได้เจอบ่อย ๆ เมื่อเรียนเรื่องนี้นั่นเองครับ

✨การดำเนินการของเซต

การดำเนินการของเซตก็คล้าย ๆ กับการบวกลบเลขทั่วไปเลยครับ แต่เป็นในรูปแบบและมุมมองของเซตแทนที่จะเป็นตัวเลข การดำเนินการของเซตที่น้อง ๆ ต้องรู้จักจะมีอยู่ทั้งหมด 4 อย่างคือ ยูเนียน อินเตอร์เซคชัน ผลต่าง คอมพลีเมนต์ครับ

แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ กับการดำเนินการของเซต

เมื่อเรานำความรู้เรื่องแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ มาใช้กับการดำเนินการของเซต แผนภาพที่เราได้ จะเป็นแบบนี้ครับ

 

✨ตัวอย่างที่ 3 กำหนดให้ U = \{0, 1, 2, 3, 4\}, A = \{0, 1, 3\}, B = \{1, 2, 3\} จงหา A \cup B, A \cap B, A-B

จากความรู้เรื่องการดำเนินการของเซต เราจะได้ว่า

A \cup B = \{0, 1, 2, 3\}

A \cap B = \{1, 3\}

A – B = \{0\}

 

ตัวอย่างที่ 4 กำหนดให้ U = \{0, 1, 2, 3, 4\}, A = \{0, 1, 3\}, B = \{1, 2, 3\} จงหา B-A, A’, B’

จากความรู้เรื่องการดำเนินการของเซต เราจะได้ว่า

B-A = \{2\}

A’ = \{2, 4\}

B’ = \{0, 4\}

สมบัติของการดำเนินการของเซต

  • A \cup B = B \cup A
  • A \cap B = B \cap A
  • A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)
  • A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)
  • (A \cup B)’ = A’ \cap B’
  • (A \cap B)’ = A’ \cup B’
  • A-B = A \cap B’
  • A’ = U – A เมื่อ U คือเอกภพสัมพัทธ์

✨การใช้แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ในการแก้โจทย์ปัญหา

ในหัวข้อนี้เราจะนำความรู้เรื่องแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ กับการดำเนินการของเซตมาใช้ควบคู่กันเพื่อแก้ปัญหาต่าง ๆ ในชีวิตประจำวันที่เกี่ยวข้องกับเซตครับ โดยโจทย์ในหัวข้อนี้นั้นส่วนใหญ่จะเป็นการคิดเกี่ยวกับเซตสองหรือสามเซต ดังนั้นแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ที่น้อง ๆ จะต้องวาดขึ้นมาแทบจะทุกข้อเลยก็คือสองรูปต่อไปนี้ครับ

เซต

นอกจากแผนภาพข้างต้นแล้ว น้อง ๆ จะต้องรู้สูตรในการคำนวณด้วยครับ โดยสูตรที่เราควรรู้ก็จะมีดังนี้เลยยย

สูตรที่ควรรู้

  1. n(A \cup B)=n(A)+n(B)-n(A \cap B)
  2. n(A \cup B \cup C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A \cap B)-n(A \cap C)-n(B \cap C) + n(A \cap B \cap C)
  3. n(A-B)=n(A)-n(A \cap B)=n(A \cup B)-n(B)
  4. n(A’)=n(U)-n(A)

✨ตัวอย่างที่ 5 จากการสอบถามนักเรียนชั้น ม.4 มีนักเรียนที่ชอบดื่มน้ำส้มหรือน้ำมะนาวอยู่ทั้งหมด 150 คน ถ้ามีนักเรียนที่ชอบดื่มน้ำส้ม 80 คน ชอบดื่มน้ำมะนาว 90 คน แล้วมีนักเรียนกี่คนที่ชอบดื่มน้ำส้มและน้ำมะนาว

ให้นักเรียนที่ชอบดื่มน้ำส้มแทนด้วยเซต A

ให้นักเรียนที่ชอบดื่มน้ำมะนาวแทนด้วยเซต B

จากสูตร เราจะได้ว่า

n(A \cup B) = n(A) + n(B) – n(A \cap B)

150 = 80 + 90 – n(A \cap B)

150 = 170 – n(A \cap B)

n(A \cap B) = 20

เราจึงสรุปได้ว่ามีนักเรียนที่ชอบดื่มน้ำส้มและน้ำมะนาว 20 คน

เป็นยังไงกันบ้างครับน้อง ๆ สำหรับสรุปเนื้อหาเรื่องเซตที่พี่ได้นำมาฝากในวันนี้ มีทั้งความรู้พื้นฐานของเซต การจำแนกประเภทของเซต สับเซต การใช้สูตร การใช้แผนภาพ เรื่องเหล่านี้น้อง ๆ จะได้ใช้จริงในโรงเรียนและใช้ในการสอบเข้ามหาวิทยาลัยด้วยครับ หากน้อง ๆ อ่านแล้วยังรู้สึกว่าไม่เข้าใจ ให้เราลองวาดแผนภาพประกอบไปด้วย จะทำให้เราเข้าใจเรื่องเซตได้ดีมากขึ้นครับ แล้วก็อย่าลืมทบทวนเนื้อหาบ่อย ๆ ด้วยนะครับบ

บทความอื่นๆ เพิ่มเติม 👉 : OnDemand

คอร์สเรียน เปิดตัวใหม่สำหรับ สายบริหาร

พร้อมแจกฟรี

แผนการเรียนคณิตศาสตร์ ม.ปลาย

บทความอื่นๆ

วัน
ชั่วโมง
นาที

เหลือเวลา

ชั่วโมง
นาที
เหลือเวลาอีก
ขั่วโมง
นาที

เหลือเวลา

ชั่วโมง
นาที

เหลือเวลา

ชั่วโมง
นาที

เหลือเวลา

ชั่วโมง
นาที

เหลือเวลา

ชั่วโมง
นาที
เหลือเวลาอีก
วัน
ชั่วโมง
นาที

เหลือเวลา

ชั่วโมง
นาที

เหลือเวลา

ชั่วโมง
นาที

พบกับข้อเสนอพิเศษสำหรับลูกค้าเก่า

เหลือเวลา

ชั่วโมง
นาที

เหลือเวลา

ชั่วโมง
นาที

เหลือเวลา

ชั่วโมง
นาที

เหลือเวลา

ชั่วโมง
นาที

วันนี้เท่านั้น! รับ ID Book ฟรีทันที

ที่สาขาออนดีมานด์

พี่ออนดี้ส่งโมเมนต์สุดพิเศษให้น้อง

ต้อนรับวันวาเลนไทน์

ดีลดี ดีลเดียวก่อนหมดวันแห่งความรัก สมัครเลย

เหลือเวลา

ชั่วโมง
นาที
ชั่วโมง
นาที

โค้งสุดท้าย TPAT3 เหลือเวลา

วัน

พี่ออนดีมานด์มีตัวช่วยพิเศษ

เหลือเวลา

วัน
ชั่วโมง
นาที

โค้งสุดท้ายแล้ว เหลือเวลา

00
ชั่วโมง
00
นาที

เหลือเวลา

00
วัน
00
ชั่วโมง

เหลือเวลา

00
ชั่วโมง
00
นาที

วันสุดท้ายแล้ว

00
วัน
00
ชั่วโมง
เหลือเวลา
00
วัน
00
ชั่วโมง
สิ้นสุดการรอคอย สิทธิพิเศษเฉพาะคุณ TCAS DEK68 เวอร์ชั่นใหม่ มาแล้ว !
วันสุดท้ายแล้ว
3 ชม สุดท้ายแล้วสมัครคอร์เลย
รับฟรี! ชุดแนวข้อสอบ TPAT3
ส่วนลดสูงสุด 1,000 บาท
ส่วนลดสูงสุด 500 บาท

นับถอยหลังก่อนสอบเข้าเตรียมอุดม (9 มี.ค. 67)

Days
สิ้นสุดการรอคอย สิทธิพิเศษเฉพาะคุณ TCAS DEK68 เวอร์ชั่นใหม่ มาแล้ว !
สิ้นสุดการรอคอย สิทธิพิเศษเฉพาะคุณ TCAS DEK68 เวอร์ชั่นใหม่ มาแล้ว !
สิ้นสุดการรอคอย สิทธิพิเศษเฉพาะคุณ TCAS DEK68 เวอร์ชั่นใหม่ มาแล้ว !
โปรสุดท้าย NETSAT
เพื่อน้องมข. อีก 14 วันก่อนสอบ
โปรสุดท้าย เพื่อน้อง TU
อีก 1 เดือน ก่อนสอบ
ด่วน LIVEติว เลข โค้งสุดท้าย
ก่อนสอบเตรียมอุดมฯ