สรุปเนื้อหา คณิต เมทริกซ์ ม.5 พร้อมสรุปเนื้อหาครบ แจกฟรีโจทย์ พร้อมวิธีทำ

มีใครรู้สึกเหมือนกันบ้างมั้ยครับว่าพอขึ้น ม.5 แล้วเนื้อหา คณิตศาสตร์ ยิ่งซับซ้อนกว่าเดิม จนทำให้น้อง ๆ หลายคนเริ่มกังวลว่าจะตามเนื้อหาไม่ทัน ถ้าใครกำลังรู้สึกแบบนี้อยู่ ไม่ต้องกังวลไปนะ! วันนี้พี่ ออนดีมานด์ จะมาสรุปเนื้อหาสำคัญจากในเรื่อง เมทริกซ์ ให้ เข้าใจได้อย่างง่าย ๆ และไม่ซับซ้อน

ประโยชน์ของเมทริกซ์นั้นมีหลายอย่างมากครับ เช่น เราสามารถใช้เมทริกซ์มาช่วยแก้ระบบสมการเชิงเส้นหลาย ๆ ตัวแปรได้ เพราะเมทริกซ์จะทำให้กระบวนการแก้ระบบสมการของเรามีระเบียบแบบแผนมาก ทำให้ไม่สับสน หรือเราสามารถใช้ เมทริกซ์ ในการบันทึกข้อมูลต่าง ๆ ให้เป็นระเบียบก็ทำได้เช่นกัน ดังนั้นวันนี้พี่จึงจะมาสรุปเนื้อหาที่สำคัญในเรื่องเมทริกซ์ให้น้อง ๆ ครับ ไปเริ่มกันเลยยย

✨ความหมายของ เมทริกซ์

ก่อนอื่นเลย เมทริกซ์ (Matrix) ก็คือกลุ่มของจำนวนที่วางเรียงอยู่เป็นแถว (row) และหลัก (column) ซึ่งตัวเลขแต่ละตัวในเมทริกซ์เรียกว่า “สมาชิก” (elements) ของเมทริกซ์ โดยที่แต่ละแถวจะมีจำนวนเท่า ๆ กัน และถูกครอบด้วยเครื่องหมาย [ ] หรือ ( ) ก็ได้ครับ และต่อไปนี้คือตัวอย่างของเมทริกซ์ที่มีขนาดต่าง ๆ ครับ

 

\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}

 

เพื่อให้เห็นภาพมากขึ้น น้อง ๆ สามารถดูรูปด้านล่างนี้เพื่อทำความเข้าใจเพิ่มเติมได้เลยครับ

เมทริกซ์

✨ความรู้เบื้องต้นของ เมทริกซ์

ก่อนที่เราจะเข้าสู่เนื้อหา เราต้องทำข้อตกลงกันก่อน ดังนี้ครับ

ข้อตกลง

  1. เราจะเรียกเมทริกซ์ที่มี m แถว n หลักว่า “เมทริกซ์ขนาด m ]times n” หรือ “เมทริกซ์มิติ m ]times n” และเรียก m \times n ว่ามิติหรือขนาดของเมทริกซ์
  2. ใช้อักษรภาษาอังกฤษตัวพิมใหญ่แทนเมทริกซ์ เช่น A, B, C
  3. ใช้สัญลักษณ์ a_{ij} แทนสมาชิกของเมทริกซ์ A ที่อยู่ในแถวที่ i หลักที่ j เช่น

A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 5 & 0 & 4\end{bmatrix} จะได้ว่า a_{11} = 2, a_{12} = 1, a_{13} = 3, a_{21} = 5, a_{22} = 0, a_{23} = 4

ตัวอย่างที่ 1 กำหนดเมทริกซ์ A = \begin{bmatrix} -1 & 10 & 5 \\ 7 & 9 & 5 \\ 3 & 2 & 1\end{bmatrix} จงหาค่าของ a_{12} + a_{23}

วิธีทำ

a_{12} คือสมาชิกในแถวที่ 1 หลักที่ 2 ทำให้เราได้ว่า a_{12} = 10

a_{23} คือสมาชิกในแถวที่ 2 หลักที่ 3 ทำให้เราได้ว่า a_{23} = 5

ดังนั้นค่าของ a_{12} + a_{23} = 10 + 5 = 15

การเท่ากันของเมทริกซ์

ถ้า A, B เป็นเมทริกซ์ เราจะกล่าวว่า A = B ก็ต่อเมื่อ A กับ B มีขนาดเท่ากันและสมาชิกตำแหน่งเดียวกันต้องมีค่าเท่ากัน หรือง่าย ๆ ก็คือ ถ้าเมทริกซ์จะเท่ากันได้ หน้าตาของมันต้องเหมือนกันเป๊ะ ๆ นั่นเองครับ

ทรานสโพส (Transpose)

คือการเปลี่ยนแถวเป็นหลัก และเราจะใช้ A^t แทนทรานสโพสของเมทริกซ์ A

เช่น A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 5 & 0 & 4\end{bmatrix} เราจะได้ทันทีว่า A^t = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 0 \\ 3 & 4\end{bmatrix} นั่นเองครับ

✨พีชคณิตของ เมทริกซ์

เมทริกซ์เอกลักษณ์

ก่อนที่เราจะนำเมทริกซ์มาดำเนินการกันด้วยการบวก การลบ หรือการคูณ เราจำเป็นจะต้องรู้จักเมทริกซ์ชนิดหนึ่งที่มีความสำคัญมากครับ นั่นคือเมทริกซ์เอกลักษณ์

เมทริกซ์เอกลักษณ์คือเมทริกซ์จัตุรัส (แถวและหลักเท่ากัน) ที่มีสมาชิกในแนวเส้นทแยงมุมหลักเป็น 1 และสมาชิกตัวอื่น ๆ ที่เหลือทั้งหมดเป็น 0 และเราจะเขียน I เพื่อแทนเมทริกซ์เอกลักษณ์ เช่น

I_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

การบวก ลบ เมทริกซ์

ถ้า A, B เป็นเมทริกซ์แล้ว A \pm B จะหาค่าได้ ก็ต่อเมื่อ A กับ B มีมิติเท่ากัน และผลลัพธ์ของ A \pm B คือการนำสมาชิกในตำแหน่งเดียวกันมา บวก หรือลบกัน เรามาดูตัวอย่างกันเลยครับ

ตัวอย่างที่ 2 กำหนดเมทริกซ์ A = \begin{bmatrix} -1 & 10 & 5 \\ 7 & 9 & 5 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} จงหา A + B

วิธีทำ

\begin{aligned}A + B &= \begin{bmatrix} -1 & 10 & 5 \\ 7 & 9 & 5 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -1+1 & 10+2 & 5+3 \\ 7+4 & 9+5 & 5+6 \\ 3+7 & 2+8 & 1+9 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0 & 12 & 8 \\ 11 & 14 & 11 \\ 10 & 10 & 10 \end{bmatrix} \end{aligned}

นั่นคือ A + B = \begin{bmatrix} 0 & 12 & 8 \\ 11 & 14 & 11 \\ 10 & 10 & 10 \end{bmatrix}

นั่นคือ A + B = \begin{bmatrix} 0 & 12 & 8 \\ 11 & 14 & 11 \\ 10 & 10 & 10 \end{bmatrix}

การคูณเมทริกซ์กับสเกลาร์

สำหรับการคูณเมทริกซ์กับสเกลาร์นั้นน้อง ๆ สามารถทำได้อย่างง่ายดายเลยครับ โดยการนำสเกลาร์ไปคูณกับสมาชิกทุกตำแหน่งของเมทริกซ์ เช่น A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \Longrightarrow 2A = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}

การคูณเมทริกซ์กับเมทริกซ์

สำหรับน้อง ๆ ที่เคยเรียนเรื่องเมทริกซ์มาก่อน ก็คงจะเห็นว่าการคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์นั้นค่อนข้างเข้าใจได้ยาก และชวนให้เราสับสนกว่าการดำเนินการอื่น ๆ ของเมทริกซ์ที่เราได้ทำความเข้าใจไปก่อนหน้านี้ แต่ว่าวันนี้พี่ได้ทำการสรุปมาให้น้องแบบเข้าใจง่าย ๆ ครับ น้อง ๆ สามารถค่อย ๆ อ่านค่อย ๆ ทำความเข้าใจไปพร้อมกันเลยนะครับ ถ้าเข้าใจหลักการแล้ว การคูณเมทริกซ์กับเมทริกซ์นั้น ไม่ได้เป็นเรื่องที่ยากเกินไปแน่นอนน

ถ้า A, B เป็นเมทริกซ์แล้ว AB จะหาค่าได้ ก็ต่อเมื่อ หลักของ A เท่ากับแถวของ B และเมทริกซ์ผลลัพธ์ที่ได้นั้นจะมีขนาดเป็น “แถวของ A \times หลักของ B” และหน้าตาของสมาชิกด้านในเมทริกซ์ผลลัพธ์จะเป็นการนำสมาชิกในแต่ละแถวของ A ไปคูณกับสมาชิกในแต่ละหลักของ B เมื่อรู้แบบนี้แล้ว เราลองไปดูตัวอย่างกันเลยย

ตัวอย่างที่ 3 กำหนดเมทริกซ์ A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} จงหาผลคูณของเมทริกซ์ A และ B

วิธีทำ

A \times B ทำโดยการคูณแถวของเมทริกซ์ A เข้ากับหลักของเมทริกซ์ B โดยเราจะทำได้ดังนี้ครับ

เราจะกำหนดให้เมทริกซ์ผลลัพธ์มีชื่อว่า C

  1. c_{11} มาจากการคูณแถวที่ 1 ของ A กับหลักที่ 1 ของ B
    • (1 \times 5) + (3 \times 7) = 5 + 21 = 26
  2. c_{12} มาจากการคูณแถวที่ 1 ของ A กับหลักที่ 2 ของ B
    • (1 \times 6) + (3 \times 8) = 6 + 24 = 30
  3. c_{21} มาจากการคูณแถวที่ 2 ของ A กับหลักที่ 1 ของ B
    • (2 \times 5) + (4 \times 7) = 10 + 28 = 38
  4. c_{22} มาจากการคูณแถวที่ 2 ของ A กับหลักที่ 2 ของ B
    • (2 \times 6) + (4 \times 8) = 12 + 32 = 44

ดังนั้น ผลคูณของเมทริกซ์ A และ B คือ

A \times B = \begin{bmatrix} 26 & 30 \\ 38 & 44 \end{bmatrix}

✨ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์

ดีเทอร์มิแนนต์ (Determinant) คือค่าตัวค่าหนึ่งที่เมทริกซ์แต่ละเมทริกซ์จะมีได้เพียงค่าเดียวเท่านั้น โดยเมทริกซ์ที่จะมีดีเทอร์มิแนนต์ได้นั้นจะต้องเป็นเมทริกซ์จัตุรัสเท่านั้น ในหัวข้อนี้พี่จะขออธิบายถึงวิธีการหาค่าของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่มีขนาด 2 \times 2 และ 3 \times 3

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่มีขนาด 2 \times 2

ถ้า A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} แล้ว \operatorname{det}(A) = คูณทแยงล่าง คูณทแยงบน

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่มีขนาด 3 \times 3

ถ้า A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} แล้วเราจะสามารถหา \operatorname{det}(A) ได้โดยการนำหลักที่ 1 และ 2 ไปต่อท้ายกับเมทริกซ์ตั้งต้น แล้วใช้การคูณทแยงเช่นเดิม เพื่อให้เข้าใจมากขึ้น น้อง ๆ สามารถดูรูปนี้ได้เลยครับ

✨สมบัติของดีเทอร์มิแนนต์

  1. \operatorname{det}(A^t) = \operatorname{det}(A)
  2. \operatorname{det}(AB) = \operatorname{det}(A)\operatorname{det}(B)
  3. \operatorname{det}(A^n) = [\operatorname{det}(A)]^n เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก
  4. \operatorname{det}(kA) = k^n \operatorname{det}(A) เมื่อ k เป็นจำนวนจริง และ n เป็นจำนวนแถวหรือหลัก
  5. \operatorname{det}(I) = 1
  6. \operatorname{det}(A^{-1}) = [\operatorname{det}(A)]^{-1}

ตัวอย่างที่ 4 กำหนดเมทริกซ์ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} จงหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ A

วิธีทำ

  1. เขียนเมทริกซ์ A แล้วทำการคัดลอกหลักที่ 1 และหลักที่ 2 มาวางต่อท้ายเพื่อให้มีทั้งหมด 5 หลักดังนี้

\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & 2 \\ 4 & 5 & 6 & 4 & 5 \\ 7 & 8 & 9 & 7 & 8 \end{bmatrix}

  1. คำนวณผลคูณของสมาชิกในเส้นทแยงมุมจากซ้ายบนไปขวาล่าง (เส้นทแยงมุมลง) 3 เส้น โดยคูณสมาชิกในแต่ละเส้น แล้วนำมาบวกกัน
  • เส้นทแยงมุมแรก: 1 \times 5 \times 9 = 45
  • เส้นทแยงมุมที่สอง: 2 \times 6 \times 7 = 84
  • เส้นทแยงมุมที่สาม: 3 \times 4 \times 8 = 96

ผลรวมของเส้นทแยงมุมลง: 45 + 84 + 96 = 225

  1. คำนวณผลคูณของสมาชิกในเส้นทแยงมุมจากซ้ายล่างไปขวาบน (เส้นทแยงมุมขึ้น) 3 เส้น โดยคูณสมาชิกในแต่ละเส้น แล้วนำมาบวกกัน:
  • เส้นทแยงมุมแรก: 7 \times 5 \times 3 = 105
  • เส้นทแยงมุมที่สอง: 8 \times 6 \times 1 = 48
  • เส้นทแยงมุมที่สาม: 9 \times 4 \times 2 = 72

ผลรวมของเส้นทแยงมุมขึ้น: 105 + 48 + 72 = 225

  1. หาค่าดีเทอร์มิแนนต์โดยนำผลรวมของเส้นทแยงมุมลงลบด้วยผลรวมของเส้นทแยงมุมขึ้น:

\text{det}(A) = 225 – 225 = 0

ดังนั้นดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ A คือ \text{det}(A) = 0

✨เมทริกซ์ผกผัน

เราจะใช้ A^{-1} แทนเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ A โดยที่ A A^{-1} = I = A^{-1} A โดยเมทริกซ์ผกผันนั้น จะนิยามสำหรับเมทริกซ์ที่เป็นเมทริกซ์จัตุรัสเท่านั้น หรือพูดอีกอย่างก็คือ ถ้าไม่ใช่เมทริกซ์จัตุรัส เมทริกซ์นั้นจะไม่มีเมทริกซ์ผกผันนั่นเองครับ

โดยทั่วไปแล้วเราจะมีขั้นตอนวิธีการหาเมทริกซ์ผกผันสำหรับเมทริกซ์จัตุรัสใด ๆ ก็ได้ครับ แต่ในหัวข้อนี้ พี่จะขอแนะนำเพียงแค่วิธีการหาเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์จัตุรัส 2 \times 2 เท่านั้นครับ

ถ้า A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} แล้ว A^{-1} = \dfrac{1}{\operatorname{det}(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} จากสูตรน้อง ๆ จะเห็นว่ามี \operatorname{det}(A) อยู่ที่ตัวส่วนด้วย นั่นหมายความว่า ถ้าเมทริกซ์ไหนมี \operatorname{det} เป็น 0 เราจะสรุปว่าเมทริกซ์นั้นไม่มีเมทริกซ์ผกผันนั่นเองครับ

ตัวอย่างที่ 5 กำหนดเมทริกซ์ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}

จงหาว่าเมทริกซ์นี้มีเมทริกซ์ผกผันหรือไม่ หากมี ให้หาเมทริกซ์ผกผันนั้นด้วย

วิธีทำ

จากโจทย์เราจะได้ว่า a = 2, b = 1, c = 5, d = 3

  1. หาค่าดีเทอร์มิแนนต์ของ A

\operatorname{det}(A) = (a \times d) – (b \times c) = (2 \times 3) – (1 \times 5) = 6 – 5 = 1

เนื่องจากค่าดีเทอร์มิแนนต์ไม่เท่ากับศูนย์ ทำให้เมทริกซ์ A จึงมีเมทริกซ์ผกผัน

  1. หาเมทริกซ์ผกผันของ A:

A^{-1} = \dfrac{1}{1} \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{bmatrix}

ดังนั้นเมทริกซ์ผกผันคือ A^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{bmatrix} นั่นเอง

✨ระบบสมการเชิงเส้น

ระบบสมการเชิงเส้น

น้อง ๆ หลายคนอาจจะเคยแก้ระบบสมการเชิงเส้นกันมาแล้วในสมัย ม.ต้น ใช่ไหมครับ ในตอนนั้นเราอาจจะแก้ระบบสมการด้วยวิธีการทำสัมประสิทธิ์ของตัวแปรให้เท่ากัน แล้วค่อย ๆ กำจัดตัวแปรไปเรื่อย ๆ แล้วไล่แทนค่าย้อนกลับจนได้ค่าของตัวแปรครบทุกตัว

ในวันนี้พี่จะแนะนำวิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยการใช้เมทริกซ์ครับ ซึ่งจะมีอยู่ 2 วิธีด้วยกันดังนี้ครับ

1 การคูณด้วยเมทริกซ์ผกผัน

ถ้าเรามีระบบสมการเชิงเส้น

\begin{aligned} a_1 x + b_1 y &= c_1 \\ a_2 x + b_2 y &= c_2 \end{aligned}

เราจะสามารถเขียนระบบสมการเชิงเส้นนี้ใหม่ในรูปการคูณกันของเมทริกซ์ดังนี้ครับ

\begin{bmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_1\\ c_2 \end{bmatrix}

และเราจะกำหนดชื่อของเมทริกซ์ดังนี้

A = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{bmatrix}, X = \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} c_1\\ c_2 \end{bmatrix}

ดังนั้นเราสามารถเขียนระบบสมการเชิงเส้นดังกล่าวโดยใช้เมทริกซ์ได้ดังสมการ AX = B นั่นเองครับ

จากสมการ น้อง ๆ จะเห็นได้ว่า สิ่งที่เราต้องการทราบคือเมทริกซ์ X ว่าหน้าตาของมันจริง ๆ แล้วเป็นยังไง ดังนั้นเราจะทำการแก้สมการดังนี้ครับ

\begin{aligned}AX &= B \\ A^{-1}AX &= A^{-1}B \\ IX &= A^{-1}B \\ X &= A^{-1}B\end{aligned}

จากการแก้สมการ เราจะพบว่า ถ้าเราต้องการทราบหน้าตาของเมทริกซ์ X เราจะทำได้โดยการนำ A^{-1} ไปคูณเข้าที่ด้านหน้าของเมทริกซ์ B นั่นเองครับ 

2 การใช้เมทริกซ์แต่งเติม

จากวิธีที่ 1 เราสามารถเขียนระบบสมการเชิงเส้นในรูป AX = B ใช่ไหมครับ ในวิธีการนี้ เราจะเขียนสมการดังกล่าวในรูปเมทริกซ์แต่งเติมดังนี้ครับ

AX = B \Longrightarrow [A \mid B]

โดยเป้าหมายของเราคือการใช้การดำเนินการตามแถว (row operation) เพื่อเปลี่ยน [A \mid B] ให้เป็น [I \mid X] นั่นเองครับ ซึ่งการดำเนินการตามแถวที่เราสามารถทำได้นั้น มีอยู่ด้วยกัน 3 ข้อดังนี้ครับ

การดำเนินการตามแถว

  1. R_i \leftrightarrow R_j : สลับแถวที่ i กับแถวที่ j เช่น

\begin{bmatrix} 1 & 2 &\bigm| & 5 \\ 3 & 4 &\bigm| & 10 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 3 & 4 &\bigm| & 10 \\ 1 & 2 &\bigm| & 5 \end{bmatrix} R_1 \leftrightarrow R_2

  1. kR_i : นำค่าคงที่ (\neq 0) ไปคูณกับแถวใดแถวหนึ่ง เช่น

\begin{bmatrix} 1 & 2 &\bigm| & 5 \\ 3 & 4 &\bigm| & 10 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 2 & 4 &\bigm| & 10 \\ 3 & 4 &\bigm| & 10 \end{bmatrix} 2R_1

  1. R_i + kR_j :  นำค่าคงที่ (\neq 0) ไปคูณกับแถวใดแถวหนึ่งแล้วนำแถวนั้นไปบวกกับอีกแถว เช่น

\begin{bmatrix} 1 & 2 &\bigm| & 5 \\ 3 & 4 &\bigm| & 10 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 2 &\bigm| & 5 \\ 5 & 8 &\bigm| & 20 \end{bmatrix} 2R_1 + R_2

เป็นยังไงบ้างครับสำหรับเนื้อหาเรื่องเมทริกซ์ที่พี่นำมาฝากในวันนี้ น้อง ๆ หลายคนอาจจะรู้สึกว่ามีเนื้อหาใหม่ ๆ ที่เราไม่เคยเจอมาก่อนอยู่หลายอย่าง แต่ถ้าน้อง ๆ หมั่นทบทวนและขยันทำโจทย์ เนื้อหาเหล่านี้ก็จะไม่ยากอีกต่อไป และช่วยให้เราเข้าใจ เมทริกซ์ มากขึ้นอย่างแน่นอน ถ้าน้องๆ คิดว่าแค่อ่านบทความแล้วยังไม่พอ พี่ออนดีมานด์มีคอร์สเรียนแนะนำดีๆ มาบอกต่อ 

คอร์สเรียน เปิดตัวใหม่สำหรับ สายบริหาร

พร้อมแจกฟรี

แผนการเรียนคณิตศาสตร์ ม.ปลาย

บทความอื่นๆ

เหลือเวลา

ชั่วโมง
นาที
เหลือเวลาอีก
ขั่วโมง
นาที

เหลือเวลา

ชั่วโมง
นาที

เหลือเวลา

ชั่วโมง
นาที

เหลือเวลา

ชั่วโมง
นาที

เหลือเวลา

ชั่วโมง
นาที
เหลือเวลาอีก
วัน
ชั่วโมง
นาที
ชั่วโมง
นาที

พบกับข้อเสนอพิเศษสำหรับลูกค้าเก่า

เหลือเวลา

ชั่วโมง
นาที

เหลือเวลา

ชั่วโมง
นาที

เหลือเวลา

ชั่วโมง
นาที

เหลือเวลา

ชั่วโมง
นาที

เหลือเวลา

ชั่วโมง
นาที

วันนี้เท่านั้น! รับ ID Book ฟรีทันที

ที่สาขาออนดีมานด์

พี่ออนดี้ส่งโมเมนต์สุดพิเศษให้น้อง

ต้อนรับวันวาเลนไทน์

ดีลดี ดีลเดียวก่อนหมดวันแห่งความรัก สมัครเลย

เหลือเวลา

ชั่วโมง
นาที
วัน
ชั่วโมง
นาที

เหลือเวลา

ชั่วโมง
นาที

โค้งสุดท้ายแล้ว เหลือเวลา

00
ชั่วโมง
00
นาที

เหลือเวลา

00
วัน
00
ชั่วโมง

เหลือเวลา

00
ชั่วโมง
00
นาที

วันสุดท้ายแล้ว

เหลือเวลา
00
วัน
00
ชั่วโมง

เหลือเวลา

วัน
ชั่วโมง
นาที
สิ้นสุดการรอคอย สิทธิพิเศษเฉพาะคุณ TCAS DEK68 เวอร์ชั่นใหม่ มาแล้ว !
วันสุดท้ายแล้ว
3 ชม สุดท้ายแล้วสมัครคอร์เลย
รับฟรี! ชุดแนวข้อสอบ TPAT3
ส่วนลดสูงสุด 1,000 บาท
ส่วนลดสูงสุด 500 บาท

นับถอยหลังก่อนสอบเข้าเตรียมอุดม (9 มี.ค. 67)

Days
สิ้นสุดการรอคอย สิทธิพิเศษเฉพาะคุณ TCAS DEK68 เวอร์ชั่นใหม่ มาแล้ว !
สิ้นสุดการรอคอย สิทธิพิเศษเฉพาะคุณ TCAS DEK68 เวอร์ชั่นใหม่ มาแล้ว !
สิ้นสุดการรอคอย สิทธิพิเศษเฉพาะคุณ TCAS DEK68 เวอร์ชั่นใหม่ มาแล้ว !
โปรสุดท้าย NETSAT
เพื่อน้องมข. อีก 14 วันก่อนสอบ
โปรสุดท้าย เพื่อน้อง TU
อีก 1 เดือน ก่อนสอบ
ด่วน LIVEติว เลข โค้งสุดท้าย
ก่อนสอบเตรียมอุดมฯ