Key Takeaways:
ตรรกศาสตร์ เป็นหนึ่งในเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย ที่เน้นเกี่ยวกับการหาค่าความจริงของข้อความต่าง ๆ ซึ่งเราจะต้องใช้การคิดแบบเป็นเหตุเป็นผลและเป็นขั้นตอนเพื่อที่จะหาค่าความจริงของข้อความเหล่านั้น โดยเป็นอีกเนื้อหาหนึ่งที่ได้นำมาออกทั้งในข้อสอบ A-Level คณิตศาสตร์ประยุกต์ 1 และ 2 ในบทความนี้พี่ ๆ ก็ได้สรุปเนื้อหาตรรกศาสตร์ ม.4 ไว้อย่างครบถ้วน พร้อมนำตัวอย่างโจทย์มาให้น้อง ๆ ได้ลองฝึกกันด้วย ถ้าพร้อมแล้วไปดูเนื้อหากันเลย!
Table of Contents
ในชีวิตประจำวัน เรามักจะใช้เหตุผลในการตัดสินใจอยู่ตลอดเวลา แต่เคยสงสัยไหมว่า “เหตุผล” แบบไหนที่เรียกว่าสมเหตุสมผลจริง ๆ ? ในเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย มีบทหนึ่งที่เป็นพื้นฐานสำคัญซึ่งช่วยฝึกความคิดของเราให้สามารถให้เหตุผลได้อย่างถูกต้องมีหลักการและสรุปผลได้อย่างสมเหตุสมผลน่าเชื่อถือ นั่นคือ “ตรรกศาสตร์” นั่นเอง
ในบทความนี้ เราจะไปทำความเข้าใจตรรกศาสตร์ ม.4 ในมุมมองที่เข้าใจง่ายและนำไปประยุกต์ใช้ได้จริงทั้งในการเรียนและการสอบกัน
สมัครเรียนคอร์สคณิตศาสตร์ ม.ปลาย : ตรรกศาสตร์เบื้องต้นและการให้เหตุผลกับ OnDemand
ประพจน์คืออะไร ? เชื่อมกันได้อย่างไรบ้าง ?
ประพจน์ คือ ประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธที่เราสามารถบอกได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น เช่น
- เดือนกุมภาพันธ์มี 30 วัน
- 1 เป็นจำนวนเฉพาะ
- สงขลาเป็นจังหวัดในภาคอีสานของไทย
ประโยคที่ไม่เป็นประพจน์ คือ ประโยคที่ไม่สามารถบอกได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จอย่างใดอย่างหนึ่ง ส่วนใหญ่จะอยู่ในรูปประโยคคำถาม คำสั่ง ขอร้อง อุทาน เช่น
- โปรดส่งใครมารักฉันที
- ไปอยู่ที่ไหนมา
- \mathit{x} \boldsymbol{-} \boldsymbol{1} \boldsymbol{=} \boldsymbol{11}
ตัวเชื่อมประพจน์และตารางค่าความจริง
ตัวเชื่อมประพจน์ทางตรรกศาสตร์มีอยู่ 5 ตัว ดังนี้
โดยที่เรามักจะใช้ตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์เล็กเพื่อแทนประพจน์ต่าง ๆ เช่น p, q, r, …
ถ้ากำหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ใด ๆ เราสามารถเชื่อมประพจน์ 2 ประพจน์เข้าหากันได้ด้วยตัวเชื่อมประพจน์ ดังต่อไปนี้
\mathit{p} และ \mathit{q} เขียนแทนด้วย \mathit{p} \wedge \mathit{q}
\mathit{p} หรือ \mathit{q} เขียนแทนด้วย \mathit{p} \vee \mathit{q}
ถ้า \mathit{p} แล้ว \mathit{q} เขียนแทนด้วย \mathit{p} \to \mathit{q}
\mathit{p} ก็ต่อเมื่อ \mathit{q} เขียนแทนด้วย \mathit{p} \leftrightarrow \mathit{q}
นิเสธของ \mathit{p} เขียนแทนด้วย \sim \mathit{p}
เมื่อ \mathit{p} และ katex]\mathit{q}[/katex] เป็นจริงหรือเท็จแตกต่างกัน เราจะได้ค่าความจริงของประพจน์ที่นำมาเชื่อมกันแตกต่างกันไปด้วย ซึ่งเป็นไปดังตารางค่าความจริงข้างล่างนี้
\mathit{p} | \mathit{q} | \mathit{p} \wedge \mathit{q} | \mathit{p} \vee \mathit{q} | \mathit{p} \to \mathit{q} | \mathit{p} \leftrightarrow \mathit{q} | \sim \mathit{p} |
| \mathit{T} | \mathit{T} | \mathit{T} | \mathit{T} | \mathit{T} | \mathit{T} | \mathit{F} |
| \mathit{T} | \mathit{F} | \mathit{F} | \mathit{T} | \mathit{F} | \mathit{F} | \mathit{F} |
| \mathit{F} | \mathit{T} | \mathit{F} | \mathit{T} | \mathit{T} | \mathit{F} | \mathit{T} |
| \mathit{F} | \mathit{F} | \mathit{F} | \mathit{F} | \mathit{T} | \mathit{T} | \mathit{T} |
โดยที่ \mathit{T} หมายถึง จริง
และ \mathit{F} หมายถึง เท็จ
จากตารางค่าความจริงข้างต้น เราจะพบว่ามีสิ่งที่น่าสนใจดังนี้
ลำดับในการหาค่าความจริง
ถ้าเราประพจน์มีตัวเชื่อมหลายตัว เราจะต้องยึดลำดับในการหาค่าความจริงตามลำดับต่อไปนี้
1. วงเล็บ
2. \sim
3. \wedge \vee
4. \rightarrow
5. \leftrightarrow
สำหรับตัวเชื่อม ∧ ∨ นั้นมีความสำคัญเท่า ๆ กัน เราจะหาค่าความจริงตามลำดับจากซ้ายไปขวาได้เลย
ต่อไปเราจะมาลองหาค่าความจริงกันดูนะครับ
ตัวอย่างโจทย์เกี่ยวกับการหาค่าความจริง
กำหนดให้ \mathit{p},\mathit{q}, \mathit{r} เป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็น เท็จ จริง เท็จ ตามลำดับ
จงหาค่าความจริงของ \sim \mathit{p} \leftrightarrow ( \sim \mathit{q} \vee \mathit{r}) \to \mathit{p}
ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า \sim \mathit{p} \leftrightarrow ( \sim \mathit{q} \vee \mathit{r}) \to \mathit{p} มีค่าความจริงเป็นจริง
รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกันเป็นอย่างไร ?
ประพจน์ \mathit{p} สมมูลกับ \mathit{q} ก็ต่อเมื่อ ประพจน์ \mathit{p} กับ \mathit{q} มีค่าความจริงเหมือนกันกรณีต่อกรณี จะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ \equiv แบบที่ได้เคยใช้ไปก่อนหน้านี้นั่นเอง โดยถ้าเราจะบอกว่า \mathit{p} สมมูลกับ \mathit{q} เราจะสามารถเขียนได้ว่า \mathit{p} \equiv \mathit{q} นั่นเอง
หนึ่งในวิธีที่เราใช้ตรวจสอบว่าแต่ละประพจน์สมมูลกันหรือไม่ ก็คือการสร้างตารางค่าความจริงแสดงให้เห็นตรง ๆ เลยว่าแต่ละประพจน์มีค่าความจริงเหมือนกันกรณีต่อกรณี
ตัวอย่างโจทย์เกี่ยวกับประพจน์ที่สมมูลกัน
จงพิจารณาว่า \mathit{p} \to \mathit{q} สมมูลกับ \sim \mathit{p} \vee \mathit{q} หรือไม่
วิธีทำ เราสามารถสร้างตารางค่าความจริงได้ดังนี้
| \mathit{p} | \mathit{q} | \mathit{p} \to \mathit{q} | \sim \mathit{p} | \sim \mathit{p} \vee \mathit{q} |
| \mathit{T} | \mathit{T} | \mathit{T} | \mathit{F} | \mathit{T} |
| \mathit{T} | \mathit{F} | \mathit{F} | \mathit{F} | \mathit{F} |
| \mathit{F} | \mathit{T} | \mathit{F} | \mathit{T} | \mathit{T} |
| \mathit{F} | \mathit{F} | \mathit{T} | \mathit{T} | \mathit{T} |
เราจะพบว่าค่าความจริงของทั้งสองประพจน์นั้นเหมือนกันแบบกรณีต่อกรณีเลย
ดังนั้น เราจะสามารถสรุปได้เลยว่า \sim \mathit{p} \to \mathit{q}{ } \equiv{ } \sim \mathit{p} \vee \mathit{q} นั่นเอง
นอกจากการสร้างตารางค่าความจริงเพื่อตรวจสอบว่าแต่ละประพจน์สมมูลกันหรือไม่โดยตรงแล้ว เราก็สามารถใช้รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกันในการตรวจสอบว่าแต่ละประพจน์สมมูลกันหรือไม่ได้ด้วยดังข้างล่างนี้
โดยเราสามารถหยิบไปใช้ได้ทันทีเลยว่าประพจน์ไหนสมมูลกับประพจน์ไหน ซึ่งจะช่วยให้เราแก้โจทย์บางข้อได้ง่ายขึ้นครับ
ตัวอย่างโจทย์เกี่ยวกับรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน
จงพิจารณาว่า \mathit{p} \to \mathit{q} \to \mathit{r} สมมูลกับ (\mathit{p} \to \mathit{r}) \wedge (\mathit{q} \to \mathit{r})
ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า \mathit{p} \to \mathit{q} \to \mathit{r} ไม่สมมูลกับ (\mathit{p} \to \mathit{r}) \wedge (\mathit{q} \to \mathit{r})
สัจนิรันดร์คืออะไร ? ตรวจสอบได้อย่างไร ?
ประพจน์ที่เป็นสัจนิรันดร์ คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี
ในการพิสูจน์หรือตรวจสอบว่าประพจน์ใด ๆ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่นั้น เราจะสามารถทำได้ 2 วิธีคือ
1. การสร้างตารางค่าความจริง
เราสามารถสร้างตารางค่าความจริงเพื่อแสดงให้เห็นตรง ๆ เลยว่าประพจน์นั้นเป็นจริงทุกกรณีหรือไม่ หรือว่ามีกรณีที่ไม่เป็นจริงหรือไม่
ตัวอย่างโจทย์เกี่ยวกับการตรวจสอบสัจนิรันดร์ด้วยตารางค่าความจริง
จงพิจารณาว่า (\mathit{p} \leftrightarrow \mathit{q}) \to (\mathit{p} \rightarrow \mathit{q}) เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ โดยใช้ตารางค่าความจริง
วิธีทำ เราสามารถสร้างตารางค่าความจริงได้ดังนี้
\mathit{p} | \mathit{q} | \mathit{p} \leftrightarrow \mathit{q} | \mathit{p} \to \mathit{q} | (\mathit{p} \leftrightarrow \mathit{q}) \to (\mathit{p} \rightarrow \mathit{q}) |
| \mathit{T} | \mathit{T} | \mathit{T} | \mathit{T} | \mathit{T} |
| \mathit{T} | \mathit{F} | \mathit{F} | \mathit{F} | \mathit{T} |
| \mathit{F} | \mathit{T} | \mathit{F} | \mathit{T} | \mathit{T} |
| \mathit{F} | \mathit{F} | \mathit{T} | \mathit{T} | \mathit{T} |
เราจะพบว่าค่าความจริงของ (\mathit{p} \leftrightarrow \mathit{q}) \to (\mathit{p} \rightarrow \mathit{q}) นั้นเป็นจริงทุกกรณีเลย ไม่ว่า \mathit{p}, \mathit{q} จะมีค่าความจริงเป็นแบบไหนก็ตาม
ดังนั้น เราจึงสามารถสรุปได้เลยว่า (\mathit{p} \leftrightarrow \mathit{q}) \to (\mathit{p} \rightarrow \mathit{q}) เป็นสัจนิรันดร์
2. การหาข้อขัดแย้ง
หลักการคือการที่เราสมมติไปก่อนเลยว่าประพจน์ที่จะตรวจสอบนั้นสามารถเป็นเท็จได้ (แต่จริง ๆ อาจจะไม่ใช่ก็ได้) แล้วไล่ดูว่าถ้าเป็นเท็จแล้ว ประพจน์ย่อยแต่ละประพจน์จะต้องเป็นจริงหรือเท็จ หากระหว่างนั้น พบว่ามีประพจน์บางตัวเป็นได้ทั้งจริงและเท็จ แสดงว่าเกิดข้อขัดแย้งขึ้น ดังนั้นการที่เราสมมติว่าประพจน์นี้สามารถเป็นเท็จได้นั้นจึงไม่จริง แสดงว่าประพจน์นี้ไม่สามารถเป็นเท็จได้ เราจึงสรุปได้ว่าประพจน์นี้เป็นสัจนิรันดร์นั่นเอง
หลักการดังกล่าวสามารถสรุปเป็นขั้นตอนได้ดังแผนภาพข้างล่างนี้เลย
ตัวอย่างโจทย์เกี่ยวกับการตรวจสอบสัจนิรันดร์ด้วยตารางค่าความจริง
จงพิจารณาว่า (\mathit{p} \leftrightarrow \mathit{q}) \to (\mathit{p} \rightarrow \mathit{q}) เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ โดยใช้วิธีการหาข้อขัดแย้ง
วิธีทำ
โดยวิธีการหาข้อขัดแย้ง เมื่อเลือกให้ \mathit{p} \leftrightarrow \mathit{q} \equiv \mathit{T} เกิดจาก \mathit{T} \leftrightarrow \mathit{T} เราจะพบว่า \mathit{q} ในกรอบสีแดงทั้งสองมีค่าความจริงเป็นจริงและเท็จพร้อม ๆ กัน หรือเมื่อเลือกให้ \mathit{p} \leftrightarrow \mathit{q} \equiv \mathit{T} เกิดจาก \mathit{F} \leftrightarrow \mathit{F} เราจะพบว่า \mathit{p} ในกรอบสีน้ำเงินทั้งสองมีค่าความจริงเป็นเท็จและจริงพร้อม ๆ กัน
เมื่อเป็นเช่นนี้ เราจึงสรุปได้ว่าเกิดข้อขัดแย้ง และทำให้ (\mathit{p} \leftrightarrow \mathit{q}) \to (\mathit{p} \rightarrow \mathit{q}) เป็นสัจนิรันดร์นั่นเอง
การอ้างเหตุผลคืออะไร ? ตรวจสอบได้อย่างไร ?
หลักการของการอ้างเหตุผลนั้นเราจะสนใจว่าการอ้างเหตุและผลนั้นสมเหตุสมผลกันหรือไม่
- ถ้าทำตามเหตุ แล้วได้ผลอย่างที่อ้าง ก็แสดงว่า การอ้างเหตุผลนั้นสมเหตุสมผล
- ถ้าทำตามเหตุ แล้วไม่ได้ผลอย่างที่อ้าง ก็แสดงว่า การอ้างเหตุผลนั้นไม่สมเหตุสมผล
- ถ้าไม่ทำตามเหตุ แล้วได้ผลตามที่อ้างหรือไม่ได้ผลตามที่อ้าง ก็ไม่สามารถบอกได้ว่าสิ่งที่พูดมานั้นสมเหตุสมผลหรือไม่
หรือสรุปง่าย ๆ ก็คือ ถ้า {p}_{1},p_{2},… p_{n} เป็นเหตุ และ C เป็นผล ให้เรานำ {p}_{1},p_{2},… p_{n} มาเชื่อมกันด้วยตัวเชื่อม “และ” แล้วเชื่อมเหตุทั้งหมดกับผลด้วยตัวเชื่อม “ถ้า…แล้ว…”
(p_{1} \wedge p_{2} … \wedge p_{n}) \to Cในการตรวจสอบว่าการอ้างเหตุผลนั้นสมเหตุสมผลหรือไม่ ให้เราตรวจสอบว่า {p}_{1},p_{2},… p_{n}C เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ ถ้าเป็นสัจนิรันดร์ก็สรุปได้เลยว่าสมเหตุสมผล แต่ถ้าไม่เป็นสัจนิรันดร์ ก็ไม่สมเหตุสมผลนั่นเอง
ตัวอย่างโจทย์เกี่ยวกับการอ้างเหตุผล
จงพิจารณาว่าการอ้างเหตุผลต่อไปนี้สมเหตุสมผลหรือไม่
เหตุ
1. q \to (p \vee r)
2. \sim r \wedge q
ผล p
เราจะพบว่า p ในกรอบสีแดงทั้งสองมีค่าความจริงเป็นจริงและเท็จพร้อม ๆ กัน
เมื่อเป็นเช่นนี้ เราจึงสรุปว่าเกิดข้อขัดแย้ง ทำให้ประพจน์ดังกล่าวเป็นสัจนิรันดร์
จึงทำให้การอ้างเหตุผลนี้สมเหตุสมผลนั่นเอง
ประโยคเปิดและตัวบ่งปริมาณคืออะไร? มีค่าความจริงอย่างไร ?
ประโยคเปิด
ประโยคเปิด คือ ประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธที่มีตัวแปร แต่เมื่อเราแทนค่าตัวแปรในประโยคเปิดจะทำให้ประโยคเปิดกลายเป็นประพจน์ เพราะเราสามารถบอกค่าความจริงได้แล้วนั่นเอง
ตัวอย่างของประโยคเปิด เช่น
- 2x + 1 = 6
- y + z = 4
- เขาเป็นนักเรียน
จะพบว่าเมื่อเราแทนค่าตัวแปรในประโยคเปิดจะทำให้เราบอกค่าความจริงได้ เช่น
- แทน x ด้วย 2 จะได้ว่า 4+1=6 เป็นเท็จ
- แทน y และ z ด้วย 1 และ 3 จะได้ว่า 1+3=4 เป็นจริง
- แทน “เขา” ด้วย “พี่แท็ป” จะได้ว่า พี่แท็ปเป็นนักเรียน เป็นเท็จ
เราจะใช้ P(x) และ P(x,y) แทนประโยคเปิดที่มีตัวแปร 1 และ 2 ตัวตามลำดับ
ตัวบ่งปริมาณ
ตัวบ่งปริมาณจะมีอยู่ทั้งหมด 2 แบบ ดังนี้
- for all \forall x เขียนแทนด้วย x หมายถึง สำหรับทุก x, สำหรับ x ทุกตัว, แต่ละ x
- for some x เขียนแทนด้วย \exists x หมายถึง มี x อย่างน้อย 1 ตัว, มี x บางตัว, สำหรับ x บางตัว
ซึ่งเราสามารถทำประโยคเปิดให้กลายเป็นประพจน์ได้โดยการเติมตัวบ่งปริมาณและเอกภพสัมพัทธ์เข้าไป เพราะถ้าทำแบบนั้นแล้ว เราจะสามารถบอกค่าความจริงของมันได้นั่นเอง เช่น
- สำหรับจำนวนจริง x ทุกจำนวน x^{2} \geq 0
- มีจำนวนเต็ม x บางจำนวนที่ทำให้ x+1<5
สำหรับโจทย์ส่วนใหญ่ ถ้าไม่ได้กำหนดเอกภพสัมพัทธ์มาให้ ให้เราถือว่าเอกภพสัมพัทธ์สำหรับข้อนั้น ๆ คือเซตของจำนวนจริงได้เลย
ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ
สำหรับค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ เราสามารถยึดตามหลักการข้างล่างนี้ได้เลย
นิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ
การหานิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ เราจะกระจายนิเสธเข้าไปยังประโยคเปิดที่อยู่ด้านหลังตัวบ่งปริมาณ แล้วสลับเปลี่ยนระหว่าง \forall กับ \exists ดังนี้
\sim \forall x[P(x)] \equiv \exists x[\sim P(x)]
\sim \exists x[P(x)] \equiv \forall x[\sim P(x)]
ตัวอย่างโจทย์เกี่ยวกับประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ
จงหาค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณต่อไปนี้ เมื่อ U = Z^{+}
- \forall x [x \geq 1]
- \exists x [x \leq 1]
วิธีทำ 1. เนื่องจาก Z^{+} คือ จำนวนเต็มบวก
หมายความว่า U={1, 2, 3, …} นั่นเอง
ซึ่งทุกจำนวนใน U มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ 1 ทั้งหมด
ดังนั้น \forall x[x \geq 1] เมื่อ U = Z^{+} เป็นจริง
- เนื่องจากเมื่อนำ x=1 ซึ่งเป็นสมาชิกใน Z^{+} มาแทนใน x \leq 1 จะได้ 1 \leq 1 ซึ่งเป็นจริง
ดังนั้น \exists x[x \leq 1] เมื่อ U = Z^{+} เป็นจริง
ตะลุยโจทย์แนวข้อสอบตรรกศาสตร์ ม.4
ตัวอย่างที่ 1 ประพจน์ใดต่อไปนี้เป็นสัจนิรันดร์
1. [(p \to q) \to q] \to p
2. [p \to (p \to q)] \to q
3. (q \to p) \to (p \to q)
4. [(p \to q)\to p \to ] \to p
5. [(p \to q) \to (q \to p)] \to p
ตอบ 4. [(p \to q)\to p \to ] \to p
วิธีทำ พิจารณา
เราจะพบว่า p ในกรอบสีแดงทั้งสองมีค่าความจริงเป็นจริงและเท็จพร้อม ๆ กัน
เมื่อเป็นเช่นนี้ เราจึงสรุปว่าเกิดข้อขัดแย้ง ทำให้ [(p \to q)\to p \to ] \to p เป็นสัจนิรันดร์นั่นเอง
ส่วนข้ออื่น ๆ สามารถเกิดกรณีที่ค่าความจริงเป็นเท็จได้ ดังนี้
ตัวอย่างที่ 2 ให้ p, q และ r เป็นประพจน์ แล้วประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้มีค่าความจริงเป็นจริงในบางกรณีและเป็นเท็จในบางกรณี
ดังนั้น ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงในบางกรณี และเป็นเท็จในบางกรณี คือ (p\to q) \to (p \wedge r)
เรียนตรรกศาสตร์ ม.4 กับ OnDemand
เป็นยังไงกันบ้างครับกับเนื้อหาตรรกศาสตร์ ม.4 ที่พี่ ๆ นำมาฝากน้อง ๆ ในวันนี้ หลายคนอาจจะยังไม่เข้าใจในครั้งแรกที่อ่าน แต่น้อง ๆ ไม่ต้องกังวล เพราะเราไม่จำเป็นต้องเข้าใจเนื้อหาทั้งหมดนี้ภายในวันเดียวหรือการอ่านเพียงรอบเดียวก็ได้ครับ เราสามารถค่อย ๆ ทบทวนเนื้อหาไปพร้อมกับการฝึกทำโจทย์เพื่อให้เก่งขึ้นได้ โดยทาง OnDemand ก็มีคอร์สคณิตศาสตร์ ม.ปลาย : ตรรกศาสตร์เบื้องต้นและการให้เหตุผลเพื่อเป็นอีกทางเลือกหนึ่งที่ช่วยให้น้อง ๆ ได้เข้าใจเนื้อหามากขึ้นด้วยเทคนิคการสอนที่ช่วยให้ไม่ต้องท่องจำ และพร้อมตะลุยโจทย์ทุกข้อเลยครับ
แทรก Youtube ตรรกศาสตร์ ม.4 | ตัวอย่างคอร์สเรียน เลข ม.ปลาย | OnDemand
สอบถามรายละเอียดคอร์สเรียนเพิ่มเติม
- Add Line : Ondemand Education
- โทรศัพท์ : 02-251-9456 (08.00-20.00)
อ้างอิง
- สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี. (2563). หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 เล่ม 1. พิมพ์ครั้งที่ 1. สกสค. ลาดพร้าว.
คำถามที่พบบ่อยเกี่ยวกับตรรกศาสตร์ ม.4 (FAQs)
Q: มีวิธีท่องจำตารางค่าความจริงแบบลัด ๆ ไหม ?
A: มีครับ แทนที่จะนั่งจำตาราง 16 ช่องให้ปวดหัว เราจะจำเฉพาะ “กรณีที่ต่างจากกรณีอื่น ๆ” ของแต่ละตัวเชื่อมประพจน์ ดังนี้
- \wedge: ต้องจริงทั้งคู่ ถึงจะจริง (T \wedge T \equiv T) นอกนั้นเท็จหมด
- \vee: ต้องเท็จทั้งคู่ ถึงจะเท็จ (F \vee F \equiv F) นอกนั้นจริงหมด
- \to: หน้าจริง หลังเท็จ จะได้เท็จ (T \to F \equiv F) นอกนั้นจริงหมด
- \leftrightarrow: เหมือนกันได้จริง ต่างกันได้เท็จ เช่น T \leftrightarrow T \equiv T และ T \leftrightarrow F \equiv F
Q: เราสามารถตรวจสอบ “สมมูล" จาก "สัจนิรันดร์" ได้หรือไม่ ?
A: สามารถทำได้ครับ โดยถ้าโจทย์ถามว่า “ประพจน์
A กับ B สมมูลกันหรือไม่” เราสามารถเอาเครื่องหมาย \leftrightarrow มาเชื่อมประพจน์ทั้งสอง แล้วเช็คว่า “A \leftrightarrow B เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่” ได้เหมือนกันครับ ถ้าเป็นสัจนิรันดร์ ก็แสดงว่าทั้งสองประพจน์นั้นสมมูลกันนั่นเองครับ เพราะตัวเชื่อม\leftrightarrow จะเป็นจริงเสมอถ้าทั้งสองประพจน์มีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี
Q: ในการหานิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ ทำอย่างไรไม่ให้สับสน ?
A: การหานิเสธ (ข้อความตรงข้าม) ของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ มีหลักการเปลี่ยน 2 อย่างที่ต้องทำพร้อมกันเสมอ ห้ามทำแค่จุดใดจุดหนึ่งเด็ดขาด
- เปลี่ยนตัวบ่งปริมาณเป็นตัวตรงข้าม \forall (ทั้งหมด) <->\exists (บางตัว)
- ใส่นิเสธเข้าไปที่ประโยคเปิดด้านหลังตัวบ่งปริมาณ
ตัวอย่างเช่น นิเสธของประพจน์ \forall x[x > 0] คือ \exists x[x \leq 0]
(สังเกตว่าเราเปลี่ยน \forall เป็น \exists และเปลี่ยนเครื่องหมายจาก > เป็นตรงข้ามคือ \leq)
