สรุปเนื้อหา คณิตศาสตร์ อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ม.3 พร้อมเนื้อหาครบ พร้อมตัวอย่างวิธีทำ ใช้ได้จริง

✨เนื้อหา อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ม.3

เมื่อพูดถึงสมการ น้อง ๆ หลายคนอาจจะนึกออกทันที เพราะเป็นบทเรียนสำคัญที่เราเคยเจอกันมาแล้วในวิชาคณิตศาสตร์ แต่หากพูดถึงอีกเรื่องหนึ่งที่สำคัญไม่แพ้สมการเลยก็คือ อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว นั่นเองครับ เพราะเราสามารถใช้อสมการในการวิเคราะห์เชิงเปรียบเทียบ อีกทั้งยังสามารถช่วยแก้ปัญหาของโจทย์ต่าง ๆ ได้อีกด้วย วันนี้พี่จะมาอธิบายให้เข้าใจว่าอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวคืออะไร พร้อมทั้งมีสรุปเนื้อหาและแบบฝึกหัดให้ลองทำด้วย ถ้าทุกคนพร้อมแล้ว ไปเริ่มกันเลย!

✨อสมการคืออะไร?

อสมการ (Inequality) คือ ความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณสองค่าที่ไม่เท่ากัน คำว่า “อสมการ” มาจากคำว่า “สมการ” ที่แปลว่าเท่ากัน แต่ในอสมการ ตัวแปรสองฝั่งจะไม่จำเป็นต้องเท่ากัน ตัวอย่างเช่น x+2 > 5 หมายความว่า ค่า x+2 นั้นมากกว่า 5 ซึ่งไม่ใช่การเท่ากันเหมือนสมการครับ
เครื่องหมายที่ใช้ในอสมการ
📌 > มากกว่า
📌 < น้อยกว่า
📌 \geqslant มากกว่าหรือเท่ากับ
📌 \leqslant น้อยกว่าหรือเท่ากับ
เส้นจำนวน
รูปต่อไปนี้คือรูปของเส้นจำนวนที่น้อง ๆ จะได้เห็นบ่อย ๆ หลังจากนี้ครับ

เส้นจำนวน

 เส้นจำนวนจะช่วยให้เรามองภาพคำตอบของอสมการแต่ละข้อได้ง่ายขึ้น

✨อสมการแตกต่างจากสมการยังไง?

สมการ เป็นการหาค่าที่ทำให้ทั้งสองฝั่งของเครื่องหมายเท่ากันเสมอ เช่น 3x+2 = 11 เราจะแก้หาค่า x ที่ทำให้ทั้งสองฝั่งของสมการมีค่าเท่ากัน ในที่นี้ค่า x จะเป็นตัวเลขเดียวที่ทำให้สมการเป็นจริงครับ


อสมการ แตกต่างกันตรงที่ว่ามันไม่จำเป็นต้องหาเพียงค่าหนึ่งเดียวของตัวแปร แต่สามารถมีค่าได้หลายค่าที่ทำให้เงื่อนไขเป็นจริง เช่น x+3 > 7 เราจะทราบได้ทันทีว่าค่าของ x สามารถเป็นได้ทั้ง 5, 6, 7 หรือมากกว่านี้ก็ได้ เพราะทุกค่าที่มากกว่า 4 จะทำให้อสมการนี้เป็นจริง นั่นแปลว่าคำตอบของอสมการจะไม่ใช่แค่ตัวเลขตัวเดียว แต่เป็นกลุ่มของตัวเลขที่สอดคล้องกับเงื่อนไขของอสมการนั่นเองครับ

✨อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวคืออะไร?

อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว หมายถึง อสมการที่มีเพียงตัวแปรหนึ่งตัว เช่น x และจะมีเลขชี้กำลังเป็น 1 เท่านั้น โดยตำแหน่งที่ปรากฎตัวแปรนั้นสามารถมีได้หลายจุดก็ได้ แต่ขอแค่ให้ตัวแปรเหล่านั้นเป็นตัวแปรตัวเดียวกันครับ พี่ขอยกตัวอย่างอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวให้น้อง ๆ ดูสัก 2 อสมการนะครับ
📌 2x+3 > 7
📌 3x+5 \leqslant x-2

✨คำตอบของอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

เมื่อเราพิจารณาถึงลักษณะคำตอบของอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว เราจะสามารถแบ่งลักษณะคำตอบออกมาได้เป็น 3 ลักษณะดังนี้ครับ
📌 มีจำนวนจริงบางจำนวนเป็นคำตอบ
เช่น x+3 > 1
📌 มีจำนวนจริงทุกจำนวนเป็นคำตอบ
เช่น x-1 < x
📌 ไม่มีจำนวนจริงใดเป็นคำตอบ
เช่น x+1 \geqslant x+5

✨เส้นจำนวนแสดงคำตอบของอสมการ

โดยทั่วไปแล้วการแสดงผลคำตอบอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวนั้นเรามักจะเขียนเส้นจำนวน ประกอบด้วย เพราะเส้นจำนวนจะช่วยให้เราเห็นช่วงคำตอบของอสมการนั้น ๆ ได้ชัดเจนขึ้นมากยิ่งขึ้นนั่นเองครับ ต่อไปนี้จะเป็นสัญลักษณ์ที่น้อง ๆ ควรรู้เกี่ยวกับการเขียนเส้นจำนวนครับ

อสมการ , สมการ , เส้นจำนวน , สมการเชิงเส้น , อสมการเชิงเส้น

เพื่อให้เห็นภาพมากขึ้น พี่ขอยกตัวอย่างเป็นเส้นจำนวนที่แสดงคำตอบของอสมการ -2 < x \leqslant 4 ดังรูปต่อไปนี้ครับ

อสมการ , สมการ , เส้นจำนวน , สมการเชิงเส้น , อสมการเชิงเส้น

การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

สมบัติต่าง ๆ ต่อไปนี้เราจะเรียกว่า สมบัติของการไม่เท่ากัน (Properties of inequality) ครับ โดยจะกำหนดให้ a, b และ c เป็นจำนวนจริง

อสมการ , สมการ , เส้นจำนวน , สมการเชิงเส้น , อสมการเชิงเส้น
อสมการ , สมการ , เส้นจำนวน , สมการเชิงเส้น , อสมการเชิงเส้น
อสมการ , สมการ , เส้นจำนวน , สมการเชิงเส้น , อสมการเชิงเส้น
อสมการ , สมการ , เส้นจำนวน , สมการเชิงเส้น , อสมการเชิงเส้น
อสมการ , สมการ , เส้นจำนวน , สมการเชิงเส้น , อสมการเชิงเส้น

เมื่อเราได้เรียนรู้เกี่ยวกับสมบัติของความไม่เท่ากันแล้ว ต่อไปเราจะนำสมบัติเหล่านี้ไปใช้ในการแก้อสมการ

ตัวอย่างที่ 1 จงแก้อสมการ 6-3x > -18
อสมการ , สมการ , เส้นจำนวน , สมการเชิงเส้น , อสมการเชิงเส้น

เมื่อเราได้ลองแก้อสมการจากตัวอย่างไปแล้ว ต่อไปพี่จะพาน้อง ๆ ไปรู้จักกับการแก้ปัญหาของโจทย์ปัญหาในชีวิตประจำวันที่สามารถใช้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวมาแก้ไขได้กันครับ

โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับการแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

✨ขั้นตอนการแก้โจทย์ปัญหาอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

  1. อ่านและทำความเข้าใจโจทย์
  2. กำหนดตัวแปรในสิ่งที่โจทย์ถาม
  3. สร้างอสมการจากข้อมูลที่โจทย์ให้มา
  4. แก้อสมการ
  5. ตรวจคำตอบ

เมื่อเราได้รู้ถึงขั้นตอนวิธีการแก้โจยท์ปัญหาเกี่ยวกับอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวแล้ว ต่อไปเราจะไปลองทำโจทย์จริง ๆ กัน!

✨ตัวอย่างที่ 2 คุณแม่มีเงิน 500 บาท เธอวางแผนซื้อขนมราคา 20 บาทต่อชิ้น คุณแม่ต้องซื้อขนมอย่างน้อยกี่ชิ้นถึงจะใช้เงินเกิน 300 บาท

วิธีทำ

  1. อ่านและทำความเข้าใจโจทย์
    คุณแม่ต้องการซื้อขนมชิ้นละ 20 บาท อยากรู้ว่าซื้อกี่ชิ้นจะใช้เงินเกิน 300 บา
  2. กำหนดตัวแปรในสิ่งที่โจทย์ถาม
    กำหนดให้ x คือจำนวนขนมที่คุณแม่ต้องซื้อ
  3. สร้างอสมการจากข้อมูลที่โจทย์ให้มา
    จากโจทย์จะได้อสมการคือ 20x > 300
  4. แก้อสมการ
    จากอสมการคือ 20x > 300
    เราทำการหารด้วย 20 ทั้งสองข้างของอสมการ จะได้
    x > \dfrac{300}{20}
    x > 15
  5. ตรวจคำตอบ
    จากขั้นตอนที่ 4. เราทราบว่าุคณแม่ต้องซื้อขนมมากกว่า 15 ชิ้น จึงจะใช้เงินเกิน 300 บาท
    นั่นหมายความว่าคุณแม่ต้องซื้อขนมอย่างน้อย 16 ชิ้น
    ตรวจสอบคำตอบโดยการนำ 16 คูณกับ 20 เพื่อหาจำนวนเงินทั้งหมดที่คุณแม่ต้องใช้ จะได้ 16 \times 20 = 320 พบว่าเกิน 300 บาทตามที่โจทย์ต้องการ

ตอบ คุณแม่ต้องซื้อขนมอย่างน้อย 16 ชิ้น

✨ตัวอย่างที่ 3 พอลต้องการซื้อตั๋วภาพยนตร์ที่ราคา 120 บาทต่อตั๋ว พอลมีเงินอยู่ 600 บาท อยากทราบว่าพอลสามารถซื้อตั๋วหนังได้มากที่สุดกี่ใบ

วิธีทำ

  1. อ่านและทำความเข้าใจโจทย์
    ตั๋วภาพยนตร์ใบละ 120 บาท และพอลมีเงิน 600 บาท อยากทราบว่าพอลจะซื้อตั๋วหนังได้กี่ใบ
  2. กำหนดตัวแปรในสิ่งที่โจทย์ถาม
    กำหนดให้ x คือจำนวนตั๋วที่พอลซื้อได้
  3. สร้างอสมการจากข้อมูลที่โจทย์ให้มา
    จากโจทย์จะได้อสมการคือ 120x \leqslant 600
  4. แก้อสมการ
    จากอสมการ 120x \leqslant 600
    ทำการหารด้วย 120 ทั้งสองข้างของอสมการ จะได้
    x \leqslant \dfrac{600}{120}
    นั่นคือ x \leqslant 5
  5. ตรวจคำตอบ
    จากขั้นตอนที่ 4. เราทราบว่าพอลสามารถซื้อตั๋วหนังได้มากที่สุด 5 ใบ ตรวจสอบโดยการนำ 5 ไปคูณกับ 120 จะได้ 5 \times 120 = 600 ซึ่งยังไม่เกินจำนวนเงินที่พอลมี ดังนั้นคำตอบจึงถูกต้อง

ตอบ พอลสามารถซื้อตั๋วหนังได้มากที่สุด 5 ใบ

✨ตัวอย่างที่ 4 สามเท่าของจำนวนเต็มบวกจำนวนหนึ่งมากกว่า 15 อยู่ไม่เกิน 9 จำนวนเต็มบวกที่เป็นไปได้มีจำนวนใดบ้าง

วิธีทำ

  1. อ่านและทำความเข้าใจโจทย์โจทย์ต้องการหาจำนวนเต็มบวกทั้งหมดที่เป็นไปได้ ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขดังกล่าว
  2. กำหนดตัวแปรในสิ่งที่โจทย์ถามกำหนดให้ x คือจำนวนเต็มบวกนั้น
  3. สร้างอสมการจากข้อมูลที่โจทย์ให้มา
    จากโจทย์ เราจะได้อสมการคือ 15 < 3x \leqslant 24
  4. แก้อสมการ
    จากอสมการ 15 < 3x \leqslant 24
    ทำการหารด้วย 3 ทั้งอสมการ
    จะได้ \dfrac{15}{3} < x \leqslant \dfrac{24}{3}
    หรือก็คือ 5 < x \leqslant 8
  5. ตรวจคำตอบ
    จากการแก้อสมการ ทำให้เราทราบว่าจำนวนเต็มบวกที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ 6, 7 หรือ 8 เราสามารถตรวจคำตอบโดยการนำจำนวนเหล่านี้ไปคูณกับ 3 จะได้ 3(6) = 16, 3(7) = 21, 3(8) = 24 ซึ่งผลลัพธ์ที่ได้นั้น มากกว่า 15 และมากกว่าอยู่ไม่เกิน 9 จริง ดังนั้นคำตอบจึงถูกต้อง

ตอบ จำนวนเต็มบวกที่เป็นไปได้คือ 6, 7 และ 8

✨ตัวอย่างที่ 5 กันต์อ่านหนังสือวันแรกได้ \dfrac{2}{5} ของเล่ม วันต่อมาอ่านได้ 31 หน้า รวมสองวันอ่านได้มากกว่าครึ่งเล่ม อยากทราบว่าหนังสือเล่มนี้มีจำนวนหน้าอย่างมากกี่หน้า

วิธีทำ

  1. อ่านและทำความเข้าใจโจทย์
    วันแรกอ่านได้ \dfrac{2}{5} ของเล่ม
    วันต่อมาอ่านได้ 31 หน้า
    รวมสองวัน อ่านได้เกินครึ่งเล่ม
    อยากทราบว่าหนังสือเล่มนี้มีจำนวนหน้าอย่างมากกี่หน้า
  2. กำหนดตัวแปรในสิ่งที่โจทย์ถามกำหนดให้จำนวนหน้าทั้งหมดของหนังสือเล่มนี้คือ x
  3. สร้างอสมการจากข้อมูลที่โจทย์ให้มา
    จากโจทย์ เราจะได้อสมการคือ \dfrac{2}{5}x + 31 > \dfrac{1}{2}x
  4. แก้อสมการ
    ลบด้วย \dfrac{1}{2}x ทั้งสองข้างของอสมการ
    จะได้ \dfrac{2}{5}x – \dfrac{1}{2}x + 31 > 0
    รวมพจน์ตัวแปร จะได้ \dfrac{4}{10}x-\dfrac{5}{10}x + 31 > 0
    หรือก็คือ -\dfrac{1}{10}x + 31 > 0
    ทำการบวกด้วย \dfrac{1}{10}x ทั้งสองข้างของอสมการ
    จะได้ 31 > \dfrac{1}{10}x
    คูณด้วย 10 ทั้งสองข้างของอสมการ
    จะได้ 310 > x
  5. ตรวจคำตอบ
    จากการแก้อสมการ ทำให้เราทราบว่า x ซึ่งคือจำนวนหน้าหนังสือ ต้องน้อยกว่า 310 ดังนั้นจำนวนหน้าหนังสือที่เป็นไปได้มากที่สุดที่ควรจะเป็นคือ 309 หน้า ดังนั้นเราจึงนำ 309 ไปลองแทนในอสมการที่เราได้ตั้งไว้
    จะได้ \dfrac{2}{5}(309) + 31 > \dfrac{1}{2}(309)
    หรือก็คือ 123.6 + 31 > 154.5
    นั่นคือ 154.6 > 154.5
    ซึ่งอสมการเป็นจริง

ตอบ หนังสือเล่มนี้มีจำนวนหน้าอย่างมาก 309 หน้า

✨ตัวอย่างที่ 6 ร้านขายขนมปังแห่งหนึ่งมีต้นทุนในการผลิตขนมปัง x ชิ้นต่อวันคือ 960 + 3x บาท ถ้าร้านขายขนมปังชนิดนี้ชิ้นละ 15 บาท อยากทราบว่าร้านขนมปังต้องผลิตขนมปังอย่างต่ำวันละกี่ชิ้นจึงจะได้กำไร

วิธีทำ

  1. อ่านและทำความเข้าใจโจทย์
    ร้านขายขนมปังแห่งหนึ่งมีต้นทุนในการผลิตขนมปัง x ชิ้นต่อวันคือ 960 + 3x บาท
    ขายไปชิ้นละ 15 บาท
    อยากทราบว่าร้านขนมปังต้องผลิตขนมปังอย่างต่ำวันละกี่ชิ้นจึงจะได้กำไร
  2. กำหนดตัวแปรในสิ่งที่โจทย์ถามเนื่องจากโจทย์กำหนดตัวแปรมาให้แล้ว เราจึงไม่จำเป็นต้องกำหนดตัวแปรเพิ่มเติมครับ นั่นคือโจทย์กำหนดให้ว่าจำนวนขนมปังที่ที่ผลิตต่อวันคือ x ชิ้น
  3. สร้างอสมการจากข้อมูลที่โจทย์ให้มา
    จากโจทย์ เราจะได้อสมการคือ 15x – (960 + 3x) > 0
  4. แก้อสมการ
    ทำการเปิดวงเล็บ 15x – 960 – 3x > 0
    จากนั้นรวมพจน์ที่เป็นตัวแปร 12x – 960> 0
    บวกด้วย 960 ทั้งสองข้างของอสมการ
    จะได้ 12x > 960
    หารด้วย 12 ทั้งสองข้างของอสมการ
    จะได้ x > \dfrac{960}{12}
    หรือก็คือ x > 80
  5. ตรวจคำตอบ
    จากการแก้อสมการ ทำให้เราพบว่าจำนวนขนมปังที่ผลิตในแต่ละวัน ต้องมากกว่า 80 จึงจะได้กำไร ดังนั้นจำนวนขนมปังที่ร้านต้องผลิตอย่างต่ำในแต่ละวันต้องเป็น 81 ชิ้น เราจึงนำ 81 ไปลองแทนในอสมการที่เราตั้งไว้
    จะได้ 15(81) – (960 + 3(81)) > 0
    1215 – (960 + 243) > 0
    1215 – 1203 > 0
    12 > 0
    ซึ่งอสมการเป็นจริง

ตอบ ร้านขนมปังต้องผลิตขนมปังอย่างต่ำวันละ 81 ชิ้น จึงจะได้กำไร

เป็นยังไงกันบ้างครับ สำหรับเนื้อหาอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวที่พี่นำมาฝากน้อง ๆ ทุกคนในวันนี้ น้อง ๆ หลายคนอาจจะอ่านแล้วยังไม่เข้าใจในทันที แต่เราไม่จำเป็นต้องเข้าใจเนื้อหาทั้งหมดนี้ภายในวันเดียวหรือการอ่านเพียงรอบเดียวก็ได้ครับ เราสามารถค่อย ๆ ทบทวนเนื้อหาไปพร้อมกับการฝึกทำโจทย์เพื่อให้เก่งขึ้นได้ ถ้ารู้กสึกว่าแค่อ่านบทความแล้วไม่พอ พี่ออนดีมานด์ มีคอร์สเรียนแนะนำสำหรับน้อง ม.3 มาบอก

บทความอื่นๆ เพิ่มเติม 👉 : OnDemand

บทความอื่นๆ

เหลือเวลา

ชั่วโมง
นาที
เหลือเวลาอีก
ขั่วโมง
นาที

เหลือเวลา

ชั่วโมง
นาที

เหลือเวลา

ชั่วโมง
นาที

เหลือเวลา

ชั่วโมง
นาที

เหลือเวลา

ชั่วโมง
นาที
เหลือเวลาอีก
วัน
ชั่วโมง
นาที
ชั่วโมง
นาที

พบกับข้อเสนอพิเศษสำหรับลูกค้าเก่า

เหลือเวลา

ชั่วโมง
นาที

เหลือเวลา

ชั่วโมง
นาที

เหลือเวลา

ชั่วโมง
นาที

เหลือเวลา

ชั่วโมง
นาที

เหลือเวลา

ชั่วโมง
นาที

วันนี้เท่านั้น! รับ ID Book ฟรีทันที

ที่สาขาออนดีมานด์

พี่ออนดี้ส่งโมเมนต์สุดพิเศษให้น้อง

ต้อนรับวันวาเลนไทน์

ดีลดี ดีลเดียวก่อนหมดวันแห่งความรัก สมัครเลย

เหลือเวลา

ชั่วโมง
นาที
วัน
ชั่วโมง
นาที

เหลือเวลา

ชั่วโมง
นาที

โค้งสุดท้ายแล้ว เหลือเวลา

00
ชั่วโมง
00
นาที

เหลือเวลา

00
วัน
00
ชั่วโมง

เหลือเวลา

00
ชั่วโมง
00
นาที

วันสุดท้ายแล้ว

เหลือเวลา
00
วัน
00
ชั่วโมง

เหลือเวลา

วัน
ชั่วโมง
นาที
สิ้นสุดการรอคอย สิทธิพิเศษเฉพาะคุณ TCAS DEK68 เวอร์ชั่นใหม่ มาแล้ว !
วันสุดท้ายแล้ว
3 ชม สุดท้ายแล้วสมัครคอร์เลย
รับฟรี! ชุดแนวข้อสอบ TPAT3
ส่วนลดสูงสุด 1,000 บาท
ส่วนลดสูงสุด 500 บาท

นับถอยหลังก่อนสอบเข้าเตรียมอุดม (9 มี.ค. 67)

Days
สิ้นสุดการรอคอย สิทธิพิเศษเฉพาะคุณ TCAS DEK68 เวอร์ชั่นใหม่ มาแล้ว !
สิ้นสุดการรอคอย สิทธิพิเศษเฉพาะคุณ TCAS DEK68 เวอร์ชั่นใหม่ มาแล้ว !
สิ้นสุดการรอคอย สิทธิพิเศษเฉพาะคุณ TCAS DEK68 เวอร์ชั่นใหม่ มาแล้ว !
โปรสุดท้าย NETSAT
เพื่อน้องมข. อีก 14 วันก่อนสอบ
โปรสุดท้าย เพื่อน้อง TU
อีก 1 เดือน ก่อนสอบ
ด่วน LIVEติว เลข โค้งสุดท้าย
ก่อนสอบเตรียมอุดมฯ