สรุปสูตรออกสอบบ่อยวิชาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย

รวมสูตรออกสอบบ่อย คณิต ม.4 

เซต (Set)

• จำนวนสับเซตของเซตที่มีสมาชิก n ตัว เท่ากับ 2^n
• จำนวนสมาชิกของเพาเวอร์เซตของเซต A เท่ากับ n(P(A)) = 2^{n(A)}
• n(A \cup B) = n(A) + n(B) – n(A \cap B)
• n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A \cap B) – n(A \cap C) – n(B \cap C) + n(A \cap B \cap C)

ตรรกศาสตร์ (Logic)

• ตารางค่าความจริง

ตัวเชื่อม	สัญลักษณ์	จุดสังเกตสำคัญ
และ	\land	เป็นจริง (T) เมื่อ จริงคู่ เท่านั้น
หรือ	\lor	เป็นเท็จ (F) เมื่อ เท็จคู่ เท่านั้น
ถ้า…แล้ว…	\rightarrow	เป็นเท็จ (F) กรณีเดียวคือ หน้าจริง หลังเท็จ (T \rightarrow F)
ก็ต่อเมื่อ	\leftrightarrow	เป็นจริง (T) เมื่อ เหมือนกัน (T \leftrightarrow T หรือ F \leftrightarrow F)

รูปแบบการสมมูลกันของประพจน์ที่สำคัญ

• \sim(\sim P) \equiv P
• P \rightarrow Q \equiv \sim P \lor Q \equiv \sim Q \rightarrow \sim P
• P \leftrightarrow Q \equiv (P \rightarrow Q) \land (Q \rightarrow P)
• \sim(P \land Q) \equiv \sim P \lor \sim Q และ \sim(P \lor Q) \equiv \sim P \land \sim Q

จำนวนจริง (Real Number)

• ทฤษฎีบทเศษเหลือ

ถ้า P(x) หารด้วย x – c เศษที่ได้จะเท่ากับ P(c)

และถ้า P(c) = 0 จะได้ว่า x – c หาร P(x) ลงตัว หรือเป็นตัวประกอบของ P(x)

• นิยามของค่าสัมบูรณ์
  • |x| = x เมื่อ x > 0
  • |x| = 0 เมื่อ x = 0
  • |x| = -x เมื่อ x < 0
• สมบัติของค่าสัมบูรณ์ที่ควรรู้

1. |x| = a ก็ต่อเมื่อ x = a หรือ x = -a (เมื่อ a \ge 0)
2. |x| < a ก็ต่อเมื่อ -a < x < a
3. |x| > a ก็ต่อเมื่อ x < -a หรือ x > a

เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย (Analytic Geometry & Conic Section)

เรขาคณิตวิเคราะห์

• ระยะทางระหว่างจุดสองจุด: d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}
• ความชัน (m): m = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}
• ระยะห่างระหว่างจุดกับเส้นตรง: d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}

ภาคตัดกรวย

กราฟ	สมการรูปแบบมาตรฐาน
วงกลมจุดศูนย์กลาง (h,k)	(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2
พาราโบลาจุดยอด (h,k)	(x – h)^2 = 4c(y – k) (หงาย/คว่ำ) (y – k)^2 = 4c(x – h) (ตะแคงขวา/ซ้าย)
วงรีจุดศูนย์กลาง (h,k)	\frac{(x – h)^2}{a^2} + \frac{(y – k)^2}{b^2} = 1 (วงรีนอน) \frac{(x – h)^2}{b^2} + \frac{(y – k)^2}{a^2} = 1 (วงรีตั้ง) โดยที่ a^2 = b^2 + c^2
ไฮเพอร์โบลาจุดศูนย์กลาง (h,k)	\frac{(x – h)^2}{a^2} – \frac{(y – k)^2}{b^2} = 1 (ไฮเพอร์โบลานอน) \frac{(y – k)^2}{a^2} – \frac{(x – h)^2}{b^2} = 1 (ไฮเพอร์โบลาตั้ง) โดยที่ c^2 = a^2 + b^2

ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน (Relations and Functions)

• โดเมน D_r คือเซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับใน r

เรนจ์ R_r คือเซตของสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับใน r

โดยมีหลักการหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์จากเงื่อนไข ดังนี้

โดเมน (x)	เรนจ์ (y)
จัจัด y ในเทอมของ x จารณาค่า x ที่ทำให้หาค่า y ได้	จัด x ในเทอมของ y จารณาค่า y ที่ทำให้หาค่า x ได้
หลักการพิจารณา ตัวส่วน \neq 0 |◻|0 คู่◻0 และ ◻0 ◻คู่0

• หลักการพิจารณาฟังก์ชัน

แบบแจกแจงสมาชิก	ถ้ามี x ที่จับกับ y หลายตัว \rightarrow ไม่เป็นฟังก์ชัน
แบบบอกเงื่อนไข	แทนค่า x 1 ค่า แล้วได้ y มากกว่า 1 ค่า \rightarrow ไม่เป็นฟังก์ชัน
กราฟ	ลากเส้นขนานแกน Y ตัดกราฟมากกว่า 1 จุด \rightarrow ไม่เป็นฟังก์ชัน

• สมบัติที่สำคัญของฟังก์ชันอินเวอร์ส

1. D_{f^{-1}} = R_f และ R_{f^{-1}} = D_f
2. (y, x) \in f^{-1} ก็ต่อเมื่อ (x, y) \in f

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม (Exponential & Logarithm)

• สมบัติของเลขยกกำลังที่ควรรู้

1. a^m \cdot a^n = a^{m+n}
2. \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}
3. (a^m)^n = a^{mn}
4. (ab)^n = a^n b^n
5. \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}
6. a^{-n} = \frac{1}{a^n}
7. a^0 = 1 (เมื่อ a \neq 0)

• สมบัติของลอการิทึมที่ควรรู้

1. \log_a (mn) = \log_a m + \log_a n
2. \log_a \left(\frac{m}{n}\right) = \log_a m – \log_a n
3. \log_a (m^p) = p \log_a m
4. \log_a a = 1 และ \log_a 1 = 0
5. \log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}
6. a^{\log_a x} = x

รวมสูตรออกสอบบ่อย คณิต ม.5

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (Trigonometry)

• เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

1. \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1
2. 1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta
3. 1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta

• สูตรผลบวก-ผลต่างมุม:

1. \sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B
2. \cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B
3. \tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}

• สูตรมุมสองเท่า:

1. \sin 2A = 2 \sin A \cos A = \frac{2 \tan A}{1 + \tan^2 A}
2. \cos 2A = \cos^2 A – \sin^2 A = 2\cos^2 A – 1 = 1 – 2\sin^2 A = \frac{1 – \tan^2 A}{1 + \tan^2 A}
3. \tan 2A = \frac{2 \tan A}{1 – \tan^2 A}

• ฟังก์ชันตรีโกณมิติกับเรขาคณิต

1. กฎของโคไซน์

a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cos A b^2 = a^2 + c^2 – 2ac \cos B c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C

1. กฎของไซน์

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R

เมทริกซ์ (Matrix)

• สมบัติของดีเทอร์มิแนนต์

1. \det(AB) = \det(A) \det(B)
2. \det(A^T) = \det(A)
3. \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}
4. \det(kA) = k^n \det(A) โดยที่ n คือมิติของ A

• อินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์

เวกเตอร์ (Vector)

• เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉากสองมิติและสามมิติ

• ผลคูณเชิงสเกลาร์ (Dot Product)

• ผลคูณเชิงเวกเตอร์ (Cross Product)

และ |\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}||\vec{v}|\sin\theta โดย \theta เป็นมุมแบบหางต่อหาง

จำนวนเชิงซ้อน (Complex Numbers)

จำนวนเชิงซ้อนประกอบด้วยส่วนจริงและส่วนจินตภาพ z = a + bi, โดยที่ i^2 = -1

• |z|^2 = z \cdot \bar{z} = a^2 + b^2

• รูปเชิงขั้ว (Polar Form): z = r(\cos\theta + i \sin\theta) = r\,\text{cis}\,\theta โดยที่ r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2} และ \tan\theta = \frac{b}{a}
• ทฤษฎีบทของจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว (De Moivre’s Theorem): z^n = r^n(\cos n\theta + i \sin n\theta)
• ถ้า z = a + bi เป็นคำตอบของสมการพหุนามดีกรี n ที่สัมประสิทธิ์ทุกตัวเป็นจำนวนจริง แล้วสังยุค \bar{z} = a – bi จะเป็นคำตอบของสมการนั้นด้วย

หลักการนับและความน่าจะเป็น (Probability)

• ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} โดย 0 \le P(E) \le 1
• ถ้ามีของ n สิ่งที่แตกต่างกัน:

1. เลือกมาเรียงเป็นเส้นตรง r สิ่ง ได้ P_{n,r} = \frac{n!}{(n-r)!} วิธี
2. เลือกมาจัดหมู่ r สิ่ง ได้ C_{n,r} = \binom{n}{r} = \frac{n!}{(n-r)!r!} วิธี
3. นำมาเรียงเป็นวงกลม (มองได้ด้านเดียว) ได้ (n-1)! วิธี

รวมสูตรออกสอบบ่อย คณิต ม.6

ลำดับและอนุกรม (Sequences & Series)

ประเภท	สูตรพจน์ทั่วไปของลำดับ (a_n)	สูตรอนุกรมจำกัด (S_n)
เลขคณิต	a_n = a_1 + (n-1)d	S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]
เรขาคณิต	a_n = a_1 r^{n-1}	S_n = \frac{a_1(1 – r^n)}{1 – r} = \frac{a_1(r^n – 1)}{r – 1} (เมื่อ r \neq 1)

แคลคูลัส (Calculus)

• ฟังก์ชัน f(x) จะต่อเนื่องที่ x = a ก็ต่อเมื่อ

1. f(a) หาค่าได้
2. \lim_{x \to a} f(x) หาค่าได้
3. \lim_{x \to a} f(x) = f(a)

• สูตรการหาอนุพันธ์

• สูตรการอินทิเกรต

สถิติ (Statistics)

• สูตรการหาค่ากลางของข้อมูล

1. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต : \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n} หรือ \mu = \frac{\sum_{i=1}^N x_i}{N}
2. มัธยฐาน : เรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก หาตำแหน่งมัธยฐานด้วยสูตร \frac{N+1}{2} มัธยฐานคือค่าที่ตำแหน่งนั้น
3. ฐานนิยม : ค่าของข้อมูลที่ซ้ำกันมากที่สุด

• สูตรส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ประชากร	กลุ่มตัวอย่าง
\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i – \mu)^2}{N}}	s = \sqrt{\frac{\sum (x_i – \bar{x})^2}{n – 1}}

• ค่ามาตรฐาน z = \frac{x – \mu}{\sigma} หรือ z = \frac{x – \bar{x}}{s}

ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น (Random Variables)

• ค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง : E(X) = \mu = \sum x_i P(X = x_i)
• การแจกแจงทวินาม : P(X = x) = \binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x}
• การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง

สอบถามรายละเอียดคอร์สเรียนเพิ่มเติม

• Add Line : Ondemand Education
• โทรศัพท์ : 02-251-9456 (08.00-20.00)

คำถามที่พบบ่อย (FAQs) เกี่ยวกับเนื้อหาและสูตรคณิตศาสตร์ ม.ปลาย