Key Takeaways:
จำนวนเชิงซ้อน (Complex Number): อยู่ในรูป z = a + bi โดยที่ a คือส่วนจริง และ b คือส่วนจินตภาพ หน่วยจินตภาพ (i): นิยามโดย i = \sqrt{-1} หรือ i^2 = -1 มีสมบัติการวนลูปทุกๆ 4 ค่าพลังงาน การดำเนินการ: การบวก/ลบทำแยกส่วนจริงและส่วนจินตภาพ ส่วนการหารใช้สังยุคของตัวหารในการคูณทั้งเศษและส่วน รูปเชิงขั้ว (Polar Form): ช่วยให้การยกกำลังและการถอดรากของจำนวนเชิงซ้อนทำได้ง่ายขึ้นโดยใช้ทฤษฎีบทของเดอมัวฟร์ (De Moivre’s Theorem)
Table of Contents
บทเรียนเรื่อง จำนวนเชิงซ้อน ม.5 ถือเป็นหนึ่งในบทเรียนสำคัญของวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.ปลาย ที่ต่อยอดระบบจำนวนจริงให้สมบูรณ์ยิ่งขึ้น โดยเฉพาะการแก้สมการที่ไม่สามารถหาคำตอบในระบบจำนวนจริงได้ บทความนี้จะพาน้องๆ ม.5 ไปทำความเข้าใจเรื่องจำนวนเชิงซ้อนอย่างเจาะลึก ตั้งแต่นิยามพื้นฐาน การดำเนินการ สูตรจำนวนเชิงซ้อน การแปลงเป็นรูปเชิงขั้ว ตลอดจนตะลุย โจทย์จำนวนเชิงซ้อนพร้อมเฉลย เพื่อเตรียมความพร้อมสำหรับสอบในโรงเรียนและสอบเข้ามหาวิทยาลัย (A-Level / TPAT)
สมัครเรียนคอร์สคณิตศาสตร์ ม.ปลาย : จำนวนเชิงซ้อน กับ OnDemand
จำนวนเชิงซ้อน คืออะไร? นิยามและโครงสร้างพื้นฐาน
ในระบบจำนวนจริง เมื่อเราเจอยกกำลังสอง เช่น x^2 = -1 จะพบว่าไม่มีจำนวนจริงใดที่ยกกำลังสองแล้วได้ค่าติดลบ จึงมีการสร้างระบบจำนวนใหม่ขึ้นมาเรียกว่า จำนวนเชิงซ้อน (Complex Numbers)
ส่วนจริง (Real Part) และส่วนจินตภาพ (Imaginary Part)
จำนวนเชิงซ้อนมักเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ z ซึ่งอยู่ในรูปมาตรฐานคือ:
z = a + biโดยที่:
- a คือ ส่วนจริง (Real Part) เขียนแทนด้วย Re(z) = a
- b คือ ส่วนจินตภาพ (Imaginary Part) เขียนแทนด้วย Im(z) = b
- i คือ หน่วยจินตภาพ (Imaginary Unit)
นิยามของ i และสมบัติการวนลูปของ i^n
ค่าของ i มีนิยามหลักคือ i = \sqrt{-1} หรือ i^2 = -1 ซึ่งเลขยกกำลังของ i จะมีรูปแบบการวนลูปทุกๆ 4 ลำดับ ดังนี้:
- i^1 = i
- i^2 = -1
- i^3 = -i
- i^4 = 1
เทคนิคการคำนวณ i^n: ให้นำเลขชี้กำลัง n มาหารด้วย 4 แล้วดูเศษที่เหลือ:
- เศษ 1 ค่าเท่ากับ i
- เศษ 2 ค่าเท่ากับ -1
- เศษ 3 ค่าเท่ากับ -i
- ลงตัว (เศษ 0) ค่าเท่ากับ 1
การบวก ลบ คูณ และหาร จำนวนเชิงซ้อน
การดำเนินการของ จำนวนเชิงซ้อน ม.5 มีหลักการคล้ายกับการพหุนามทั่วไป ดังนี้:
การบวกและการลบ
ให้นำส่วนจริงบวก/ลบกับส่วนจริง และนำส่วนจินตภาพบวก/ลบกับส่วนจินตภาพ
กำหนดให้ z_1 = a + bi และ z_2 = c + di
- z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i
- z_1 – z_2 = (a – c) + (b – d)i
การคูณ
ใช้กฎการกระจายแบบพหุนาม โดยจำไว้เสมอว่า i^2 = -1
z_1 \cdot z_2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac – bd) + (ad + bc)iการหาร
การหารจำนวนเชิงซ้อน จะใช้วิธีนำ สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน (Conjugate) ของตัวหารมาคูณทั้งเศษและส่วน เพื่อเปลี่ยนส่วนจินตภาพที่ตัวหารให้กลายเป็นจำนวนจริง
สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน (Conjugate) และค่าสัมบูรณ์ (Absolute Value)
สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน (Conjugate)
ถ้า z = a + bi สังยุคของ z เขียนแทนด้วย \bar{z} คือการเปลี่ยนเครื่องหมายหน้าส่วนจินตภาพเป็นตรงกันข้าม:
\bar{z} = a – biสมบัติสำคัญของสังยุค:
- z \cdot \bar{z} = a^2 + b^2 (ผลลัพธ์เป็นจำนวนจริงเสมอ)
- \overline{z_1 \pm z_2} = \bar{z}_1 \pm \bar{z}_2
- \overline{z_1 \cdot z_2} = \bar{z}_1 \cdot \bar{z}_2
ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน (Absolute Value)
ค่าสัมบูรณ์ของ z = a + bi เขียนแทนด้วย |z| คือระยะห่างจากจุดกำเนิด (0,0) บนระนาบเชิงซ้อน คำนวณจาก:
|z| = \sqrt{a^2 + b^2}จำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว (Polar Form)
เมื่อต้องการยกกำลังสูงๆ หรือถอดรากของจำนวนเชิงซ้อน การใช้รูปมาตรฐาน a + bi จะคำนวณได้ยาก จึงนิยมเปลี่ยนเป็น รูปเชิงขั้ว
สูตรการแปลงเป็นรูปเชิงขั้ว
z = r(\cos\theta + i\sin\theta) หรือเขียนย่อว่า z = r \text{cis} \theta
โดยที่:
- r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2} (ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน)
- \tan\theta = \frac{b}{a} โดย \theta คืออาร์กิวเมนต์ (Argument) ของ z (ระวังการเช็คควัอดรันต์ของจุด (a,b))
ทฤษฎีบทของเดอมัวฟร์ (De Moivre’s Theorem)
ใช้สำหรับการยกกำลังของจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว:
z^n = [r(\cos\theta + i\sin\theta)]^n = r^n(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta))รวม สูตรจำนวนเชิงซ้อน ม.5 ที่ต้องจำ
หัวข้อ | สูตรคำนวณ |
|---|---|
รูปมาตรฐาน | z = a + bi |
สังยุค (Conjugate) | \bar{z} = a – bi |
ค่าสัมบูรณ์ (Absolute Value) | |z| = \sqrt{a^2 + b^2} และ |z|^2 = z \cdot \bar{z} |
รูปเชิงขั้ว (Polar Form) | z = r(\cos\theta + i\sin\theta) โดย r = \sqrt{a^2 + b^2}, \tan\theta = \frac{b}{a} |
ทฤษฎีบทเดอมัวฟร์ | z^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta) |
ตัวผกผันการคูณ (z^{-1}) | z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^2} |
โจทย์จำนวนเชิงซ้อนพร้อมเฉลย ละเอียด
ตัวอย่างโจทย์ที่ 1: การหาค่าของ i^n
โจทย์: จงหาค่าของ i^{2567} + i^{2024}
เฉลยละเอียด:
- พิจารณา i^{2567}: นำ 2567 หารด้วย 4 ได้เศษ 3 ดังนั้น i^{2567} = i^3 = -i
- พิจารณา i^{2024}: นำ 2024 หารด้วย 4 หารลงตัว (เศษ 0) ดังนั้น i^{2024} = i^4 = 1
- ผลบวก: i^{2567} + i^{2024} = -i + 1 = 1 – i
ตอบ: 1 – i
ตัวอย่างโจทย์ที่ 2: การคูณและการหารจำนวนเชิงซ้อน
โจทย์: กำหนดให้ z = \frac{3 + 4i}{1 – 2i} จงเขียน z ในรูป a + bi และหาค่าของ |z|
เฉลยละเอียด:
- นำสังยุคของตัวหารคือ 1 + 2i มาคูณทั้งเศษและส่วน:
z = \frac{(3 + 4i)(1 + 2i)}{(1 – 2i)(1 + 2i)} - คำนวณตัวเศษ:
(3 + 4i)(1 + 2i) = 3 + 6i + 4i + 8i^2 = 3 + 10i – 8 = -5 + 10i - คำนวณตัวส่วน:
(1 – 2i)(1 + 2i) = 1^2 – (2i)^2 = 1 – (-4) = 5 - จะสอดคล้องได้ว่า:
z = \frac{-5 + 10i}{5} = -1 + 2i - หาค่าสัมบูรณ์ |z|:
|z| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}
ตอบ: z = -1 + 2i และ |z| = \sqrt{5}
ตัวอย่างโจทย์ที่ 3: การยกกำลังด้วยรูปเชิงขั้ว
โจทย์: จงหาค่าของ (1 + \sqrt{3}i)^6
เฉลยละเอียด:
- ให้ z = 1 + \sqrt{3}i แปลงเป็นรูปเชิงขั้ว:
หา r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2
หามุม \theta: \tan\theta = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3} เนื่องจากอยู่ควัอดรันต์ที่ 1 จะได้ \theta = 60^\circ หรือ \frac{\pi}{3}
ดังนั้น z = 2(\cos 60^\circ + i\sin 60^\circ) - ใช้ทฤษฎีบทของเดอมัวฟร์หา z^6:
z^6 = 2^6 (\cos(6 \times 60^\circ) + i\sin(6 \times 60^\circ))
z^6 = 64 (\cos 360^\circ + i\sin 360^\circ) - แทนค่ามุม:
\cos 360^\circ = 1 และ \sin 360^\circ = 0
z^6 = 64(1 + 0i) = 64
ตอบ: 64
สอบถามรายละเอียดคอร์สเรียนเพิ่มเติม
- Add Line : Ondemand Education
- โทรศัพท์ : 02-251-9456 (08.00-20.00)
คำถามที่พบบ่อย (FAQs)
Q: จำนวนจริงถือเป็นจำนวนเชิงซ้อนหรือไม่?
A: ถือเป็นจำนวนเชิงซ้อนครับ โดยจำนวนจริงทุกจำนวนจะมีส่วนจินตภาพเป็น 0 เช่น 5 = 5 + 0i ดังนั้น ระบบจำนวนจริงจึงเป็นสับเซตของระบบจำนวนเชิงซ้อน
Q: |z_1 + z_2| = |z_1| + |z_2| เสมอหรือไม่?
A: ไม่จำเป็นครับ ตามอสมการสามเหลี่ยม (Triangle Inequality) ค่าของ |z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2| เสมอ จะเท่ากันก็ต่อเมื่อ z_1 และ z_2 อยู่ในทิศทางเดียวกันจากจุดกำเนิด
Q: จะเปลี่ยนจำนวนเชิงซ้อนเป็นรูปเชิงขั้วอย่างไรถ้าจุดตกในควัอดรันต์ที่ 2, 3 หรือ 4?
A: ให้พิจารณาเครื่องหมายของส่วนจริง a และส่วนจินตภาพ b เพื่อหาควัอดรันต์ก่อน เช่น (-1, 1) อยู่ในควัอดรันต์ที่ 2 มุมอ้างอิงคือ 45^\circ แต่มุมจริงคือ 180^\circ – 45^\circ = 135^\circ
