สมัครเรียน
Logo
สมัครคอร์ส

เมทริกซ์ ม.ปลาย ครบทุกสูตร พร้อมแนวตัวอย่างโจทย์และการแก้ปัญหา

- สถาบันกวดวิชา OnDemand

Key Takeaways:

เมทริกซ์คือกลุ่มของตัวเลขที่จัดเรียงในรูปแบบแถวและหลัก บ่งบอกขนาดด้วยมิติ (แถว × หลัก) ซึ่งเป็นพื้นฐานสำคัญของคณิตศาสตร์ ม.ปลาย การดำเนินการบวกลบทำได้เฉพาะเมทริกซ์ที่มิติเท่ากัน ส่วนการคูณเมทริกซ์จำนวนหลักของตัวตั้งต้องเท่ากับจำนวนแถวของตัวคูณ ดีเทอร์มิแนนต์ (det) เป็นค่าคงที่ที่หาได้เฉพาะเมทริกซ์จัตุรัส และมีสมบัติที่ช่วยลดรูปการคำนวณในข้อสอบได้อย่างรวดเร็ว อินเวอร์สการคูณ ของเมทริกซ์จะหาได้ก็ต่อเมื่อเมทริกซ์นั้นเป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน หรือค่า det ไม่เท่ากับศูนย์

Table of Contents

บทนำ: ทำความรู้จักกับวิชา เมทริกซ์ ม.ปลาย

ยินดีต้อนรับน้องๆ นักเรียน ม.ปลาย ทุกคนเข้าสู่เนื้อหาบทเรียนคณิตศาสตร์เพิ่มเติมที่สำคัญที่สุดบทหนึ่ง นั่นคือเรื่อง เมทริกซ์ ม.ปลาย สำหรับใครหลายคน บทเรียนนี้อาจดูเป็นเรื่องใหม่ที่มีเครื่องหมายวงเล็บเหลี่ยมและตัวเลขเรียงกันจำนวนมากจนน่าปวดหัว แต่ในความเป็นจริงแล้ว เมทริกซ์เป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ทรงพลังและมีระบบระเบียบอย่างมาก ไม่เพียงแต่เป็นหัวข้อหลักที่ออกข้อสอบในสนามสอบสำคัญอย่าง A-Level คณิตศาสตร์ หรือ TPAT วิศวกรรมศาสตร์ แต่ยังเป็นรากฐานที่สำคัญอย่างยิ่งในระดับอุดมศึกษา ไม่ว่าจะเป็นการเรียนวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ การพัฒนาปัญญาประดิษฐ์ (AI) วิศวกรรมศาสตร์ทุกสาขา คอมพิวเตอร์กราฟิก 3 มิติ และการวิเคราะห์โครงสร้างทางเศรษฐศาสตร์

ในบทความบล็อกนี้ พี่ได้รวบรวมเนื้อหาทั้งหมดของ เมทริกซ์ ม.ปลาย มาอธิบายอย่างละเอียดตั้งแต่ระดับพื้นฐานที่สุด ไปจนถึงการสรุป สูตรเมทริกซ์ ทั้งหมดที่ต้องจำ พร้อมเทคนิคการทำ โจทย์เมทริกซ์ ม.ปลาย เพื่อให้น้องๆ สามารถนำไปใช้เพิ่มเกรดที่โรงเรียน และทำคะแนนสอบเข้ามหาวิทยาลัยได้อย่างยอดเยี่ยมและแม่นยำ

สมัครเรียนคอร์สคณิตศาสตร์ ม.ปลาย : เมทริกซ์ กับ OnDemand

มิติและสัญลักษณ์ของเมทริกซ์ที่ถูกต้อง

เมทริกซ์ (Matrix) ในทางคณิตศาสตร์ คือ กลุ่มของจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนที่นำมาจัดเรียงกันในรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก (ผืนผ้าหรือจัตุรัส) ภายในเครื่องหมายวงเล็บเหลี่ยม [ ] หรือวงเล็บโค้ง ( ) โดยเราจะเรียกตัวเลขแต่ละตัวที่อยู่ภายในเมทริกซ์นั้นว่า “สมาชิก (Element)” ของเมทริกซ์

การเขียนสัญลักษณ์ของเมทริกซ์มักจะใช้ตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์ใหญ่ เช่น A, B, C และสัญลักษณ์สมาชิกภายในจะใช้ตัวอักษรพิมพ์เล็กพร้อมระบุดัชนีแถวและหลัก เช่น a_{ij} ซึ่งหมายถึง สมาชิกของเมทริกซ์ A ที่อยู่ในตำแหน่งแถวที่ i (แนวนอน) และหลักที่ j (แนวตั้ง)

สิ่งสำคัญที่ห้ามลืมเด็ดขาดคือ มิติ (Dimension) หรือ ขนาดของเมทริกซ์ ซึ่งจะเขียนระบุในรูป m \times n โดยที่ m คือจำนวนแถวทั้งหมด และ n คือจำนวนหลักทั้งหมด ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์ที่มีขนาด 2 \times 3 หมายความว่าเมทริกซ์นั้นมี 2 แถว และมี 3 หลักนั่นเอง

- สถาบันกวดวิชา OnDemand

ประเภทของเมทริกซ์ที่พบบ่อยในข้อสอบ ม.ปลาย

ก่อนที่เราจะไปเจาะลึกเรื่องการคำนวณและสูตรต่างๆ น้องๆ จำเป็นต้องรู้จักประเภทของเมทริกซ์แต่ละชนิดให้แม่นยำก่อน เพราะโจทย์ในข้อสอบมักจะระบุชื่อประเภทมาตรงๆ โดยไม่บอกสมบัติเพิ่มเติม ซึ่งประเภทหลักๆ มีดังนี้:

เมทริกซ์แถว (Row Matrix)

เมทริกซ์ที่มีเพียง 1 แถวเท่านั้น แต่จะมีกี่หลักก็ได้ มิติจะเป็น 1 \times n เช่น A = \begin{bmatrix} 1 & 5 & -2 \end{bmatrix}

เมทริกซ์หลัก (Column Matrix)

เมทริกซ์ที่มีเพียง 1 หลักเท่านั้น แต่จะมีกี่แถวก็ได้ มิติจะเป็น m \times 1 เช่น B = \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 7 \end{bmatrix}

เมทริกซ์ศูนย์ (Zero Matrix)

เมทริกซ์ที่สมาชิกทุกตัวภายในเป็นเลข 0 ทั้งหมด เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ \underline{0} มีมิติเท่าใดก็ได้

เมทริกซ์จัตุรัส (Square Matrix)

เมทริกซ์ที่มีจำนวนแถวเท่ากับจำนวนหลักพอดี เช่น มิติ 2 \times 2, 3 \times 3, หรือ 4 \times 4 เมทริกซ์ประเภทนี้มีความสำคัญมากที่สุดเพราะสามารถนำไปหาค่า ดีเทอร์มิแนนต์ ได้

เมทริกซ์เฉียง (Diagonal Matrix)

เมทริกซ์จัตุรัสที่สมาชิกทุกตัวที่อยู่ภายนอกเส้นทแยงมุมหลัก (Main Diagonal) มีค่าเป็นเลข 0 ทั้งหมด ส่วนสมาชิกบนเส้นทแยงมุมหลักจะเป็นเลขอะไรก็ได้

เมทริกซ์เอกลักษณ์ (Identity Matrix)

เมทริกซ์เฉียงที่สมาชิกทุกคนบนเส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากับ 1 เสมอ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ I หรือ I_n (เมื่อ n คือขนาดมิติ) เมทริกซ์เอกลักษณ์มีสมบัติเหมือนเลข 1 ในระบบจำนวนจริง คือเมื่อนำไปคูณกับเมทริกซ์ใดๆ จะได้เมทริกซ์เดิมเสมอ นั่นคือ AI = IA = A

เมทริกซ์สลับเปลี่ยน (Transpose of a Matrix)

เมทริกซ์ที่เกิดจากการพลิกเปลี่ยนแถวให้กลายเป็นหลัก และเปลี่ยนหลักให้กลายเป็นแถว เขียนแทนด้วย A^t หรือ A^T เช่น ถ้า A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} จะได้ A^t = \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix}

การดำเนินการทางเมทริกซ์ (Matrix Operations)

การคำนวณพื้นฐานของเมทริกซ์แบ่งออกเป็น 3 รูปแบบหลักๆ ซึ่งมีกฎเกณฑ์และข้อควรระวังที่แตกต่างกันอย่างสิ้นเชิง ดังนี้ครับ

การบวกและการลบเมทริกซ์

กฎเหล็กที่สำคัญที่สุดของการบวกและการลบเมทริกซ์คือ เมทริกซ์เหล่านั้นต้องมีมิติหรือขนาดที่เท่ากันทุกประการเท่านั้น จึงจะสามารถนำมาบวกลบกันได้ วิธีการคำนวณคือให้นำสมาชิกที่อยู่ในตำแหน่งเดียวกันของแต่ละเมทริกซ์มาบวกหรือลบกันโดยตรง ผลลัพธ์ที่ได้จะมีมิติเท่าเดิม ตัวอย่างเช่น:

กำหนดให้ A = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 4 & 1 \end{bmatrix} และ B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}

จะได้ A + B = \begin{bmatrix} 2+5 & -3+6 \\ 4+(-1) & 1+3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 3 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}

การคูณเมทริกซ์ด้วยสเกลาร์ (จำนวนจริง)

สเกลาร์ (Scalar) ก็คือตัวเลขหรือจำนวนจริงทั่วไป เมื่อเราต้องการนำตัวเลข k ใดๆ ไปคูณกับเมทริกซ์ ให้นำตัวเลข k นั้นกระจายเข้าไปคูณกับสมาชิกทุกตัวที่อยู่ภายในเมทริกซ์โดยไม่มีข้อยกเว้น เช่น:

ถ้าต้องการหาค่า 4A เมื่อกำหนดให้ A = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}

จะได้ 4A = \begin{bmatrix} 4(1) & 4(-2) \\ 4(3) & 4(5) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & -8 \\ 12 & 20 \end{bmatrix}

การคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์

นี่คือหัวข้อที่ออกสอบบ่อยที่สุดและนักเรียนมักจะทำผิดพลาดมากที่สุดในเรื่อง เมทริกซ์ ม.ปลาย การคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์ไม่ได้นำสมาชิกตำแหน่งเดียวกันมาคูณกัน แต่มีกฎเกณฑ์เฉพาะตัว:

  1. เงื่อนไขมิติ: เมทริกซ์ A ขนาด m \times n จะสามารถคูณกับเมทริกซ์ B ขนาด n \times p ได้ก็ต่อเมื่อ จำนวนหลักของตัวตั้ง (n) ต้องเท่ากับจำนวนแถวของตัวคูณ (n) เท่านั้น และผลลัพธ์เมทริกซ์ C ที่ได้จะมีมิติเท่ากับ m \times p
  2. วิธีการคำนวณ: ให้ใช้หลักการ “แถวคูณหลัก” โดยนำสมาชิกในแถวที่ i ของเมทริกซ์ตัวตั้ง ไปคูณกับสมาชิกในหลักที่ j ของเมทริกซ์ตัวคูณคู่กันทีละตัว จากนั้นนำผลคูณทั้งหมดมาบวกกันเพื่อเป็นสมาชิกตำแหน่ง c_{ij}

ข้อควรระวังอย่างยิ่ง: เมทริกซ์ไม่มีสมบัติการสลับที่สำหรับการคูณ นั่นหมายความว่า โดยทั่วไปแล้ว AB \neq BA ลำดับในการคูณจึงมีความสำคัญ

ดีเทอร์มิแนนต์ (Determinant)

ดีเทอร์มิแนนต์ หรือเขียนย่อว่า det เป็นค่าคงที่หรือตัวเลขจำนวนจริงที่คำนวณได้จากเมทริกซ์จัตุรัสเท่านั้น ค่า det นี้จะช่วยบอกสภาวะต่างๆ ของเมทริกซ์ และใช้ประยุกต์แก้ระบบสมการได้อย่างรวดเร็ว

วิธีการหาดีเทอร์มิแนนต์ขนาด 2×2

ถ้ากำหนดให้ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} สูตรการคำนวณหา det ที่จำง่ายที่สุดคือ “คูณลง ลบ คูณขึ้น”

\det(A) = ad – bc

det 2x2 1 - สถาบันกวดวิชา OnDemand

วิธีการหาดีเทอร์มิแนนต์ขนาด 3×3

สำหรับเมทริกซ์ขนาด 3 \times 3 วิธีการยอดนิยมคือให้น้องๆ นำสมาชิกในหลักที่ 1 และหลักที่ 2 ไปเขียนต่อท้ายฝั่งขวาของเมทริกซ์เดิม จากนั้นลากเส้นทแยงมุมคูณเฉียงลงมา 3 เส้น (จับผลคูณแต่ละเส้นมารวมกัน) และลากเส้นทแยงมุมคูณเฉียงขึ้นไป 3 เส้น (จับผลคูณแต่ละเส้นมารวมกันแล้วเปลี่ยนเป็นเครื่องหมายตรงข้ามหรือใส่ลบข้างหน้า) สุดท้ายนำผลลัพธ์ทั้งสองส่วนมาบวกกันเพื่อหาค่า det

det 3x3 1 - สถาบันกวดวิชา OnDemand

สมบัติของ ดีเทอร์มิแนนต์ ที่ออกสอบบ่อยที่สุด

ในข้อสอบระดับแข่งขันหรือแนว โจทย์เมทริกซ์ ม.ปลาย มักจะไม่ให้เราคำนวณหา det ตรงๆ จากเมทริกซ์ขนาดใหญ่ แต่จะทดสอบความเข้าใจเกี่ยวกับสมบัติของ det เพื่อตัดรูปสมการให้สั้นลง ตารางด้านล่างนี้คือสูตรที่น้องๆ ต้องท่องจำให้ขึ้นใจก่อนเข้าห้องสอบ:

สูตร / สมบัติของ ดีเทอร์มิแนนต์

คำอธิบายและการนำไปใช้ในข้อสอบ

\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)

ดีเทอร์มิแนนต์สามารถกระจายเข้าไปในการคูณเมทริกซ์ได้โดยตรง

\det(A^t) = \det(A)

การสลับเปลี่ยนแถวเป็นหลัก (Transpose) ไม่มีผลทำให้ค่า det เปลี่ยนแปลง

\det(kA) = k^n \cdot \det(A)

เมื่อดึงตัวเลข k ออกนอก det ต้องยกกำลังด้วย n ซึ่งเป็นมิติขนาดของเมทริกซ์จัตุรัสนั้น

\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}

det ของอินเวอร์สการคูณมีค่าเท่ากับส่วนกลับของ det ของเมทริกซ์เดิม (โดยที่ det ต้องไม่เท่ากับ 0)

\det(A^m) = (\det(A))^m

เราสามารถหา det ของเมทริกซ์เดิมแล้วนำมายกกำลังได้เลย ไม่จำเป็นต้องนำเมทริกซ์ไปคูณกัน m ครั้ง

\det(I) = 1 \quad \text{และ} \quad \det(\underline{0}) = 0

ค่า det ของเมทริกซ์เอกลักษณ์เป็น 1 เสมอ และของเมทริกซ์ศูนย์เป็น 0 เสมอ

การคำนวณหา อินเวอร์สการคูณ ของเมทริกซ์ (Inverse Matrix)

อินเวอร์สการคูณ ของเมทริกซ์ A เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ A^{-1} คือเมทริกซ์พิเศษที่เมื่อนำมาคูณกับเมทริกซ์ A ไม่ว่าจะคูณจากข้างหน้าหรือข้างหลัง จะต้องได้ผลลัพธ์เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ I เสมอ นั่นคือ A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I

สูตรอินเวอร์สการคูณสำหรับเมทริกซ์ขนาด 2×2

ถ้าน้องๆ เจอเมทริกซ์ขนาด 2 \times 2 ในรูป A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} สามารถใช้สูตรลัดที่ง่ายและเร็วที่สุดได้ทันที ดังนี้:

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}

เทคนิคการจำ: หาค่า det มาเป็นตัวหารด้านหน้า สลับตำแหน่งสมาชิกในแนวทแยงหลัก (a กับ d สลับที่กัน) และเปลี่ยนเครื่องหมายสมาชิกในแนวทแยงรองให้เป็นตรงกันข้าม (b กลายเป็น -b และ c กลายเป็น -c)

inverse - สถาบันกวดวิชา OnDemand

เงื่อนไขสำคัญที่ออกสอบบ่อย: เราจะสามารถหา อินเวอร์สการคูณ ได้ก็ต่อเมื่อ ค่า \det(A) \neq 0 เท่านั้น ซึ่งเราจะเรียกเมทริกซ์ที่หาอินเวอร์สได้นี้ว่า เมทริกซ์ไม่เอกฐาน (Non-singular Matrix) แต่หากคำนวณแล้วได้ค่า \det(A) = 0 เราจะเรียกว่า เมทริกซ์เอกฐาน (Singular Matrix) ซึ่งจะไม่มีอินเวอร์สการคูณเด็ดขาด

การประยุกต์ใช้เมทริกซ์เพื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้น

หนึ่งในจุดประสงค์หลักที่เราเรียนเรื่อง เมทริกซ์ ในระดับชั้น ม.5 ก็เพื่อนำกลุ่มตัวเลขเหล่านี้ไปช่วยแก้ปัญหาระบบสมการเชิงเส้นที่มีหลายตัวแปรได้อย่างเป็นระบบ โดยเราสามารถแปลงระบบสมการให้อยู่ในรูปสมการเมทริกซ์ AX = B (เมื่อ A คือเมทริกซ์สัมประสิทธิ์หน้าตัวแปร, X คือเมทริกซ์ตัวแปรที่เราต้องการหาค่า และ B คือเมทริกซ์ผลลัพธ์ที่เป็นตัวเลขค่าคงที่อีกฝั่ง) วิธีการหาคำตอบที่นิยมใช้ในข้อสอบประกอบด้วยสองวิธีหลัก:

กฎของคราเมอร์ (Cramer’s Rule)

เป็นวิธีที่สะดวกมากหากโจทย์สั่งให้หาค่าตัวแปรเพียงตัวใดตัวหนึ่ง โดยใช้หลักการของดีเทอร์มิแนนต์ สูตรมีอยู่ว่า คำตอบของตัวแปรที่ i จะหาได้จาก:

x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}

โดยที่ A_i คือ เมทริกซ์สัมประสิทธิ์ A ที่ถูกถอดหลักที่ i ออก แล้วนำสมาชิกของเมทริกซ์ค่าคงที่ B เข้าไปสวมแทนที่พิกัดนั้น

การดำเนินการตามแถว (Row Operations)

เป็นการเขียนเมทริกซ์ในรูปแบบเมทริกซ์แต่งเติม เขียนสัญลักษณ์แทนด้วย [A | B] จากนั้นเราจะใช้กฎการแปลงตามแถว (Elementary Row Operations หรือ ERO) ได้แก่ การสลับแถว, การนำตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์ไปคูณแถวใดแถวหนึ่ง หรือการนำแถวหนึ่งไปบวกกับทวีคูณของอีกแถวหนึ่ง เป้าหมายคือเพื่อคำนวณและลดรูปจัดหน้าตาให้ฝั่งซ้ายที่เป็นเมทริกซ์ A เปลี่ยนเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ I ซึ่งเมื่อทำสำเร็จ ตัวเลขในฝั่งขวาที่เป็นฝั่ง B จะกลายเป็นคำตอบของตัวแปร X ทันทีในรูปแบบ [I | X]

ตะลุยโจทย์และแนวข้อสอบเมทริกซ์ ม.ปลาย พร้อมเฉลยอย่างละเอียด

เพื่อให้เห็นภาพชัดเจนและพร้อมสำหรับทำข้อสอบจริง เรามาลุยตัวอย่างโจทย์แนวประยุกต์และเฉลยวิธีทำทีละขั้นตอนกันเลยครับ

โจทย์ข้อที่ 1 (ระดับพื้นฐานโรงเรียน): กำหนดให้ เมทริกซ์ A = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 7 & 4 \end{bmatrix} จงคำนวณหาเมทริกซ์ตัวผกผันหรือ อินเวอร์สการคูณ ของเมทริกซ์ A (A^{-1})

วิธีทำอย่างละเอียด:

ขั้นตอนที่ 1: ตรวจสอบก่อนว่าเมทริกซ์นี้สามารถหาอินเวอร์สได้หรือไม่ โดยคำนวณหาดีเทอร์มิแนนต์ตามสูตรคูณลงลบคูณขึ้น

\det(A) = (4 \times 4) – (2 \times 7) = 16 – 14 = 2

เนื่องจากค่า \det(A) = 2 ซึ่งไม่เท่ากับ 0 แสดงว่าเมทริกซ์นี้หาอินเวอร์สการคูณได้

ขั้นตอนที่ 2: ใช้สูตรลัดสำหรับเมทริกซ์ขนาด 2×2 โดยสลับที่สมาชิกบนเส้นทแยงมุมหลัก (เลข 4 กับเลข 4 สลับตำแหน่งกันได้ค่าเดิม) และกลับเครื่องหมายสมาชิกบนเส้นทแยงมุมรอง (เลข 2 กลายเป็น -2 และเลข 7 กลายเป็น -7)

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -7 & 4 \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -7 & 4 \end{bmatrix}

ขั้นตอนที่ 3: คูณสเกลาร์ \frac{1}{2} กระจายเข้าไปหาสมาชิกทุกตัวในเมทริกซ์

A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{4}{2} & \frac{-2}{2} \\ \frac{-7}{2} & \frac{4}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -3.5 & 2 \end{bmatrix}

คำตอบสุดท้าย: \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -3.5 & 2 \end{bmatrix}

โจทย์ข้อที่ 2 (แนวข้อสอบแข่งขันมหาวิทยาลัย / A-Level): กำหนดให้ A เป็นเมทริกซ์จัตุรัสขนาดมิติ [3 \times 3] โดยที่ค่าของ \det(A) = 3 จงหาค่าของดีเทอร์มิแนนต์ในรูปพจน์ \det(3A^t \cdot A^{-1})

วิธีทำอย่างละเอียด:

ข้อนี้เราไม่จำเป็นต้องรู้หน้าตาของเมทริกซ์ A เลย แต่ให้ใช้สมบัติของดีเทอร์มิแนนต์ในการแยกส่วนคำนวณทีละขั้น ดังนี้ครับ

จากสมบัติข้อแรก ดีเทอร์มิแนนต์สามารถกระจายในการคูณได้ จะได้รูปพจน์ออกมาเป็น:

\det(3A^t \cdot A^{-1}) = \det(3A^t) \cdot \det(A^{-1})

พิจารณาพจน์แรก \det(3A^t): ใช้สมบัติการดึงค่าคงที่ออกจาก det ตัวสเกลาร์เลข 3 เมื่อถูกดึงออกมาต้องยกกำลังด้วยมิติขนาดเมทริกซ์ ซึ่งโจทย์กำหนดไว้ว่าเป็นมิติ [3 \times 3] ดังนั้น n = 3

\det(3A^t) = 3^3 \cdot \det(A^t) = 27 \cdot \det(A^t)

และเนื่องจากสมบัติ \det(A^t) = \det(A) จะได้พจน์แรกเท่ากับ 27 \cdot \det(A)

พิจารณาพจน์ที่สอง \det(A^{-1}): จากสมบัติอินเวอร์สจะได้ \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}

นำผลลัพธ์ทั้งสองพจน์กลับมาคูณร่วมกันในสมการหลัก:

\det(3A^t \cdot A^{-1}) = (27 \cdot \det(A)) \cdot \left(\frac{1}{\det(A)}\right)

สังเกตเห็นว่าตัวแปร \det(A) อยู่ทั้งในรูปตัวตั้งและตัวหาร จึงสามารถหารตัดกันได้ลงตัวพอดีเป็น 1

เหลือค่าคำตอบสุทธิเท่ากับ [27 \times 1 = 27]

คำตอบสุดท้าย: 27

สอบถามรายละเอียดคอร์สเรียนเพิ่มเติม

คำถามที่พบบ่อย (FAQs)

Q: เราสามารถนำเมทริกซ์ที่มีมิติต่างกันมาคูณกันได้ไหม?

A: ได้ครับ! แต่ต้องเป็นไปตามเงื่อนไขคือ “จำนวนหลักของเมทริกซ์ตัวหน้าต้องเท่ากับจำนวนแถวของเมทริกซ์ตัวหลังพอดี” ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์ขนาด 2 \times 3 สามารถคูณกับเมทริกซ์ขนาด 3 \times 4 ได้ และจะได้ผลลัพธ์เป็นเมทริกซ์ขนาด 2 \times 4 แต่ถ้าสลับลำดับเอาตัวหลังขึ้นก่อนจะไม่สามารถคูณกันได้ครับ

A: เมทริกซ์เอกฐาน คือ เมทริกซ์จัตุรัสที่มีค่าดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับศูนย์พอดี (\det = 0) ความสำคัญของมันคือ เมทริกซ์ชนิดนี้จะไม่สามารถคำนวณหา อินเวอร์สการคูณ ได้ โจทย์ข้อสอบ ม.ปลาย มักนำคำนี้มาประยุกต์ตั้งเป็นเงื่อนไขเพื่อให้เราแก้หาค่าตัวแปรตัวเลขที่ซ่อนอยู่ภายในสมาชิกเมทริกซ์ครับ

A: เคล็ดลับที่สำคัญที่สุดคือการจำและประยุกต์ใช้ “สมบัติของ ดีเทอร์มิแนนต์” ให้แม่นยำ เพราะข้อสอบแข่งขันมักออกแบบมาให้ดูน่ากลัวมีพจน์ยาวๆ เช่น การสั่งให้เอาเมทริกซ์มาคูณกันหลายๆ ครั้งแล้วทรานสโพสก่อนหา det แต่ถ้าน้องใช้สูตรสมบัติ det กระจายพจน์และตัดทอนเลขได้ น้องจะสามารถหาคำตอบได้ภายในเวลาไม่ถึง 1 นาทีโดยไม่ต้องคำนวณตัวเลขในตารางเมทริกซ์เลยด้วยซ้ำครับ

20260706-194512
20260706-200834