สรุปเนื้อหา วงกลม ม.ต้น อธิบายครบทุกสูตร พร้อมแนวโจทย์และเฉลยละเอียด

บทเรียนเรื่อง วงกลม ม.ต้น เป็นหนึ่งในหัวข้อใหญ่ของวิชาคณิตศาสตร์เรขาคณิต ระดับชั้นมัธยมศึกษาตอนต้น (โดยเฉพาะ ม.3) ที่ออกสอบบ่อยทั้งการสอบเก็บคะแนน สอบกลางภาค สอบปลายภาค และข้อสอบเข้า ม.4 โรงเรียนชั้นนำทั่วประเทศ หัวใจสำคัญของการเรียนเรื่องนี้ไม่ได้มีเพียงแค่จำสูตรคำนวณพื้นที่หรือความยาวเส้นรอบวงเท่านั้น แต่ยังต้องเข้าใจ ทฤษฎีบทวงกลม ต่างๆ เพื่อนำไปใช้แก้โจทย์เรขาคณิตและการไล่มุมได้อย่างถูกต้อง

สมัครเรียนคอร์สคณิตศาสตร์ ม.ต้น : ทฤษฎีบทเส้นขนานและวงกลม กับ OnDemand

ส่วนประกอบและ สูตรวงกลม พื้นฐาน

ก่อนที่จะไปเจาะลึกทฤษฎีบท เรามาทำความเข้าใจส่วนประกอบพื้นฐานของวงกลมและ สูตรวงกลม คำนวณที่ต้องใช้งานบ่อยๆ กันก่อนครับ

ส่วนประกอบของวงกลม

• จุดศูนย์กลาง (Center): จุดคงที่ตรงกลางวงกลม ซึ่งอยู่ห่างจากจุดทุกจุดบนเส้นรอบวงเป็นระยะทางเท่ากัน
• รัศมี (Radius: r): ระยะทางจากจุดศูนย์กลางไปยังจุดใดๆ บนเส้นรอบวง
• เส้นผ่านศูนย์กลาง (Diameter: d): ส่วนของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดศูนย์กลางและมีจุดปลายทั้งสองอยู่บนเส้นรอบวง โดยมีค่าเท่ากับ d = 2r
• คอร์ด (Chord): ส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลายทั้งสองอยู่บนเส้นรอบวง (เส้นผ่านศูนย์กลางคือคอร์ดที่ยาวที่สุด)
• เส้นตัดวงกลม (Secant Line): เส้นตรงที่ตัดวงกลมสองจุด
• เส้นสัมผัสวงกลม (Tangent Line): เส้นตรงที่แตะวงกลมเพียงจุดเดียว เรียกว่า จุดสัมผัส
• เซกเตอร์ (Sector): พื้นที่พัดที่ล้อมรอบด้วยรัศมี 2 เส้นและส่วนโค้งของวงกลม

ตารางรวม สูตรวงกลม ที่ต้องใช้คำนวณ

รายการคำนวณ	สูตรทางคณิตศาสตร์	คำอธิบายตัวแปร
ความยาวเส้นรอบวง	C = 2\pi r = \pi d	r คือ รัศมี, \pi \approx \frac{22}{7} หรือ 3.14
พื้นที่วงกลม	A = \pi r^2	r คือ รัศมีของวงกลม
ความยาวส่วนโค้งวงกลม	\text{Arc Length} = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r	\theta คือ มุมที่จุดศูนย์กลางที่รองรับส่วนโค้ง
พื้นที่เซกเตอร์ (พัด)	\text{Sector Area} = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2	\theta คือ มุมที่จุดศูนย์กลางของเซกเตอร์

สรุป ทฤษฎีบทวงกลม เรื่องมุมและส่วนโค้ง

ทฤษฎีบทวงกลม คือ กฎเกณฑ์ทางเรขาคณิตที่ช่วยให้เราเชื่อมโยงความสัมพันธ์ของมุม รัศมี และส่วนโค้งได้ โดยในระดับ วงกลม ม.ต้น มีทฤษฎีบทสำคัญกลุ่มมุมและส่วนโค้งดังนี้

มุมในส่วนโค้งของวงกลม และมุมที่จุดศูนย์กลาง

• ทฤษฎีบทที่ 1: มุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมจะมีขนาดเป็น 2 เท่า ของขนาดของ มุมในส่วนโค้งของวงกลม ที่รองรับด้วยส่วนโค้งเดียวกัน
  ตัวอย่าง: ถ้ามุมในส่วนโค้งกาง 35^\circ มุมที่จุดศูนย์กลางที่รองรับด้วยส่วนโค้งเดียวกันจะกาง 2 \times 35^\circ = 70^\circ
• ทฤษฎีบทที่ 2: มุมในส่วนโค้งของวงกลม ที่รองรับด้วยส่วนโค้งเดียวกัน จะมีขนาดเท่ากันเสมอ
  ตัวอย่าง: ไม่ว่าจะลากมุมไปยังจุดใดบนส่วนโค้ง ตราบใดที่ฐานส่วนโค้งเป็นจุดเดียวกัน มุมเหล่านั้นจะมีขนาดเท่ากันทุกมุม

มุมในครึ่งวงกลม

• ทฤษฎีบทที่ 3: มุมในครึ่งวงกลมเป็น มุมฉาก (90^\circ) เสมอ
  จุดสังเกต: หากมีสามเหลี่ยมที่ฐานเป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม และยอดของสามเหลี่ยมอยู่บนเส้นรอบวง มุมยอดนั้นจะเป็นมุมฉาก 90^\circ เสมอ

รูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม

• ทฤษฎีบทที่ 4: ผลบวกของขนาดของมุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมที่แนบในวงกลม จะเท่ากับ 180^\circ เสมอ
  สูตร: ถ้า ABCD เป็นสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม จะได้ \hat{A} + \hat{C} = 180^\circ และ \hat{B} + \hat{D} = 180^\circ
• ทฤษฎีบทที่ 5: ถ้าต่อด้านใดด้านหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลมออกไป มุมภายนอกที่เกิดขึ้นจะมีขนาดเท่ากับมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามกับมุมประชิดนั้น

ทฤษฎีบทวงกลม เรื่องคอร์ดและ เส้นสัมผัสวงกลม

นอกจากมุมในส่วนโค้งแล้ว เรื่องคอร์ดและเส้นสัมผัสก็เป็นอีกหนึ่งส่วนที่นำมาออกข้อสอบประยุกต์ร่วมกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสบ่อยมาก

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับคอร์ด

• ทฤษฎีบทที่ 6: เส้นตรงที่ลากจากจุดศูนย์กลางมาแบ่งครึ่งคอร์ด จะ ตั้งฉาก กับคอร์ดนั้นเสมอ
• ทฤษฎีบทที่ 7: ในวงกลมเดียวกัน คอร์ดที่ยาวเท่ากันจะอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเป็นระยะทางเท่ากัน

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับ เส้นสัมผัสวงกลม

• ทฤษฎีบทที่ 8: เส้นสัมผัสวงกลม จะ ตั้งฉาก (90^\circ) กับรัศมีของวงกลม ณ จุดสัมผัสเสมอ
• ทฤษฎีบทที่ 9: ส่วนของเส้นตรงที่ลากจากจุดภายนอกจุดหนึ่งมาสัมผัสวงกลมเดียวกัน จะมีความยาวเท่ากันเสมอ (PA = PB)
• ทฤษฎีบทที่ 10: มุมที่เกิดจาก เส้นสัมผัสวงกลม ทำกับคอร์ด จะมีขนาดเท่ากับมุมในส่วนโค้งของวงกลมที่อยู่ตรงข้ามกับคอร์ดนั้น

💡 เคล็ดลับการทำข้อสอบ: เมื่อเจอโจทย์ เส้นสัมผัสวงกลม ให้ลากรัศมีไปตั้งฉากกับจุดสัมผัสทันที! คุณจะเห็นสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งสามารถนำทฤษฎีบทพีทาโกรัส (a^2 + b^2 = c^2) มาใช้หาความยาวด้านได้อย่างง่ายดาย

ตะลุย โจทย์วงกลม ม.3 พร้อมเฉลย อย่างรายละเอียด

มาลองฝึกทำ โจทย์สถิติ ม.3 พร้อมเฉลย ที่พบบ่อยในห้องเรียนและข้อสอบแข่งขันกันครับ

เพื่อให้เห็นภาพชัดเจนและพร้อมสำหรับห้องสอบ เรามาดูตัวอย่าง โจทย์วงกลม ม.3 พร้อมเฉลย แยกตามประเภททฤษฎีบทกันครับ

ตัวอย่างที่ 1: การหามุมที่จุดศูนย์กลางและมุมในส่วนโค้ง

โจทย์: กำหนดให้ จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม จุด A, B, C อยู่บนเส้นรอบวง ถ้ามุมในส่วนโค้ง A\hat{C}B = 42^\circ จงหาขนาดของมุม A\hat{O}B

วิธีทำ:

1. พิจารณาความสัมพันธ์: A\hat{C}B คือ มุมในส่วนโค้งของวงกลม และ A\hat{O}B คือ มุมที่จุดศูนย์กลางที่รองรับด้วยส่วนโค้ง AB เดียวกัน
2. ใช้ทฤษฎีบทที่ 1: มุมที่จุดศูนย์กลางจะมีขนาดเป็น 2 เท่าของมุมในส่วนโค้ง
3. คำนวณ:
   A\hat{O}B = 2 \times A\hat{C}B
   A\hat{O}B = 2 \times 42^\circ = 84^\circ

คำตอบ: มุม A\hat{O}B มีขนาดเท่ากับ 84^\circ

ตัวอย่างที่ 2: สี่เหลี่ยมแนบในวงกลมและการไล่มุม

โจทย์: สี่เหลี่ยม ABCD แนบในวงกลม ถ้ามุม D\hat{A}B = 110^\circ และมุม A\hat{B}C = 85^\circ จงหาขนาดของมุม B\hat{C}D และ A\hat{D}C

วิธีทำ:

1. ใช้ทฤษฎีบทสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม: ผลบวกของมุมตรงข้ามเท่ากับ 180^\circ
2. หามุม B\hat{C}D ซึ่งตรงข้ามกับมุม D\hat{A}B:
   B\hat{C}D + D\hat{A}B = 180^\circ
   B\hat{C}D + 110^\circ = 180^\circ \implies B\hat{C}D = 180^\circ – 110^\circ = 70^\circ
3. หามุม A\hat{D}C ซึ่งตรงข้ามกับมุม A\hat{B}C:
   A\hat{D}C + A\hat{B}C = 180^\circ
   A\hat{D}C + 85^\circ = 180^\circ \implies A\hat{D}C = 180^\circ – 85^\circ = 95^\circ

คำตอบ: มุม B\hat{C}D = 70^\circ และ มุม A\hat{D}C = 95^\circ

ตัวอย่างที่ 3: เส้นสัมผัสวงกลมร่วมกับพีทาโกรัส

โจทย์: ลากเส้นสัมผัสจากจุด P ซึ่งอยู่นอกวงกลมไปสัมผัสวงกลมจุดศูนย์กลาง O ที่จุด T ถ้ารัศมีของวงกลมเท่ากับ 5 เซนติเมตร และระยะทางจากจุด P ถึงจุดศูนย์กลาง O ยาว 13 เซนติเมตร จงหาความยาวของเส้นสัมผัส PT

วิธีทำ:

1. พิจารณารัศมี OT และ เส้นสัมผัสวงกลม PT: ตามทฤษฎีบท เส้นสัมผัสจะตั้งฉากกับรัศมี ณ จุดสัมผัส ทำให้สามเหลี่ยม OTP เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากที่มุม T (O\hat{T}P = 90^\circ)
2. ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสในสามเหลี่ยมมุมฉาก OTP:
   OT^2 + PT^2 = OP^2
3. แทนค่าที่ทราบ (OT = 5, OP = 13):
   5^2 + PT^2 = 13^2
   25 + PT^2 = 169
   PT^2 = 169 – 25 = 144
   PT = \sqrt{144} = 12 เซนติเมตร

คำตอบ: ความยาวของเส้นสัมผัส PT เท่ากับ 12 เซนติเมตร

ตัวอย่างที่ 4: การหาพื้นที่เซกเตอร์และความยาวส่วนโค้ง

โจทย์: วงกลมรัศมี 14 เซนติเมตร มีมุมที่จุดศูนย์กลางเท่ากับ 60^\circ จงหาความยาวส่วนโค้งและพื้นที่ของเซกเตอร์นี้ (กำหนด \pi \approx \frac{22}{7})

วิธีทำ:

1. หาความยาวส่วนโค้ง:
   \text{Arc Length} = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r
   \text{Arc Length} = \frac{60^\circ}{360^\circ} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 14 = \frac{1}{6} \times 2 \times 22 \times 2 = \frac{88}{6} \approx 14.67 เซนติเมตร
2. หาพื้นที่เซกเตอร์:
   \text{Sector Area} = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2
   \text{Sector Area} = \frac{60^\circ}{360^\circ} \times \frac{22}{7} \times 14^2 = \frac{1}{6} \times \frac{22}{7} \times 196 = \frac{1}{6} \times 22 \times 28 = \frac{616}{6} \approx 102.67 ตารางเซนติเมตร

สอบถามรายละเอียดคอร์สเรียนเพิ่มเติม

• Add Line : Ondemand Education
• โทรศัพท์ : 02-251-9456 (08.00-20.00)

คำถามที่พบบ่อย (FAQs)