สรุปเนื้อหา สถิติ ม.ต้น อธิบายครบทุกสูตร พร้อมแนวโจทย์และเฉลยละเอียด

เรื่อง สถิติ ม.ต้น เป็นหนึ่งในบทเรียนวิชาคณิตศาสตร์ที่มีความสำคัญมาก เพราะไม่เพียงแต่จะออกสอบในโรงเรียนและข้อสอบเข้า ม.4 บ่อยครั้งเท่านั้น แต่ยังเป็นบทเรียนที่สามารถนำไปประยุกต์ใช้ในชีวิตจริงได้มากที่สุด ไม่ว่าจะเป็นการวิเคราะห์ข้อมูลยอดขาย การวิเคราะห์คะแนนสอบ หรือการสรุปข้อมูลวิจัย การทำความเข้าใจเกี่ยวกับสูตรคำนวณ วิธีการหาค่ากลาง และการอ่านกราฟจึงเป็นสิ่งสำคัญสำหรับนักเรียน ม.ต้น ทุกคน

สมัครเรียนคอร์สคณิตศาสตร์ ม.ต้น : สถิติ กับ OnDemand

ความหมายและประเภทของข้อมูลทางสถิติ

สถิติ (Statistics) คือศาสตร์ที่เกี่ยวกับการเก็บรวบรวมข้อมูล การจัดระเบียบข้อมูล การนำเสนอข้อมูล การวิเคราะห์ข้อมูล และการแปลความหมายข้อมูล เพื่อใช้ในการตัดสินใจได้อย่างมีประสิทธิภาพ โดยในระดับ ม.ต้น ข้อมูลจะถูกจำแนกออกเป็นประเภทหลักๆ ดังนี้

จำแนกตามลักษณะของข้อมูล

• ข้อมูลเชิงปริมาณ (Quantitative Data): ข้อมูลที่เป็นตัวเลขที่สามารถนำมาคำนวณ บวก ลบ คูณ หาร หรือเปรียบเทียบค่ากันได้ เช่น ส่วนสูง น้ำหนัก คะแนนสอบ รายได้ อายุ
• ข้อมูลเชิงคุณภาพ (Qualitative Data): ข้อมูลที่ไม่ใช่ตัวเลข หรือเป็นตัวเลขที่ไม่สามารถนำมาคำนวณทางคณิตศาสตร์ได้โดยตรง แต่บอกลักษณะ กลุ่ม หรือประเภท เช่น เพศ สถานภาพ เบอร์โทรศัพท์ รหัสไปรษณีย์ ความคิดเห็น

จำแนกตามแหล่งที่มาของข้อมูล

• ข้อมูลปฐมภูมิ (Primary Data): ข้อมูลที่ผู้ใช้เก็บรวบรวมมาจากแหล่งกำเนิดโดยตรง เช่น การสัมภาษณ์ การทดลอง การแจกแบบสอบถาม
• ข้อมูลทุติยภูมิ (Secondary Data): ข้อมูลที่มีผู้อื่นเก็บรวบรวมไว้แล้ว แล้วเรานำมาใช้ต่อ เช่น สถิติจำนวนประชากรจากกรมการปกครอง รายงานจากกระทรวงสาธารณสุข

สูตร ค่ากลางของข้อมูล ที่ต้องรู้

ค่ากลางของข้อมูล คือ ตัวแทนของข้อมูลชุดนั้นๆ ที่ใช้ในการสรุปภาพรวมของข้อมูล โดยในบทเรียน สถิติ ม.ต้น จะเน้นการศึกษาค่ากลาง 3 ชนิดหลัก ดังนี้

ประเภทค่ากลาง	สูตรคำนวณ / หลักการหา	ข้อดี / จุดเด่น
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต	\bar{x} = \frac{\sum x}{n}	คำนวณง่าย ใช้ข้อมูลทุกตัวมาคิด เหมาะกับข้อมูลที่กระจายสม่ำเสมอ
มัธยฐาน	เรียงข้อมูลแล้วหาตำแหน่ง \frac{n+1}{2}	ไม่ได้รับกระทบจากค่าที่สูงหรือต่ำผิดปกติ (Outlier)
ฐานนิยม	เลือกข้อมูลที่มีความถี่มากที่สุด	ใช้กับข้อมูลเชิงคุณภาพได้ดี ไม่ต้องคำนวณ

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (Arithmetic Mean: \bar{x})

คือ ผลรวมของข้อมูลทั้งหมดหารด้วยจำนวนข้อมูลทั้งหมด

สูตรทั่วไป: \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + … + x_n}{n}

สูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก (Weighted Mean): ใช้เมื่อข้อมูลแต่ละตัวมีความสำคัญหรือน้ำหนักไม่เท่ากัน (เช่น การคำนวณเกรดเฉลี่ย GPA)

สูตร: \bar{x} = \frac{\sum w_i x_i}{\sum w_i} = \frac{w_1 x_1 + w_2 x_2 + … + w_k x_k}{w_1 + w_2 + … + w_k}

มัธยฐาน (Median: \text{Med})

คือ ค่าที่อยู่ตรงกลางของข้อมูลหลังจากที่นำข้อมูลมา เรียงลำดับจากน้อยไปมาก (หรือมากไปน้อย) แล้ว

• ขั้นตอนที่ 1: เรียงลำดับข้อมูลจากน้อยไปหามาก
• ขั้นตอนที่ 2: หาตำแหน่งของมัธยฐาน โดยใช้สูตร: \text{ตำแหน่งของมัธยฐาน} = \frac{n + 1}{2}
• ขั้นตอนที่ 3: หาค่าตรงกับตำแหน่งนั้น (ถ้าตำแหน่งเป็นจำนวนเต็ม เช่น ตำแหน่งที่ 4 ค่าตอบคือข้อมูลตัวที่ 4 แต่ถ้าเป็นทศนิยม เช่น 4.5 ให้นำข้อมูลตำแหน่งที่ 4 และ 5 มาบวกกันแล้วหารด้วย 2)

ฐานนิยม (Mode: \text{Mo})

คือ ข้อมูลที่มี ความถี่มากที่สุด หรือปรากฏซ้ำกันมากที่สุดในชุดข้อมูลนั้น

• ข้อมูลหนึ่งชุดอาจมีฐานนิยม 1 ค่า หรือ 2 ค่าก็ได้
• หากข้อมูลทุกตัวมีความถี่เท่ากันหมด หรือมีข้อมูลซ้ำกันเกิน 2 ค่า จะถือว่าชุดข้อมูลนั้น ไม่มีฐานนิยม

การวัดการกระจายของข้อมูล และ แผนภาพกล่อง

นอกจาก ค่ากลางของข้อมูล แล้ว การวัดการกระจายยังช่วยบอกความแตกต่างของข้อมูลแต่ละตัวในชุดข้อมูลด้วย

พิสัย (Range)

คือ ค่าที่ใช้วัดการกระจายอย่างง่าย คำนวณจากผลต่างระหว่างค่าสูงสุดและค่าน้อยที่สุด

สูตร: \text{พิสัย} = x_{\max} – x_{\min}

ควอร์ไทล์ (Quartiles: Q_r)

คือ การแบ่งข้อมูลที่เรียงจากน้อยไปมากออกเป็น 4 ส่วนเท่าๆ กัน แต่ละส่วนคิดเป็น 25% โดยมีจุดแบ่ง 3 จุดคือ Q_1, Q_2, Q_3

• สูตรตำแหน่งของ Q_r: \text{ตำแหน่งของ } Q_r = \frac{r(n + 1)}{4} (เมื่อ r = 1, 2, 3)
• Q_1 (ควอร์ไทล์ที่ 1): มีข้อมูลน้อยกว่าค่านี้นำอยู่ 25%
• Q_2 (ควอร์ไทล์ที่ 2): มีข้อมูลน้อยกว่าค่านี้นำอยู่ 50% (ตรงกับค่า มัธยฐาน)
• Q_3 (ควอร์ไทล์ที่ 3): มีข้อมูลน้อยกว่าค่านี้นำอยู่ 75%
• พิสัยระหว่างควอร์ไทล์ (Interquartile Range: IQR): \text{IQR} = Q_3 – Q_1

แผนภาพกล่อง (Box Plot)

แผนภาพกล่อง คือ แผนภาพที่ใช้สรุปตำแหน่งและการกระจายของข้อมูลโดยอาศัยค่าสำคัญ 5 ค่า (Five-Number Summary) ได้แก่:

1. ค่าน้อยที่สุด (x_{\min})
2. ควอร์ไทล์ที่ 1 (Q_1)
3. ควอร์ไทล์ที่ 2 หรือ มัธยฐาน (Q_2)
4. ควอร์ไทล์ที่ 3 (Q_3)
5. ค่ามากที่สุด (x_{\max})

⚠️ ข้อสังเกตสำคัญของแผนภาพกล่อง: ตัวกล่องครอบคลุมข้อมูลตรงกลาง 50% (Q_1 ถึง Q_3) หากกล่องหรือเส้นหนวดแมว (Whisker) ฝั่งใดมีความกว้างมาก แสดงว่าข้อมูลช่วงนั้นมีการกระจายตัวมาก (ชุกชุมน้อย) แต่ถ้าแคบ แสดงว่าข้อมูลกระจายตัวน้อย (หนาแน่นมาก)

ตะลุย โจทย์สถิติ ม.3 พร้อมเฉลย อย่างละเอียด

มาลองฝึกทำ โจทย์สถิติ ม.3 พร้อมเฉลย ที่พบบ่อยในห้องเรียนและข้อสอบแข่งขันกันครับ

ตัวอย่างที่ 1: การหาค่ากลางทั้ง 3 ชนิด

โจทย์: ข้อมูลคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียน 9 คน เป็นดังนี้: 12, 15, 18, 15, 20, 15, 14, 19, 21 จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม

วิธีทำ:

1. เรียงลำดับข้อมูลจากน้อยไปมาก: 12, 14, 15, 15, 15, 18, 19, 20, 21 (จำนวนข้อมูล n = 9)
2. หาค่าเฉลี่ยเลขคณิต (\bar{x}):
   \bar{x} = \frac{12 + 14 + 15 + 15 + 15 + 18 + 19 + 20 + 21}{9} = \frac{149}{9} \approx 16.56 คะแนน
3. หามัธยฐาน (\text{Med}):
   หาตำแหน่ง: \text{ตำแหน่ง} = \frac{9 + 1}{2} = 5
   ข้อมูลตำแหน่งที่ 5 คือ 15 ดังนั้น มัธยฐาน = 15 คะแนน
4. หาฐานนิยม (\text{Mo}):
   คะแนนที่มีความถี่สูงสุดคือ 15 (ปรากฏ 3 ครั้ง) ดังนั้น ฐานนิยม = 15 คะแนน

ตัวอย่างที่ 2: โจทย์การเปลี่ยนแปลงของค่าเฉลี่ยเลขคณิต

โจทย์: นักเรียนกลุ่มหนึ่งมี 10 คน ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอายุเท่ากับ 14 ปี ต่อมามีนักเรียนย้ายเข้ามาใหม่ 1 คน ทำให้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอายุเพิ่มขึ้นเป็น 15 ปี จงหาอายุของนักเรียนที่ย้ายเข้ามาใหม่

วิธีทำ:

1. หาผลรวมอายุของนักเรียน 10 คนเดิม:
   \sum x_{\text{เดิม}} = n_{\text{เดิม}} \times \bar{x}_{\text{เดิม}} = 10 \times 14 = 140 ปี
2. เมื่อนักเรียนย้ายเข้ามาใหม่ 1 คน จำนวนนักเรียนรวมเป็น 10 + 1 = 11 คน
   หาผลรวมอายุของนักเรียน 11 คนใหม่:
   \sum x_{\text{ใหม่}} = n_{\text{ใหม่}} \times \bar{x}_{\text{ใหม่}} = 11 \times 15 = 165 ปี
3. อายุของนักเรียนคนใหม่ = ผลรวมใหม่ – ผลรวมเดิม:
   \text{อายุคนใหม่} = 165 – 140 = 25 ปี

คำตอบ: นักเรียนที่ย้ายเข้ามาใหม่มีอายุ 25 ปี

ตัวอย่างที่ 3: การหาควอร์ไทล์จากชุดข้อมูล

โจทย์: กำหนดชุดข้อมูล: 3, 5, 7, 8, 10, 12, 15 จงหาค่า Q_1 และ Q_3

วิธีทำ:

1. ข้อมูลเรียงจากน้อยไปมากเรียบร้อยแล้ว มีจำนวน n = 7 ตัว
2. หา Q_1:
   ตำแหน่ง Q_1 = \frac{1(7 + 1)}{4} = \frac{8}{4} = 2
   ข้อมูลตำแหน่งที่ 2 คือ 5 ดังนั้น Q_1 = 5
3. หา Q_3:
   ตำแหน่ง Q_3 = \frac{3(7 + 1)}{4} = \frac{24}{4} = 6
   ข้อมูลตำแหน่งที่ 6 คือ 12 ดังนั้น Q_3 = 12

สอบถามรายละเอียดคอร์สเรียนเพิ่มเติม

• Add Line : Ondemand Education
• โทรศัพท์ : 02-251-9456 (08.00-20.00)

คำถามที่พบบ่อย (FAQs)