Key Takeaways:
อสมการ คือ ประโยคสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ที่แสดงความสัมพันธ์ของจำนวนโดยใช้เครื่องหมายไม่เท่ากับ เช่น >, <, \ge, \le, \neq หัวใจสำคัญของ สมบัติของอสมการ คือ เมื่อคูณหรือหารด้วย จำนวนลบ จะต้อง กลับเครื่องหมายอสมการ เป็นตรงกันข้ามเสมอ วิธีแก้อสมการ อาศัยหลักการจัดรูปย้ายข้างคล้ายสมการ แต่ต้องระวังเครื่องหมายเมื่อคูณ/หารด้วยลบ กราฟแสดงจำนวน ช่วยให้เห็นเซตคำตอบชัดเจน โดยใช้ จุดทึบ สำหรับเครื่องหมายที่มี “เท่ากับ” (\ge, \le) และ จุดโปร่ง สำหรับเครื่องหมายที่ไม่มี “เท่ากับ” (>, <, \neq)
การฝึกทำ โจทย์อสมการ ม.3 พร้อมเฉลย จะช่วยเพิ่มความแม่นยำในการแก้โจทย์ปัญหาและการแปลงประโยคภาษาเป็นประโยคสัญลักษณ์
Table of Contents
วิชาคณิตศาสตร์ในระดับชั้นมัธยมศึกษาตอนต้น เรื่อง อสมการ ม.ต้น เป็นหนึ่งในบทเรียนพื้นฐานที่สำคัญมาก ซึ่งถูกนำไปต่อยอดในระดับมัธยมศึกษาตอนปลายและข้อสอบแข่งขันต่างๆ คำว่า “อสมการ” (Inequalities) หมายถึง ประโยคสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ที่แสดงถึงความสัมพันธ์ของจำนวนสองจำนวนหรือสองนิพจน์ที่ไม่เท่ากัน การเข้าใจแนวคิด สมบัติ และวิธีแก้อสมการอย่างถูกต้อง จะช่วยให้นักเรียนสามารถทำคะแนนในห้องเรียนและสนามสอบได้อย่างมั่นใจ
สมัครเรียนคอร์สคณิตศาสตร์ ม.ต้น : ระบบสมการ อสมการและกราฟ กับ OnDemand
ความหมายและสัญลักษณ์พื้นฐานของ อสมการ ม.ต้น
ในการเรียนเรื่อง อสมการ ม.ต้น สัญลักษณ์ที่ใช้แสดงความสัมพันธ์ที่ไม่เท่ากันมีทั้งหมด 5 สัญลักษณ์หลัก ดังนี้
สัญลักษณ์ | ความหมาย | ตัวอย่างประโยคสัญลักษณ์ | ข้อความภาษาไทย |
|---|---|---|---|
| > | มากกว่า | x > 5 | x มีค่ามากกว่า 5 |
| < | น้อยกว่า | y < 10 | y มีค่าน้อยกว่า 10 |
| \ge | มากกว่าหรือเท่ากับ / ไม่น้อยกว่า / อย่างน้อย | a \ge 0 | a มีค่าอย่างน้อย 0 |
| \le | น้อยกว่าหรือเท่ากับ / ไม่เกิน / อย่างมาก | b \le 100 | b มีค่าไม่เกิน 100 |
| \neq | ไม่เท่ากับ | z \neq 3 | z มีค่าเป็นจำนวนใดก็ได้ยกเว้น 3 |
การทำความเข้าใจคำเชื่อมภาษาไทย เช่น “ไม่เกิน”, “อย่างน้อย”, “ไม่น้อยกว่า”, “ไม่ถึง” เป็นสิ่งสำคัญมากสำหรับการแปลโจทย์ปัญหาเป็นอสมการทางคณิตศาสตร์
สมบัติของอสมการ ที่ต้องจำให้แม่น
ในการจัดรูปหรือแก้ อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว เราจำเป็นต้องใช้ สมบัติของอสมการ เพื่อหาเซตคำตอบ ดังนี้
สมบัติการถ่ายทอด
ถ้า a > b และ b > c แล้ว a > c
สมบัติการบวกและการลบ
เมื่อนำจำนวนจริงใดๆ c บวกหรือลบทั้งสองข้างของอสมการ เครื่องหมายของอสมการจะ ไม่เปลี่ยน
- ถ้า a > b แล้ว a + c > b + c
- ถ้า a > b แล้ว a – c > b – c
สมบัติการคูณและการหาร (จุดเน้นที่ต้องระวัง!)
สมบัติการคูณและหารแบ่งเป็น 2 กรณีที่ต้องระมัดระวังเป็นพิเศษ:
- กรณีที่ 1: คูณหรือหารด้วย จำนวนบวก (c > 0) -> เครื่องหมายอสมการ เหมือนเดิม
ตัวอย่าง: ถ้า a > b และ c > 0 แล้ว a \cdot c > b \cdot c - กรณีที่ 2: คูณหรือหารด้วย จำนวนลบ (c < 0) -> ต้อง กลับเครื่องหมายอสมการ เป็นตรงกันข้ามเสมอ!
ตัวอย่าง: ถ้า a > b และ c < 0 แล้ว a \cdot c < b \cdot c (เครื่องหมายเปลี่ยนจาก > เป็น <)
⚠️ ข้อควรระวังสูงสุด: นักเรียนมักโดนหักคะแนนบ่อยที่สุดในข้อสอบเนื่องจากลืมกลับเครื่องหมายอสมการเมื่อนำจำนวนลบไปคูณหรือหารทั้งสองข้าง!
ขั้นตอน วิธีแก้อสมการ อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว คือ อสมการที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียว และดีกรี (กำลังสูงสุด) ของตัวแปรเป็น 1 รูปแบบทั่วไปคือ ax + b > 0 หรือ ax + b \le 0 เป็นต้น
ขั้นตอน วิธีแก้อสมการ มีดังนี้
- กำจัดตัวเศษส่วน (ถ้ามี): คูณทั้งสองข้างด้วย ค.ร.น. ของส่วนเพื่อทำให้ตัวเลขเป็นจำนวนเต็ม
- กระจายและจัดกลุ่มตัวแปร: ถ้ามีวงเล็บ ให้ใช้สมบัติการแจกแจง จากนั้นย้ายพจน์ที่มีตัวแปรมาไว้อยู่ข้างเดียวกัน และย้ายตัวเลขคงที่ไปไว้อีกข้างหนึ่ง
- รวมพจน์ที่คล้ายกัน: ทำการบวกลบพจน์ทางซ้ายและทางขวาให้อยู่ในรูปอย่างง่าย
- หาค่าตัวแปร: หารทั้งสองข้างด้วยสัมประสิทธิ์หน้าตัวแปร (หากสัมประสิทธิ์เป็นลบ อย่าลืมกลับเครื่องหมายอสมการ)
- ตรวจสอบคำตอบและเขียน กราฟแสดงจำนวน: นำคำตอบที่ได้ไปเขียนบนเส้นจำนวนเพื่อดูช่วงคำตอบ
การเขียน กราฟแสดงจำนวน บนเส้นจำนวน
การนำคำตอบของ อสมการ ม.ต้น มาแสดงด้วย กราฟแสดงจำนวน มีหลักการสำคัญดังนี้
- จุดทึบ (●): ใช้เมื่อตัวเลขนั้น รวมอยู่ในคำตอบ (เครื่องหมาย \le หรือ \ge)
- จุดโปร่ง (○): ใช้เมื่อตัวเลขนั้น ไม่รวมอยู่ในคำตอบ (เครื่องหมาย <, > หรือ \neq)
- ลูกศรชี้ไปทางขวา (→): แทนจำนวนที่ มากกว่า ค่าดังกล่าว
- ลูกศรชี้ไปทางซ้าย (←): แทนจำนวนที่ น้อยกว่า ค่าดังกล่าว
- กรณีเครื่องหมายไม่เท่ากับ (\neq): วาดจุดโปร่งที่จุดนั้น แล้วลากเส้นตามเส้นจำนวนทั้งฝั่งซ้ายและฝั่งขวา (หมายถึงเอาทุกจำนวนยกเว้นจุดนั้น)
ตะลุย โจทย์อสมการ ม.3 พร้อมเฉลย อย่างละเอียด
เพื่อให้เข้าใจบทเรียนได้ดียิ่งขึ้น ลองมาดูตัวอย่าง โจทย์อสมการ ม.3 พร้อมเฉลย ในรูปแบบต่างๆ กันครับ
ตัวอย่างที่ 1: การแก้อสมการเชิงเส้นระดับพื้นฐาน
โจทย์: จงแก้อสมการ 3x – 5 \le 7 และเขียนกราฟแสดงคำตอบ
วิธีทำ:
- บวก 5 ทั้งสองข้างของอสมการ:
3x – 5 + 5 \le 7 + 5
3x \le 12 - หารทั้งสองข้างด้วย 3 (เนื่องจาก 3 เป็นจำนวนบวก เครื่องหมายไม่เปลี่ยน):
\frac{3x}{3} \le \frac{12}{3}
x \le 4
คำตอบ: จำนวนจริงทุกจำนวนที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 4 (เขียนกราฟโดยใช้จุดทึบที่ 4 และลากลูกศรไปทางซ้าย)
ตัวอย่างที่ 2: การแก้อสมการที่มีสัมประสิทธิ์ติดลบ
โจทย์: จงแก้อสมการ -2x + 4 > 10
วิธีทำ:
- ลบ 4 ทั้งสองข้างของอสมการ:
-2x + 4 – 4 > 10 – 4
-2x > 6 - หารทั้งสองข้างด้วย -2 (ต้องกลับเครื่องหมายจาก > เป็น <):
\frac{-2x}{-2} < \frac{6}{-2}
x < -3
คำตอบ: จำนวนจริงทุกจำนวนนี้น้อยกว่า -3 (เขียนกราฟโดยใช้จุดโปร่งที่ -3 และลากลูกศรไปทางซ้าย)
ตัวอย่างที่ 3: การแก้อสมการในรูปเศษส่วน
โจทย์: จงแก้อสมการ \frac{2x + 1}{3} \ge x – 2
วิธีทำ:
- คูณด้วย 3 ทั้งสองข้างเพื่อกำจัดเศษส่วน (3 เป็นจำนวนบวก เครื่องหมายไม่เปลี่ยน):
3 \cdot \left(\frac{2x + 1}{3}\right) \ge 3 \cdot (x – 2)
2x + 1 \ge 3x – 6 - ย้ายพจน์ตัวแปรมาไว้ฝั่งซ้าย และตัวเลขไว้ฝั่งขวา:
2x – 3x \ge -6 – 1
-x \ge -7 - คูณทั้งสองข้างด้วย -1 (อย่าลืมกลับเครื่องหมายจาก \ge เป็น \le):
x \le 7
คำตอบ: x \le 7 จำนวนจริงทุกจำนวนที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 7
ตัวอย่างที่ 4: โจทย์ปัญหาอสมการเชิงเส้น
โจทย์: สองเท่าของจำนวนจำนวนหนึ่ง บวกด้วย 8 มีค่าไม่เกิน 20 จงหาว่าจำนวนนั้นมีค่าสูงสุดเท่าใด
วิธีทำ:
- ให้ x แทนจำนวนจำนวนนั้น
- เขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์: คำว่า “ไม่เกิน” คือเครื่องหมาย \le
2x + 8 \le 20 - ย้ายข้างแก้อสมการ:
2x \le 20 – 8
2x \le 12
x \le 6
คำตอบ: จำนวนนั้นมีค่าไม่เกิน 6 ดังนั้นค่าที่มากที่สุดของจำนวนนี้คือ 6
สอบถามรายละเอียดคอร์สเรียนเพิ่มเติม
- Add Line : Ondemand Education
- โทรศัพท์ : 02-251-9456 (08.00-20.00)
คำถามที่พบบ่อย (FAQs)
Q: ทำไมเมื่อคูณหรือหารด้วยจำนวนลบ ต้องกลับเครื่องหมายอสมการ?
A: เพราะการคูณด้วยจำนวนลบทำให้ทิศทางของค่าบนเส้นจำนวนสลับกัน เช่น 2 < 5 (2 น้อยกว่า 5) แต่เมื่อนำ -1 คูณทั้งสองข้างจะได้ -2 และ -5 ซึ่ง -2 มีค่ามากกว่า -5 จึงต้องเขียนเป็น -2 > -5 เพื่อให้อสมการเป็นจริง
Q: เครื่องหมายไม่เท่ากับ (\neq) มีวิธีการแก้อย่างไร?
A: เครื่องหมาย \neq แก้เหมือนสมการปกติทุกประการ คือย้ายข้างหาค่าตัวแปรตามปกติ คำตอบที่ได้จะเป็น “จำนวนจริงทุกจำนวนยกเว้นค่านั้น” เช่น ถ้าแก้ได้ x \neq 3 หมายความว่า x เป็นจำนวนอะไรก็ได้ยกเว้น 3
Q: จะรู้ได้อย่างไรว่าโจทย์ปัญหาอสมการต้องใช้เครื่องหมายอะไร?
A: ให้สังเกตจากคำสำคัญในโจทย์ เช่น คำว่า “อย่างน้อย”, “ไม่น้อยกว่า” ให้ใช้ \ge, คำว่า “อย่างมาก”, “ไม่เกิน” ให้ใช้ \le, คำว่า “มากกว่า”, “เกิน” ให้ใช้ >, และคำว่า “ไม่ถึง”, “น้อยกว่า” ให้ใช้ <
