สรุป จำนวนเชิงซ้อน ม.5 อธิบายครบ สูตร พร้อมตัวอย่างโจทย์และเฉลยละเอียด

บทเรียนเรื่อง จำนวนเชิงซ้อน ม.5 ถือเป็นหนึ่งในบทเรียนสำคัญของวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.ปลาย ที่ต่อยอดระบบจำนวนจริงให้สมบูรณ์ยิ่งขึ้น โดยเฉพาะการแก้สมการที่ไม่สามารถหาคำตอบในระบบจำนวนจริงได้ บทความนี้จะพาน้องๆ ม.5 ไปทำความเข้าใจเรื่องจำนวนเชิงซ้อนอย่างเจาะลึก ตั้งแต่นิยามพื้นฐาน การดำเนินการ สูตรจำนวนเชิงซ้อน การแปลงเป็นรูปเชิงขั้ว ตลอดจนตะลุย โจทย์จำนวนเชิงซ้อนพร้อมเฉลย เพื่อเตรียมความพร้อมสำหรับสอบในโรงเรียนและสอบเข้ามหาวิทยาลัย (A-Level / TPAT)

สมัครเรียนคอร์สคณิตศาสตร์ ม.ปลาย : จำนวนเชิงซ้อน กับ OnDemand

จำนวนเชิงซ้อน คืออะไร? นิยามและโครงสร้างพื้นฐาน

ในระบบจำนวนจริง เมื่อเราเจอยกกำลังสอง เช่น x^2 = -1 จะพบว่าไม่มีจำนวนจริงใดที่ยกกำลังสองแล้วได้ค่าติดลบ จึงมีการสร้างระบบจำนวนใหม่ขึ้นมาเรียกว่า จำนวนเชิงซ้อน (Complex Numbers)

ส่วนจริง (Real Part) และส่วนจินตภาพ (Imaginary Part)

จำนวนเชิงซ้อนมักเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ z ซึ่งอยู่ในรูปมาตรฐานคือ:

โดยที่:

• a คือ ส่วนจริง (Real Part) เขียนแทนด้วย Re(z) = a
• b คือ ส่วนจินตภาพ (Imaginary Part) เขียนแทนด้วย Im(z) = b
• i คือ หน่วยจินตภาพ (Imaginary Unit)

นิยามของ i และสมบัติการวนลูปของ i^n

ค่าของ i มีนิยามหลักคือ i = \sqrt{-1} หรือ i^2 = -1 ซึ่งเลขยกกำลังของ i จะมีรูปแบบการวนลูปทุกๆ 4 ลำดับ ดังนี้:

• i^1 = i
• i^2 = -1
• i^3 = -i
• i^4 = 1

เทคนิคการคำนวณ i^n: ให้นำเลขชี้กำลัง n มาหารด้วย 4 แล้วดูเศษที่เหลือ:

• เศษ 1 ค่าเท่ากับ i
• เศษ 2 ค่าเท่ากับ -1
• เศษ 3 ค่าเท่ากับ -i
• ลงตัว (เศษ 0) ค่าเท่ากับ 1

การบวก ลบ คูณ และหาร จำนวนเชิงซ้อน

การดำเนินการของ จำนวนเชิงซ้อน ม.5 มีหลักการคล้ายกับการพหุนามทั่วไป ดังนี้:

การบวกและการลบ

ให้นำส่วนจริงบวก/ลบกับส่วนจริง และนำส่วนจินตภาพบวก/ลบกับส่วนจินตภาพ

กำหนดให้ z_1 = a + bi และ z_2 = c + di

• z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i
• z_1 – z_2 = (a – c) + (b – d)i

การคูณ

ใช้กฎการกระจายแบบพหุนาม โดยจำไว้เสมอว่า i^2 = -1

การหาร

การหารจำนวนเชิงซ้อน จะใช้วิธีนำ สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน (Conjugate) ของตัวหารมาคูณทั้งเศษและส่วน เพื่อเปลี่ยนส่วนจินตภาพที่ตัวหารให้กลายเป็นจำนวนจริง

สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน (Conjugate) และค่าสัมบูรณ์ (Absolute Value)

สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน (Conjugate)

ถ้า z = a + bi สังยุคของ z เขียนแทนด้วย \bar{z} คือการเปลี่ยนเครื่องหมายหน้าส่วนจินตภาพเป็นตรงกันข้าม:

สมบัติสำคัญของสังยุค:

• z \cdot \bar{z} = a^2 + b^2 (ผลลัพธ์เป็นจำนวนจริงเสมอ)
• \overline{z_1 \pm z_2} = \bar{z}_1 \pm \bar{z}_2
• \overline{z_1 \cdot z_2} = \bar{z}_1 \cdot \bar{z}_2

ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน (Absolute Value)

ค่าสัมบูรณ์ของ z = a + bi เขียนแทนด้วย |z| คือระยะห่างจากจุดกำเนิด (0,0) บนระนาบเชิงซ้อน คำนวณจาก:

จำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว (Polar Form)

เมื่อต้องการยกกำลังสูงๆ หรือถอดรากของจำนวนเชิงซ้อน การใช้รูปมาตรฐาน a + bi จะคำนวณได้ยาก จึงนิยมเปลี่ยนเป็น รูปเชิงขั้ว

สูตรการแปลงเป็นรูปเชิงขั้ว

z = r(\cos\theta + i\sin\theta) หรือเขียนย่อว่า z = r \text{cis} \theta

โดยที่:

• r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2} (ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน)
• \tan\theta = \frac{b}{a} โดย \theta คืออาร์กิวเมนต์ (Argument) ของ z (ระวังการเช็คควัอดรันต์ของจุด (a,b))

ทฤษฎีบทของเดอมัวฟร์ (De Moivre’s Theorem)

ใช้สำหรับการยกกำลังของจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว:

รวม สูตรจำนวนเชิงซ้อน ม.5 ที่ต้องจำ

โจทย์จำนวนเชิงซ้อนพร้อมเฉลย ละเอียด

ตัวอย่างโจทย์ที่ 1: การหาค่าของ i^n

โจทย์: จงหาค่าของ i^{2567} + i^{2024}

เฉลยละเอียด:

1. พิจารณา i^{2567}: นำ 2567 หารด้วย 4 ได้เศษ 3 ดังนั้น i^{2567} = i^3 = -i
2. พิจารณา i^{2024}: นำ 2024 หารด้วย 4 หารลงตัว (เศษ 0) ดังนั้น i^{2024} = i^4 = 1
3. ผลบวก: i^{2567} + i^{2024} = -i + 1 = 1 – i

ตอบ: 1 – i

ตัวอย่างโจทย์ที่ 2: การคูณและการหารจำนวนเชิงซ้อน

โจทย์: กำหนดให้ z = \frac{3 + 4i}{1 – 2i} จงเขียน z ในรูป a + bi และหาค่าของ |z|

เฉลยละเอียด:

1. นำสังยุคของตัวหารคือ 1 + 2i มาคูณทั้งเศษและส่วน:
   z = \frac{(3 + 4i)(1 + 2i)}{(1 – 2i)(1 + 2i)}
2. คำนวณตัวเศษ:
   (3 + 4i)(1 + 2i) = 3 + 6i + 4i + 8i^2 = 3 + 10i – 8 = -5 + 10i
3. คำนวณตัวส่วน:
   (1 – 2i)(1 + 2i) = 1^2 – (2i)^2 = 1 – (-4) = 5
4. จะสอดคล้องได้ว่า:
   z = \frac{-5 + 10i}{5} = -1 + 2i
5. หาค่าสัมบูรณ์ |z|:
   |z| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}

ตอบ: z = -1 + 2i และ |z| = \sqrt{5}

ตัวอย่างโจทย์ที่ 3: การยกกำลังด้วยรูปเชิงขั้ว

โจทย์: จงหาค่าของ (1 + \sqrt{3}i)^6

เฉลยละเอียด:

1. ให้ z = 1 + \sqrt{3}i แปลงเป็นรูปเชิงขั้ว:
   หา r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2
   หามุม \theta: \tan\theta = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3} เนื่องจากอยู่ควัอดรันต์ที่ 1 จะได้ \theta = 60^\circ หรือ \frac{\pi}{3}
   ดังนั้น z = 2(\cos 60^\circ + i\sin 60^\circ)
2. ใช้ทฤษฎีบทของเดอมัวฟร์หา z^6:
   z^6 = 2^6 (\cos(6 \times 60^\circ) + i\sin(6 \times 60^\circ))
   z^6 = 64 (\cos 360^\circ + i\sin 360^\circ)
3. แทนค่ามุม:
   \cos 360^\circ = 1 และ \sin 360^\circ = 0
   z^6 = 64(1 + 0i) = 64

ตอบ: 64

สอบถามรายละเอียดคอร์สเรียนเพิ่มเติม

• Add Line : Ondemand Education
• โทรศัพท์ : 02-251-9456 (08.00-20.00)