สรุปเนื้อหา คณิต การแยกตัวประกอบพหุนาม ม.3 เทคนิคครบ พร้อมโจทย์และวิธีทำ

พหุนาม คืออะไร? ปูพื้นฐานคณิตศาสตร์ ม.3 ที่ต้องรู้ก่อนเริ่ม

ก่อนที่เราจะไปดูวิธีแยกตัวประกอบ เรามาทบทวนนิยามสั้น ๆ กันก่อนครับ

• พหุนาม (Polynomial): คือ เอกนามพจน์เดียว หรือเอกนามตั้งแต่ 2 พจน์ขึ้นไปที่เขียนอยู่ในรูปของการบวกหรือการลบกัน เช่น 1 + x + x², x³ – 3x + 1, หรือ 3x² + 9
• ดีกรีของพหุนาม (Degree): คือ ค่าของดีกรีที่สูงที่สุดของพจน์ในพหุนามนั้น ๆ ตัวอย่างเช่น x³ – 3x + 1 มีดีกรีสูงสุดคือ 3 ดังนั้นพหุนามนี้จึงเป็นพหุนามดีกรี 3

แล้ว การแยกตัวประกอบพหุนาม คืออะไร?

มันคือการเขียนพหุนามให้อยู่ในรูปของ “ผลคูณ” ของพหุนามที่มีดีกรีต่ำกว่าตั้งแต่สองพหุนามขึ้นไป หรือเขียนพหุนามเดิมให้อยู่ในรูปที่ง่ายขึ้นนั่นเองครับ

7 เทคนิคการแยกตัวประกอบพหุนาม (พร้อมสูตรและวิธีทำอย่างละเอียด)

ในการเรียนระดับชั้น ม.3 เราจะแบ่งทักษะการแยกตัวประกอบพหุนามออกเป็น 7 วิธีหลัก ๆ ดังนี้ครับ

1. การจัดกลุ่มและดึงตัวร่วม (Factoring by Grouping & Common Factor)

หลักการ: หาตัวประกอบร่วมที่มีอยู่ในทุกพจน์แล้วดึงออกมาเขียนในรูปผลคูณ หรือใช้วิธีจับคู่พจน์ของพหุนามก่อน จากนั้นจึงดึงตัวร่วมขั้นแรก แล้วค่อยดึงตัวร่วมต่อในขั้นถัดไป

โจทย์ตัวอย่างที่ 1: จงแยกตัวประกอบของพหุนาม 3x4y4 + 6x²y²

วิธีทำ:

จากโจทย์ สังเกตตัวร่วมคือ 3, x² และ y²

3x4y4 + 6x²y² = 3(x4y4 + 2x²y²)

= 3x²(x²y4 + 2y²)

= 3x²y²(x²y² + 2)

ดังนั้น 3x4y4 + 6x²y² = 3x²y²(x²y² + 2)

2. การแยกสองวงเล็บ (Factoring Quadratic Trinomials)

หลักการ: มักใช้เมื่อเราเจอพหุนามดีกรีสองที่อยู่ในรูป Ax² + Bx + C โดยเราต้องหาตัวเลขสองจำนวนที่คูณกันแล้วได้ C และบวกกันแล้วได้ B

โจทย์ตัวอย่างที่ 2: จงแยกตัวประกอบของพหุนาม 3x² – 15x – 18

วิธีทำ:

ขั้นแรก ดึงตัวร่วม 3 ออกมาก่อนเพื่อให้คิดง่ายขึ้น:

3x² – 15x – 18 = 3(x² – 5x – 6)

จากนั้นแยกพหุนามในวงเล็บเป็นสองวงเล็บ หาตัวเลขที่คูณกันได้ -6 และบวกกันได้ -5 ซึ่งก็คือ +1 และ -6:

= 3[(x + 1)(x – 6)]

= 3(x + 1)(x – 6)

ดังนั้น 3x² – 15x – 18 = 3(x + 1)(x – 6)

3. กำลังสองสมบูรณ์ (Perfect Square Trinomials)

หลักการ: ใช้เมื่อพหุนามจัดให้อยู่ในโครงสร้างตามเอกลักษณ์คณิตศาสตร์สองข้อนี้:

• (หน้า)² + 2(หน้า)(หลัง) + (หลัง)² = (หน้า + หลัง)²
• (หน้า)² – 2(หน้า)(หลัง) + (หลัง)² = (หน้า – หลัง)²

โจทย์ตัวอย่างที่ 3: จงแยกตัวประกอบของพหุนาม 36y² – 60y + 25

วิธีทำ:

จัดรูปให้อยู่ในสูตรกำลังสองสมบูรณ์:

36y² – 60y + 25 = (6y)² – 2(6y)(5) + 5²

= (6y − 5)²

ดังนั้น 36y² – 60y + 25 = (6y − 5)²

4. ผลต่างกำลังสอง (Difference of Two Squares)

หลักการ: ใช้เมื่อพหุนามอยู่ในรูปพจน์ยกกำลังสองสองพจน์ที่ลบกันอยู่

สูตร: (หน้า)² – (หลัง)² = (หน้า – หลัง)(หน้า + หลัง)

โจทย์ตัวอย่างที่ 4: จงแยกตัวประกอบของพหุนาม (x + 1)² – (2x − 3)²

วิธีทำ:

มอง (x + 1) เป็นตัวหน้า และ (2x – 3) เป็นตัวหลัง แล้วเข้าสูตร:

(x + 1)² – (2x − 3)² = [(x + 1) – (2x − 3)][(x + 1) + (2x − 3)]

= [x + 1 – 2x + 3][x + 1 + 2x − 3]

= (−x + 4)(3x − 2)

ดังนั้น (x + 1)² – (2x − 3)² = (−x + 4)(3x − 2)

5. กำลังสองสมบูรณ์ร่วมกับผลต่างกำลังสอง (Completing the Square)

หลักการ: ใช้ในกรณีที่พหุนามไม่สามารถแยกสองวงเล็บแบบปกติได้ เราจะทำการเติมพจน์เพื่อจัดรูปให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ก่อน แล้วจึงใช้ผลต่างกำลังสองในการแยกตัวประกอบพหุนามขั้นสุดท้าย

โจทย์ตัวอย่างที่ 5: จงแยกตัวประกอบของพหุนาม x² + y²

วิธีทำ:

บวกเข้าและหักออกด้วย 2xy เพื่อจัดรูป:

x² + y² = x² + 2xy + y² – 2xy

= (x + y)² – 2xy

= (x + y)² – (√2xy)²

= [(x + y) – √2xy][(x + y) + √2xy]

ดังนั้น x² + y² = [(x + y) – √2xy][(x + y) + √2xy]

6. ผลบวกและผลต่างกำลังสาม (Sum and Difference of Cubes)

หลักการ: ใช้เมื่อพหุนามอยู่ในรูปพจน์ยกกำลังสามสองพจน์ที่บวกหรือลบกันอยู่

• ผลบวกกำลังสาม: น³ + ล³ = (น + ล)(น² – นล + ล²)
• ผลต่างกำลังสาม: น³ – ล³ = (น – ล)(น² + นล + ล²)

โจทย์ตัวอย่างที่ 6: จงแยกตัวประกอบของพหุนาม 8x³ + 64y³

วิธีทำ:

จัดรูปให้อยู่ในรูปกำลังสาม: 8x³ = (2x)³ และ 64y³ = (4y)³

8x³ + 64y³ = (2x)³ + (4y)³

เข้าสูตรผลบวกกำลังสาม:

= (2x + 4y)[(2x)² – (2x)(4y) + (4y)²]

= (2x + 4y)(4x² – 8xy + 16y²)

ดึงตัวร่วมออกจากแต่ละวงเล็บเพื่อทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย:

= 2(x + 2y) • 4(x² – 2xy + 4y²)

= 8(x + 2y)(x² – 2xy + 4y²)

ดังนั้น 8x³ + 64y³ = 8(x + 2y)(x² – 2xy + 4y²)

7. กำลังสามสมบูรณ์ (Perfect Cube)

หลักการ: ใช้เมื่อพหุนามอยู่ในรูปที่ยาวและสามารถจัดตามเอกลักษณ์กำลังสามสมบูรณ์ได้ ดังนี้:

• น³ + 3น²ล + 3นล² + ล³ = (น + ล)³
• น³ – 3น²ล + 3นล² – ล³ = (น – ล)³

โจทย์ตัวอย่างที่ 7: จงแยกตัวประกอบของพหุนาม 8x³ + 6xy² + 12x²y + y³

วิธีทำ:

ขั้นแรก เรียงพจน์ใหม่ตามดีกรีของ x:

= 8x³ + 12x²y + 6xy² + y³

จัดรูปให้อยู่ในสูตรกำลังสามสมบูรณ์:

= (2x)³ + 3(2x)²y + 3(2x)y² + y³

= (2x + y)³

ดังนั้น 8x³ + 6xy² + 12x²y + y³ = (2x + y)³

3 จุดผิดบ่อยในห้องสอบเรื่องพหุนาม ม.3 ที่ต้องระวัง!

• สับสนเครื่องหมายสูตรกำลังสาม: จำไว้ว่าสูตรผลต่างกำลังสาม (น³ – ล³) วงเล็บแรกจะเป็นลบ แต่วงเล็บหลังพจน์กลางจะเป็นบวกเสมอ (น² + นล + ล²) ห้ามจำสลับกันเด็ดขาด!
• ลืมกระจายเครื่องหมายลบ: เมื่อแยกตัวประกอบพหุนามในรูปผลต่างกำลังสอง เช่น การนำวงเล็บมาลบกัน อย่าลืมกระจายเครื่องหมายลบเข้าไปในทุกพจน์ของวงเล็บหลัง
• ดึงตัวร่วมไม่สุด: ก่อนตอบโจทย์ทุกครั้ง ตรวจสอบให้แน่ใจว่าไม่มีตัวเลขหรือตัวแปรใดที่ยังสามารถดึงร่วมกันได้อีก

ตารางสรุปสูตรการแยกตัวประกอบพหุนาม ม.3

การแยกตัวประกอบพหุนามไม่ใช่เรื่องยากหากน้อง ๆ จำสูตรหลักได้และฝึกทำโจทย์บ่อย ๆ ครับ ไม่จำเป็นต้องเข้าใจทั้งหมดในวันเดียว ค่อย ๆ ทบทวนทีละเทคนิคไปพร้อมกับพี่ ๆ OnDemand นะครับ! แล้วถ้าอยากเก่งคณิต ม.3 แบบก้าวกระโดด? สำหรับน้อง ๆ ที่ต้องการฝึกทำโจทย์แนวข้อสอบจริงที่ยากและท้าทายยิ่งขึ้น พร้อมเทคนิคคิดลัดฉบับเข้าใจง่าย สามารถสมัครเรียนคอร์สคณิตศาสตร์ ม.3 หรือคอร์สติวเข้มเข้า ม.4 กับทาง OnDemand ได้เลยวันนี้!

สอบถามเพิ่มเติม
Add Line: Ondemand Education
โทรศัพท์: 02-251-9456 (08.00-20.00)

คำถามที่พบบ่อย (FAQ) เกี่ยวกับการแยกตัวประกอบพหุนาม (FAQs)

Q: การแยกตัวประกอบพหุนาม ม.3 มีทั้งหมดกี่วิธี และวิธีไหนใช้บ่อยที่สุด?

A: ในระดับ ม.3 จะเรียนหลักๆ ทั้งหมด 7 วิธีตามบทความนี้ครับ วิธีที่พบบ่อยที่สุดในข้อสอบทั่วไปคือ “การแยกสองวงเล็บ” และ “ผลต่างกำลังสอง” เนื่องจากเป็นพื้นฐานโดยตรงในการนำไปใช้แก้สมการกำลังสองต่อครับ

Q: สูตรกำลังสองสมบูรณ์ กับ ผลต่างกำลังสอง ต่างกันอย่างไร?

A: ข้อแตกต่างสำคัญคือรูปแบบโครงสร้างของโจทย์ครับ

• กำลังสองสมบูรณ์ จะอยู่ในรูปของการยกกำลังสองทั้งวงเล็บ เช่น (น + ล)² ซึ่งเมื่อกระจายออกมาจะได้ 3 พจน์
• ผลต่างกำลังสอง โจทย์จะแยกยกกำลังสองมาให้แล้วลบกัน เช่น น² – ล² ซึ่งจะแยกได้เป็นสองวงเล็บคูณกันคือ (น – ล)(น + ล)

Q: ถ้าพหุนามดีกรี 3 หรือดีกรีมากกว่านี้ จะแยกตัวประกอบอย่างไร?

A: หากเป็นดีกรี 3 เราสามารถเช็กก่อนว่าตรงกับสูตรผลบวก/ผลต่างกำลังสาม หรือกำลังสามสมบูรณ์ไหม ถ้าไม่ตรง วิธีการทั่วไปคือการใช้ “ทฤษฎีบทเศษเหลือ” ร่วมกับ “การหารสังเคราะห์” เพื่อลดดีกรีลงมาเป็นดีกรี 2 แล้วค่อยแยกสองวงเล็บต่อครับ