สรุปเนื้อหา คณิต ตรรกศาสตร์ ม.4 เนื้อหาครบ แจกฟรีโจทย์พร้อมวิธีทำ

ตรรกศาสตร์

ตรรกศาสตร์ เป็นหนึ่งเนื้อหาหนึ่งในวิชา คณิตศาสตร์ ที่เน้นเกี่ยวกับการหาค่าความจริงของข้อความต่าง ๆ ซึ่งเราจะต้องใช้การคิดแบบเป็นเหตุเป็นผล และเป็นขั้นตอนเพื่อที่จะหาค่าความจริงของข้อความเหล่านั้น โดยวันนี้พี่ก็ได้สรุปเนื้อหาเรื่อง ตรรกศาสตร์ พร้อมตัวอย่างโจทย์มาให้น้อง ๆ แล้วครับ ถ้าพร้อมแล้วไปดูเนื้อหากันเลยย

✨ประพจน์คืออะไร

ประพจน์ คือ ประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธที่เราสามารถบอกได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น

เช่น เดือนมกราคมมี 30 วัน

1 เป็นจำนวนคี่

สงขลาเป็นจังหวัดในภาคเหนือของไทย

เป็นต้น

ประโยคที่ไม่เป็นประพจน์ คือ ประโยคที่ไม่สามารถบอกได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จอย่างใดอย่างหนึ่ง (ประโยค คำถาม คำสั่ง ขอร้อง อุทาน)

เช่น ห้ามส่งเสียงดัง

เธอไปไหนมา

x + 2 = 10

เป็นต้น

การหาค่าความจริงของประพจน์

ตัวเชื่อมประพจน์

สำหรับตัวเชื่อมประพจน์ทางตรรกศาสตร์นั้นจะมีอยู่ 5 ตัวดังนี้ครับ

และเรามักจะใช้ตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์เล็กเพื่อแทนประพจน์ต่าง ๆ เช่น p, q, r, s, \dots เช่น

p และ q จะเขียนแทนด้วย p \land q

p หรือ q จะเขียนแทนด้วย p \lor q

ถ้า p แล้ว q จะเขียนแทนด้วย p \longrightarrow q

p ก็ต่อเมื่อ q จะเขียนแทนด้วย p \longleftrightarrow q

นิเสธของ p จะเขียนแทนด้วย \sim p

ตารางค่าความจริง

กำหนดให้ p, q เป็นประพจน์ ถ้าเรานำ p, q มาเชื่อมกันด้วยตัวเชื่อมทั้ง 5 ตัว เราจะได้ตารางค่าความจริงดังนี้ครับ

โดยที่ T, F หมายถึงจริงและเท็จตามลำดับ

จากตารางค่าความจริงข้างต้น เราจะพบว่ามีสิ่งที่น่าสนใจดังนี้ครับ

ลำดับในการหาค่าความจริง

เมื่อเรามีตัวเชื่อมหลายตัว เราต้องยึดลำดับในการหาค่าความจริงตามลำดับต่อไปนี้ครับ

  1. วงเล็บ
  2. \sim
  3. \land \, \, \lor
  4. \longrightarrow
  5. \longleftrightarrow

สำหรับตัวเชื่อม \land \, \, \lor นั้นมีความสำคัญเท่ากัน ให้น้อง ๆ หาค่าความจริงตามลำดับจากซ้ายไปขวาครับ

เมื่อเราทราบแบบนี้แล้ว ต่อไปเราจะลองมาหาค่าความจริงกันดูนะครับ

ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้ p, q, r เป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็น จริง เท็จ จริง ตามลำดับ จงหาค่าความจริงของ p \longrightarrow (q \lor \sim r)

วิธีทำ

\begin{aligned}p \longrightarrow (q \lor \sim r)&\equiv T \longrightarrow (F \lor \sim T) \\&\equiv T \longrightarrow (F \lor F) \\&\equiv T \longrightarrow F \\&\equiv F \\\end{aligned}

ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า p \longrightarrow (q \lor \sim r) มีค่าความจริงเป็นเท็จ

✨สมมูล

ความหมายของสมมูล

ประพจน์ p สมมูลกับ q ก็ต่อเมื่อ ประพจน์ p กับประพจน์ q มีค่าความจริงเหมือนกันกรณีต่อกรณี และเราจะใช้สัญลักษณ์เป็นขีดสามขีดคล้าย ๆ เครื่องหมายนเท่ากับ ที่พี่ได้ใช้ไปในตัวอย่างก่อนหน้านี้ นั่นคือ \equiv นั่นเองครับ โดยถ้าเราจะบอกว่า p สมมูลกับ q เราจะสามารถเขียนได้ว่า p \equiv q นั่นเองครับ

 

ตัวอย่างที่ 2 จงพิจารณาว่า p \longrightarrow q สมมูลกับ \sim p \lor q หรือไม่

วิธีทำ

เราจะสร้างตารางค่าความจริงได้ดังนี้ครับ

เราจะพบว่าค่าความจริงของทั้งสองนั้นมันเหมือนกันแบบกรณีต่อกรณีเลย เราจะสามารถสรุปได้เลยครับว่า p \longrightarrow q \equiv \sim p \lor q นั่นเอง

โดยประพจน์ที่สมมูลกันที่สำคัญ ๆ จะมีทั้งหมด 7 กลุ่มตามตารางต่อไปนี้ที่พี่ได้สรุปมาให้น้อง ๆ ครับ

น้อง ๆ สามารถหยิบไปใช้ได้ทันทีเลยว่าประพจน์ไหนสมมูลกับประพจน์ไหน จะทำให้เราแก้โจทย์บางข้อได้ง่ายขึ้นครับ

✨สัจนิรันดร์

ความหมายของสัจนิรันดร์

ประพจน์ที่เป็นสัจนิรันดร์ คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี

การพิสูจน์สัจนิรันดร์

ในการพิสูจน์หรือตรวจสอบว่าประพจน์ใด ๆ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่นั้น พี่ขอนำเสนอ 2 วิธีดังนี้ครับ

  1. การสร้างตารางค่าความจริง

เพื่อกระจายออกมาดูชัด ๆ เลยว่า เป็นจริงทุกกรณีมั้ย หรือมีกรณีที่ไม่เป็นจริงครับ

ตัวอย่างที่ 3 จงพิจารณาว่า (p \longrightarrow q) \longrightarrow (\sim p \lor q) เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่

วิธีทำ

เราจะสร้างตารางค่าความจริงได้ดังนี้ครับ

เราจะพบว่าค่าความจริงของ (p \longrightarrow q) \longrightarrow (\sim p \lor q) นั้น เป็นจริงทุกกรณีเลย ไม่ว่า p, q จะมีค่าความจริงเป็นแบบไหนก็ตาม ดังนั้นเราจึงสามารถสรุปได้เลยครับว่า (p \longrightarrow q) \longrightarrow (\sim p \lor q) เป็นสัจนิรันดร์

  1. การหาข้อขัดแย้ง

หลักการคือการที่เราสมมุติไปก่อนเลยว่าประพจน์ที่จะตรวจสอบนั้นเป็นเท็จ (แต่จริง ๆ อาจจะไม่ใช่ก็ได้) แล้วไล่ดูว่า ถ้าเป็นเท็จแล้ว ประพจน์แต่ละประพจน์จะต้องเป็นจริงหรือเท็จ หากระหว่างนั้น พบว่ามีประพจน์บางตัวเป็นได้ทั้งจริงและเท็จ แสดงว่าเกิดข้อขัดแย้ง ดังนั้นการที่เราสมมุติว่าทั้งประพจน์นี้เป็นเท็จนั้นจึงไม่จริง เลยจะต้องสรุปว่าเป็นจริงแทน นั่นคือ เป็นสัจนิรันดร์นั่นเองครับ

โดยพี่ได้สรุปเป็นขั้นตอนตามแผนภาพนี้ครับ

ตัวอย่างที่ 4 จงพิจารณาว่า (p \longrightarrow q) \longrightarrow (\sim p \lor q) เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ โดยใช้วิธีการหาข้อขัดแย้ง

วิธีทำ

โดยวิธีการหาข้อขัดแย้ง เราจะพบว่าในกรอบสีแดงทั้งสอง p มีค่าความจริงเป็นเท็จ และ จริง พร้อม ๆ กัน เมื่อเป็นเช่นนี้ เราจึงสรุปว่าเกิดข้อขัดแย้ง และทำให้ (p \longrightarrow q) \longrightarrow (\sim p \lor q) เป็นสัจนิรันดร์นั่นเองครับ

✨การอ้างเหตุผล

หลักการของการอ้างเหตุผลนั้นเราจะสนใจว่าการอ้างเหตุและผลนั้นสมเหตุสมผลกันหรือไม่

  • ถ้าทำตามเหตุ แล้วได้ผลอย่างที่อ้าง ก็แสดงว่า การอ้างเหตุผลนั้นสมเหตุสมผล
  • แต่ ถ้าทำตามเหตุ แล้วไม่ได้ผลอย่างที่อ้าง ก็แสดงว่า การอ้างเหตุผลนั้นไม่สมเหตุสมผล
  • ส่วน ถ้าไม่ทำตามเหตุ แล้วได้ผลตามที่อ้างหรือไม่ได้ ก็ไม่สามารถบอกได้ว่าสิ่งที่พูดมานั้นสมเหตุสมผลหรือไม่

หรือสรุปง่าย ๆ ก็คือ ถ้า p_1, p_2, p_3, \dots, p_n เป็นเหตุ และ C เป็นผล ให้เรานำ p_1, p_2, p_3, \dots, p_n มาเชื่อมกันด้วยตัวเชื่อม “และ” แล้วเชื่อมเหตุทั้งหมดกับผลด้วยตัวเชื่อม “ถ้าแล้ว” แล้วตรวจสอบต่อ ถ้าเป็นสัจนิรันดร์ก็สรุปได้เลยว่าสมเหตุสมผล แต่ถ้าไม่เป็นสัจนิรันดร์ ก็ไม่สมเหตุสมผลนั่นเองครับ

 

ตัวอย่างที่ 5 จงพิจารณาว่าการอ้างเหตุผลต่อไปนี้สมเหตุสมผลหรือไม่

เหตุ

  1. p \longrightarrow (q \lor r)
  2. \sim q \land p

ผล r

วิธีทำ

เราจะพบว่าในกรอบสีเขียวทั้งสอง p มีค่าความจริงเป็นเท็จ และ จริง พร้อม ๆ กัน เมื่อเป็นเช่นนี้ เราจึงสรุปว่าเกิดข้อขัดแย้ง ทำให้ประพจน์ดังกล่าวเป็นสัจนิรันดร์ จึงทำให้การอ้างเหตุผลนี้สมเหตุสมผลนั่นเองครับ

✨ประโยคเปิดและตัวบ่งปริมาณ

ความหมายของประโยคเปิด

ประโยคเปิด คือ ประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธที่มีตัวแปร และเมื่อเราแทนค่าตัวแปรในประโยคเปิด จะทำให้ประโยคเปิดกลายเป็นประพจน์ เพราะเราสามารถบอกค่าความจริงได้นั่นเอง

เช่น 3x + 1 = 7, y+x = 5, เขาเป็นนักเรียน เหล่านี้ถือว่าเป็นประโยคเปิด

เราจะใช้ P(x), P(x, y) แทนประโยคเปิดที่มีตัวแปร 1, 2 ตัวตามลำดับ

 

ตัวบ่งปริมาณ

ตัวบ่งปริมาณจะมีอยู่ 2 แบบ ดังนี้ครับ

  1. for all x (\forall x) หมายถึง

สำหรับทุก x, สำหรับ x ทุกตัว, แต่ละ x

  1. for some x (\exists x) หมายถึง

มี x อย่างน้อย 1 ตัว, มี x บางตัว, สำหรับ x บางตัว

ซึ่งเราสามารถทำประโยคเปิดให้กลายเป็นประพจน์โดยการเติมตัวบ่งปริมาณและเอกภพสัมพัทธ์เข้าไป เพราะถ้าทำแบบนั้นแล้ว เราจะสามารถบอกค่าความจริงของมันได้นั่นเองครับ

เช่น สำหรับจำนวนจริง x ทุกจำนวน x^2 \geq 0

มีจำนวนเต็ม x บางจำนวนที่ทำให้ x+1 < 5 เป็นตัน

โจทย์ส่วนใหญ่ ถ้าไม่ได้กำหนดเอกภพสัมพัทธ์มาให้ ให้น้อง ๆ ถือว่าเอกภพสัมพัทธ์สำหรับข้อนั้น ๆ คือเซตของจำนวนจริงครับ

ค่าความจริงของประโยคเปิดที่มีตัวบ่งปริมาณ

สำหรับค่าความจริงของประโยคเปิดที่มีตัวบ่งปริมาณน้อง ๆ สามารถยึดหลักนี้ได้เลยย

เป็นยังไงกันบ้างครับ กับเนื้อหา ตรรกศาสตร์ เบื้องต้นและการให้เหตุผลที่พี่นำมาฝากน้อง ๆ ในวันนี้ หลายคนอาจจะยังไม่เข้าใจในครั้งแรกที่อ่าน แต่น้อง ๆ ไม่ต้องกังวล เพราะเราไม่จำเป็นต้องเข้าใจเนื้อหาทั้งหมดนี้ภายในวันเดียวหรือการอ่านเพียงรอบเดียวก็ได้ครับ เราสามารถค่อย ๆ ทบทวนเนื้อหาไปพร้อมกับการฝึกทำโจทย์เพื่อให้เก่งขึ้นได้ครับบ

บทความอื่นๆ เพิ่มเติม 👉 : OnDemand

คอร์สเรียน เปิดตัวใหม่สำหรับ สายบริหาร

พร้อมแจกฟรี

แผนการเรียนคณิตศาสตร์ ม.ปลาย

บทความอื่นๆ

วัน
ชั่วโมง
นาที

เหลือเวลา

ชั่วโมง
นาที
เหลือเวลาอีก
ขั่วโมง
นาที

เหลือเวลา

ชั่วโมง
นาที

เหลือเวลา

ชั่วโมง
นาที

เหลือเวลา

ชั่วโมง
นาที

เหลือเวลา

ชั่วโมง
นาที
เหลือเวลาอีก
วัน
ชั่วโมง
นาที

เหลือเวลา

ชั่วโมง
นาที

เหลือเวลา

ชั่วโมง
นาที

พบกับข้อเสนอพิเศษสำหรับลูกค้าเก่า

เหลือเวลา

ชั่วโมง
นาที

เหลือเวลา

ชั่วโมง
นาที

เหลือเวลา

ชั่วโมง
นาที

เหลือเวลา

ชั่วโมง
นาที

วันนี้เท่านั้น! รับ ID Book ฟรีทันที

ที่สาขาออนดีมานด์

พี่ออนดี้ส่งโมเมนต์สุดพิเศษให้น้อง

ต้อนรับวันวาเลนไทน์

ดีลดี ดีลเดียวก่อนหมดวันแห่งความรัก สมัครเลย

เหลือเวลา

ชั่วโมง
นาที
ชั่วโมง
นาที

โค้งสุดท้าย TPAT3 เหลือเวลา

วัน

พี่ออนดีมานด์มีตัวช่วยพิเศษ

เหลือเวลา

วัน
ชั่วโมง
นาที

โค้งสุดท้ายแล้ว เหลือเวลา

00
ชั่วโมง
00
นาที

เหลือเวลา

00
วัน
00
ชั่วโมง

เหลือเวลา

00
ชั่วโมง
00
นาที

วันสุดท้ายแล้ว

00
วัน
00
ชั่วโมง
เหลือเวลา
00
วัน
00
ชั่วโมง
สิ้นสุดการรอคอย สิทธิพิเศษเฉพาะคุณ TCAS DEK68 เวอร์ชั่นใหม่ มาแล้ว !
วันสุดท้ายแล้ว
3 ชม สุดท้ายแล้วสมัครคอร์เลย
รับฟรี! ชุดแนวข้อสอบ TPAT3
ส่วนลดสูงสุด 1,000 บาท
ส่วนลดสูงสุด 500 บาท

นับถอยหลังก่อนสอบเข้าเตรียมอุดม (9 มี.ค. 67)

Days
สิ้นสุดการรอคอย สิทธิพิเศษเฉพาะคุณ TCAS DEK68 เวอร์ชั่นใหม่ มาแล้ว !
สิ้นสุดการรอคอย สิทธิพิเศษเฉพาะคุณ TCAS DEK68 เวอร์ชั่นใหม่ มาแล้ว !
สิ้นสุดการรอคอย สิทธิพิเศษเฉพาะคุณ TCAS DEK68 เวอร์ชั่นใหม่ มาแล้ว !
โปรสุดท้าย NETSAT
เพื่อน้องมข. อีก 14 วันก่อนสอบ
โปรสุดท้าย เพื่อน้อง TU
อีก 1 เดือน ก่อนสอบ
ด่วน LIVEติว เลข โค้งสุดท้าย
ก่อนสอบเตรียมอุดมฯ